2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
3．（3分）截止2020年5月10日，全球新冠肺炎感染累计确诊人数大约为3940000人，用科学记数法可表示为（　　）
A．0.394×107 B．3.94×106 C．3.94×107 D．39.4×106
4．（3分）已知点P（a﹣1，﹣a）在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．30π B．48π C．60π D．80π
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．54° D．72°
9．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线相等的四边形是正方形
10．（3分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（　　）
A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3
11．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF：S四边形BCDF＝1：4．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　 　．
14．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是　 　．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　 　．
16．（3分）当前，国内疫情防控阶段性成效进一步巩固，为了全面推进复工复产促进消费，五一期间百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了　 　折优惠？
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边AC的长是　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝1：2，S△OBD＝，则k的值为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
20．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．
21．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．

23．（9分）2020年4月23日是第25个世界读书日，这一天世界各地都会举办诸多与阅读有关的活动．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息．
“读书节”活动计划书
书本类别
A类
B类
进价（单位：元）
18
12
备注
用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本；A类图书不少于600本；
（1）陈经理查看计划书发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用660元购买图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本．请求出A、B两类图书的标价．
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案：A类图书每本按标价降价a元（0＜a＜8）销售，B类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？
24．（9分）如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）连接PM，求tan∠PMB的值．

25．（10分）如图1，我们知道，若点C将线段AB分成两部分，且＝，则称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB．
（1）求∠CDB的度数，并证明△ODC是黄金三角形；
（2）求证：点E是线段CD的黄金分割点；
（3）对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
①实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值；
②实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．

26．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3分别交x轴正半轴于点B，交x轴负半轴于点A，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，D是第一象限抛物线上的点，连AD，过点D作DM∥y轴，交CB的延长线于点M，连接AM交BD于点N，若S△ABN＝S△DMN，求点D的坐标以及tan∠DAB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，P是第一象限抛物线上的点（点P与点D不重合），过点P作AD的垂线，交x轴于点F，点E在x轴上（点E在点F的左侧），EF＝13，点G在直线FP上，连接EP、OG．若EP＝OG，∠PEF+∠G＝45°，求点P的坐标．


2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方公式分别计算，然后比较即可．
【解答】解：A、应该得﹣a，故本选项错误；
B、正确；
C、x6÷x3＝x3，故本选项错误；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方公式，比较简单．牢记法则是关键．
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）截止2020年5月10日，全球新冠肺炎感染累计确诊人数大约为3940000人，用科学记数法可表示为（　　）
A．0.394×107 B．3.94×106 C．3.94×107 D．39.4×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3940000＝3.94×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）已知点P（a﹣1，﹣a）在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据第四象限点的特征确定出a的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：∵点P（a﹣1，﹣a）在平面直角坐标系的第四象限内，
∴，
解得：a＞1，
则a的范围在数轴上可表示为：

故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A，B，C，D，E，再列表，根据所得的结果进行计算即可．
【解答】解：五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段，
将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A，B，C，D，E，
列表可得：

总共有20种等可能的情况，其中抽取的两个都是中心对称图形的有6种，
∴P（抽取的两个都是中心对称图形）＝＝
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形以及概率的计算，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
6．（3分）下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【解答】解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7．（3分）有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．30π B．48π C．60π D．80π
【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
【解答】解：圆锥的母线＝＝10（cm），
圆锥的底面周长2πr＝12π（cm），
圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为lR．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．54° D．72°
【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质和正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：平行四边形的对角线不一定相等，A错误；
矩形的对角线不一定互相垂直，B错误；
菱形的对角线互相垂直且平分，C正确；
对角线相等的四边形不一定是正方形，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（　　）
A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3
【分析】设买羊人数为x人，根据出资数不变列出方程．
【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为6x+45＝8x+3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
【分析】证明DC＝DB＝DA即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠ACB＝90°，
∴点D是△ACB的外心，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的外心，三角形的内切圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF：S四边形BCDF＝1：4．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】结合矩形的性质证明∠EAF＝∠ACB，AFE＝∠CBA，可证明①；证明△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质可证明②；过D作DN∥BE，∠AC于M，则DN⊥AC，证明M为CF的中点，可证明③；根据已知条件无法证明④；设S△AEF＝a，则S△ADF＝2a，由相似三角形的性质可求解相关三角形的面积，进而可求得S四边形BCDF＝4a，即可证明⑤．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAF＝∠ACB，
∵BE⊥AC，垂足为点F，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠CBA，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵E为AD的中点，
∴，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确；
过D作DN∥BE，交AC于M，则DN⊥AC，

∵AD∥BC，
∴四边形BNDE为平行四边形，
∴BN＝ED＝BC，即N为BC的中点，
∴M为CF的中点，
∴DF＝DC，故③正确；
根据已知条件无法判断AD＝2AB，故无法得到tan∠CAD＝，故④错误；
设S△AEF＝a，则S△ADF＝2a，
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△CBF＝4a，
∵S△ABF：S△CBF＝AF：CF＝1：2，
∴S△ABF＝2a，
∴S△ADC＝S△ABC＝6a，
∴S四边形BCDF＝8a，
∴S△ABF：S四边形BCDF＝2a：8a＝1：4，故⑤正确．
综上，正确个数有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形等知识的综合运用．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　a（a﹣2）2　．
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
14．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是　9　．
【分析】根据平均数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5＝8，
解得：x＝1，
把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　k＞﹣　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故答案为k＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．（3分）当前，国内疫情防控阶段性成效进一步巩固，为了全面推进复工复产促进消费，五一期间百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了　九　折优惠？
【分析】首先设用贵宾卡又享受了x折优惠，根据题意可得等量关系：标价﹣实际消费＝280元，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设用贵宾卡又享受了x折优惠，由题意得：
1000﹣1000×0.8×＝280，
解得：x＝9，
故答案为：九．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边AC的长是　msin40°　．

【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB•sinB＝msin40°，
故答案为：msin40°．
【点评】本题考查的是正弦的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝1：2，S△OBD＝，则k的值为　　．

【分析】设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．因此△ACE∽△ADF，由AC：CD＝1：2，得到AC：AD，从而由比例线段用m表示CE，进而用m、n表示点C的坐标，进一步得出直线AB的表达式得B点坐标，由S△OBD，求得列出方程求得mn的值便可求得k的值．
【解答】解：设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．则k＝mn，

∴△ACE∽△ADF，
∵AC：CD＝1：2，
∴AC：AD＝1：3，
∴，
∴CE＝DF＝m，
当x＝m时，y＝，
∴C（m，3n），
∵D（m，n），
∴直线AB的表达式为y＝﹣，
∴B（，0），OB＝，
∵S△OBD＝，
∴，
∴mn＝，
∴k＝mn＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，构建相似三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣2+﹣+1＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“大小小大中间找“确定不等式组的解集，继而可得其整数解．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜6x得：x＞﹣1，
解不等式x≤得：x≤1，
∴不等式组解集是﹣1＜x≤1，
∴原不等式组的所有整数解为0、1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：

A
B
C
D
E
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）

用树状图为：

共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE＝AC，易证得四边形OCED是平行四边形，于是得到结论；
（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，
∵DE∥AC且DE＝AC，
∴DE＝OA＝OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形；

（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝6，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝3．
∴在Rt△ACE中，AE＝＝3．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．
23．（9分）2020年4月23日是第25个世界读书日，这一天世界各地都会举办诸多与阅读有关的活动．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息．
“读书节”活动计划书
书本类别
A类
B类
进价（单位：元）
18
12
备注
用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本；A类图书不少于600本；
（1）陈经理查看计划书发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用660元购买图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本．请求出A、B两类图书的标价．
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案：A类图书每本按标价降价a元（0＜a＜8）销售，B类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．
【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得：，
解得：x＝22，
经检验：x＝22是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x＝1.5×22＝33（元），
答：A类图书的标价为33元，B类图书的标价为22元；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（33﹣a）元（0＜a＜8），
由题意得，w＝（33﹣a﹣18）t+（22﹣12）（1000﹣t）＝（5﹣a）t+10000，
根据题意得：，
解得：600≤t≤800，
∵0＜a＜8，
∴①当5﹣a＞0，即0＜a＜5时，w随t的增大而增大，
∴当t＝800时，即A类图书购进800本，B类图书购进200本时，总利润最大；
②当5﹣a＞0，即a＝5时，w与t的取值无关，购进A类图书600～800本，书店应能获得最大利润；
③当5﹣a＜0，即5＜a＜8时，w随t的增大而减小，
∴当t＝600，即A类图书购进600本，B类图书购进400本时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于5元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于5元，小于8元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
24．（9分）如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）连接PM，求tan∠PMB的值．

【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）设点P（﹣6，），由PA＝PB得到36+（2+）2＝（）2，解方程即可得到结论；
（3）连接AM，PM，设半径为r，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）t2﹣8t+12＝0，
解得：t＝2或6，
∵OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，
即OA＝6，OB＝2，
即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2）；

（2）设点P（﹣6，），
由PA＝PB得：36+（2+）2＝（）2，
解得：k＝﹣60，
故反比例函数的解析式为y＝﹣；
（3）连接AM，PM，
∵OA＝6，OB＝2，
设半径为r，
在Rt△AOM中，
∵OA2+OM2＝AM2，
∴62+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝10，
∴BM＝AM＝10，BH＝8，
∴HM＝18，
过P作PH⊥y轴与H，
∴tan∠PMB＝＝＝．

【点评】本题为反比例函数应用题，涉及到圆的基本知识、一次函数基本知识、解直角三角形等知识，正确的作出辅助线是本题解题的关键．
25．（10分）如图1，我们知道，若点C将线段AB分成两部分，且＝，则称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB．
（1）求∠CDB的度数，并证明△ODC是黄金三角形；
（2）求证：点E是线段CD的黄金分割点；
（3）对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
①实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值；
②实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．

【分析】（1）根据已知条件和等边对等角的性质即可求解；
（2）根据已知条件，先求出相应角度，得出相似三角形，从而得出边之间的比例关系即可；
（3）根据黄金数、白银数的定义，联立相应的方程式即可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
∴∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，
∴∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
∵∠BOC＝108°，
∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108°，
∴x＝36°，
∴∠CDB＝36°，∠EOD＝∠CDB＝36°，∠OCE＝∠OEC＝72°，
∵∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠OCE＝∠COD，
∴DO＝DC，
又∵∠CDB＝36°，
∴△COD是黄金三角形；
（2）由（1）得，∠EOD＝∠CDB＝36°，∠OCE＝∠OEC＝72°，
∴∠COE＝36°，
∵∠COE＝∠CDB，
∵∠OCD＝∠ECO，
∴△EOC∽△ODC，
∴＝，
∵OC＝DE，
∴＝，
∴点E是线段CD的黄金分割点；
（3）①实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
∴b2+b﹣1＝0，
∴b1＝＜0（舍去），b2＝＞0，
∵实数0＜a＜b＜1，a为0，1的白银数，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a1＝＞1（舍去），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
②实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，
∴
分两种情况讨论如下：
1）当k≥0时，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
∴m2﹣km﹣k2＝0，
∴m＝k，
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
∴n2﹣5kn+5k2＝0，
∴n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k，
∴＝；
2）当k＜0时，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
∴m2﹣5km﹣5k2＝0，
∴m＝k，
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
∴n2+7kn+k2＝0，
∴n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴＝，
综上：的值是或．
【点评】本题考查了圆与等腰三角形的判定与性质的结合，具有很强的综合性．还创新地引入了黄金数、白银数的概念，解题关键是根据题意，建立联立方程式即可得出正确的答案．
26．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3分别交x轴正半轴于点B，交x轴负半轴于点A，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，D是第一象限抛物线上的点，连AD，过点D作DM∥y轴，交CB的延长线于点M，连接AM交BD于点N，若S△ABN＝S△DMN，求点D的坐标以及tan∠DAB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，P是第一象限抛物线上的点（点P与点D不重合），过点P作AD的垂线，交x轴于点F，点E在x轴上（点E在点F的左侧），EF＝13，点G在直线FP上，连接EP、OG．若EP＝OG，∠PEF+∠G＝45°，求点P的坐标．

【分析】（1）求出对称轴以及的A、B坐标即可解决问题．
（2）首先证明CM∥AD，然后求出直线AD的解析式，利用方程组即可解决问题．
（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．首先证明△PEM≌△OGN（AAS），推出ON＝PM＝FN，GN＝EM＝FN，根据EF＝13，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵对称轴x＝﹣＝1，AB＝4，
∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），
把（﹣1，0）代入抛物线解析式，得到0＝a+2a﹣3，
∴a＝1．

（2）如图2中，

∵S△ABN＝S△DMN，
∴S△ABD＝S△ADM，
∴CM∥AD，
∵直线BC解析式为y＝x﹣3，设直线AD解析式为y＝x+b，
把点A（﹣1，0）代入得到b＝1，
∴直线AD解析式为y＝x+1，
由解得x1＝﹣1（舍去）或x2＝4，
∴点D坐标（4，5），
∴tan∠DAB＝＝1．

（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．

∵∠DAB＝∠AEK+∠EKA＝45°，∠AEK+∠FGO＝45°，
∴∠EKA＝∠HKJ＝∠FGO，
∵PG⊥AD，
∴∠FGO+∠GHD＝90°，
∵∠GHD＝∠KHJ，
∴∠HKJ+∠KHJ＝90°，
∴∠PEM+∠EOG＝90°，∠NGO+∠GOA＝90°，
∴∠PEM＝∠NGO，
∵PE＝GO，∠GNO＝∠PME＝90°，
∴△PEM≌△OGN（AAS），
∴ON＝PM＝FN，GN＝EM＝FN，
∴EN＝FM＝ON，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），
∵EF＝13，
∴3（m2﹣2m﹣3）+m＝13，
∴m＝或﹣2（舍去），
∴点P坐标（，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、一次函数、两直线平行的条件等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/4/16 9:46:36；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951