2023年高考押题预测卷02（天津卷）-数学（参考答案）

2023年高考押题预测卷02【天津卷】

数学·参考答案

一、单选题

二、填空题

10：

11：

12：.

13：；

14：；

15：.

三、解答题

16．(14分)

【详解】（1）在中，由正弦定理

可得：，整理得，

由余弦定理，可得；…………………………………………5分

（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，

及已知，可得，

由已知，可得，故有，…………………………………………8分

为锐角，可得，，

则；…………………………………………10分

（ii）由（i）可得，,

.……………………………………14分

17．(15分)

【详解】（1）由为正三棱柱可知，平面，

又平面，所以，

由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；

又，平面，所以平面；

又平面，所以；…………………………………………4分

（2）取线段的中点分别为，连接，

易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;

由侧棱长为，底面边长为2可得，

，

由D为AB的中点可得，

所以，…………………………………………6分

设平面的一个法向量为，

则，令，可得；

即；

易得即为平面的一个法向量，…………………………………………10分

所以，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，即；

即二面角的大小为.…………………………………………12分

（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，

设直线CA与平面所成的角为，

所以，

即直线CA与平面所成角的正弦值为.…………………………………………15分

18．(15分)

【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

因为，

所以即

解得（舍去），或

所以.…………………………………………5分

（2）由（1）知，

所以

…………………………………………10分

（3）由（1）知.

所以

所以

.

即…………………………………………15分

19．(15分)

【详解】（1）由题意得，解得，

将代入椭圆方程，得到，故，

故椭圆方程为；…………………………………………3分

（2）当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立，得，

设，则，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最大值为，

此时直线的方程为或；…………………………………………9分

（3）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：

因为，所以，即，

整理得，即，

所以，

则，解得，

故在x轴上存在点，使得恒成立.…………………………………………15分

20．(16分)

【详解】（1）当a=1时，，

所以，

故切点坐标为，…………………………………………2分

又，

所以，

故切线的斜率为，

由点斜式可得，，即，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为；…………………………………………4分

（2）的定义域为，

又，

①当，即时，在上恒成立，

故在上单调递减；…………………………………………6分

②当，即或，

令，解得，

若时，则当或时，，

当时，，…………………………………………8分

所以在上单调递减，在上单调递增；

若时，在上恒成立，

故在上单调递减.…………………………………………9分

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递减，

在上单调递增.…………………………………………10分

（3）由（2）可知，当时，f（x）有两个极值点，

则，

由题意可得，，

则

，…………………………………………14分

令，

则，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

故当时，取得最大值，

所以.…………………………………………16分