北京市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

北京市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．全集，若，则集合是（    ）

A． B． C． D．

2．展开式中的系数为（    ）

A． B． C．10 D．20

3．下列每组双曲线中渐近线都为是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据约为（）（    ）

A．4.5 B．4.7 C．4.8 D．4.9

5．已知函数是奇函数，是偶函数，则

A． B． C． D．3

6．已知数列满足，则

A．4043 B．4046 C．4047 D．4049

7．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

8．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（    ）

A．、 B．、 C．、、 D．、、

10．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个

①；

②直线与平面所成角不变；

③点到直线的距离不变；

④点到四点的距离相等.

其中，所有正确结论的序号为（    ）

A．②③ B．③④

C．①③④ D．①②④

二、填空题

11．若复数的共轭复数，则__________．

12．不等式的解集为_________．

13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①；

②；

③，使得当时，总有

④，使得当时，总有．

其中，所有正确结论的序号是_________

三、填空题

14．已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为1，则_________．

15．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．

四、解答题

16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

17．在中，．

(1)若，求；

(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积

条件①：；    条件②：

18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:

其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).

(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；

(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；

(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.

19．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.

20．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)若方程有解，求a的取值范围．

21．已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中．

(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

(2)当时，若，求证：；

(3)当时，若，求证：．

参考答案

1．D

【分析】由补集定义可解.

【详解】因为，，所以.

故选：D

2．C

【分析】首先得到，令，解得，再代入通项求解即可.

【详解】，

令，解得.

所以的系数为.

故选：C

3．A

【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.

【详解】因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

且双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项A正确；

因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项B错误；

因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项C错误；

因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，

其渐近线方程为，所以选项D错误.

故选：A.

4．D

【分析】根据五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足，将代入，结合对数的运算，可得答案.

【详解】由题意可知

,

故选:D.

5．A

【分析】利用奇函数的性质，可以求出的值，由偶函数的性质，可以求出的值，利用对数的运算公式，可以求出的值.

【详解】因为函数是奇函数，所以，即，

因为是偶函数，所以，

因此，故本题选A.

【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.

6．A

【分析】根据已知判断，即与分别是公差为的等差数列，利用的值，求得的值.

【详解】由得，两式相减的，即与分别是公差为的等差数列，所以①.而②，由①②得.

故选A.

【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的和，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

7．A

【分析】令方格边长为1，、与水平线夹角为，，由结合差角正切公式求夹角大小.

【详解】若每个方格边长为1，、与水平线夹角为，，

由图知：，而，

所以，则 .

故选：A

8．A

【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.

【详解】当，解得：，

且当时，，解得：，

所以“与夹角为锐角时，的取值范围是且，

所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.

故选：A

9．D

【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.

【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，

则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，

所以，，

由题意可得，

所以，，即，

所以，，则，则，

令可得，所以，，

令，则，由可得，

因为，则，

当时，，对应第张照片，

当时，，对应第张照片，

当时，，对应第张照片.

故选：D.

10．C

【分析】根据的变化情况并找出的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确.

【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确，

此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确，

 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，

当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，

故②错误.

故选：C.

【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断；

(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；

(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题.

11．

【分析】设，代入所给等式根据复数相等的充要条件求出a、b即可求得复数.

【详解】设，则，

所以，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查共轭复数、根据复数相等求参数，属于基础题.

12．

【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由，可得，故解集为.

故答案为：.

13．①②③

【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误.

【详解】因为，两式作差得，故为常数列，

即，故，①正确；

因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；

由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，

又，故，使得当时，总有，③正确；

，又，故，因为为常数，

为单增数列，故当时，，，故④错误.

故答案为：①②③.

14．     1；    

【分析】第一空：将一般方程化为标准方程即可求解；第二空：先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.

【详解】第一空：将化为标准式得，故半径为1；

第二空：圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.

故答案为：1；.

15．     ；    

【分析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可.

【详解】第一空：由可得，易得的最大值为；

第二空：若的值域为，则恒成立，

即，又，故，

解得，又，故当时，a的最小值为.

故答案为：；.

16．(1)证明见解析

(2)，详情见解析

【分析】(1)设中点为，连接，由三角形中位线性质可得，且从而可得四边形为平行四边形，再由即可证得平面；

(2)按照条件①、条件②的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．

【详解】（1）如图（1），设中点为，连接，

底面为正方形，E，F分别为的中点．

，且，而又，,

且，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，

平面.

（2）选条件①：连结,过作交于点，又因为，所以点也是中点，连结，

，为的中点，则,又底面为正方形，,， ,

在中，,

平面平面，平面平面，平面，

如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，

,,

平面，是平面的一个法向量，;

设平面的一个法向量为，则有

，令,则， ；

.

故二面角的余弦值为．

选择条件②：取的中点为，连结,又平面平面，平面平面，平面，

过作交于点，连结 ,又是中点，所以点也是中点，

平面，平面,,

设 ，则,，, ，，，，故在中，,即，解得，即，

如图（3）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，

,,

平面，是平面的一个法向量，;

设平面的一个法向量为，则有

，令,则， ；

.

故二面角的余弦值为．

17．(1)；

(2)

【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；

（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可.

(1)

由正弦定理得：，又，故，又，故，；

(2)

若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；

若选②：由，又，则，，由余弦定理得，

即，解得或（舍去），故的面积为.

18．(I)； (II),分布列如下：

(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.

【解析】(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下

(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.

(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.

【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,.

(II)由题意得的取值可能为0，1，2

,

,

.

的分布列为

.

（III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.

【点睛】超几何分布的特征.

(1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤.

19．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦距和半长轴长都为2，以及椭圆的性质即可求解；

（2）设出直线l的方程以及P（，），Q，），联立 求出韦达定理，令求出 M（4，），N（4，），由即可证明.

【详解】（1）由题意得，

解得

所以椭圆C的方程为；

（2）F（1，0），A（-2，0），

设直线l的方程为，

由得

直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.

设P（，），Q，），

则.

直线AP的方程为，

令，得，即M（4，），

同理，N（4，），

所以，

所以

，

所以以MN为直径的圆恒过点F.

20．(1)

(2)单调递增区间为，单调递减区间为

(3)

【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；

（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；

（3）分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.

【详解】（1）由题，，所以，，

所以，又，所以曲线在处的切线方程为：，

即；

（2）令得，所以，令得，所以，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

（3）因为方程有解，即方程有解，

令，，则方程有解，所以，有解，

记，，则函数与直线有公共点，

，令，，

令得，令得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

所以函数在上单调递增，

记，，令得，

令得，所以函数在上单调递增，

在上单调递减，所以，所以，

作出图象，如图：

由图可知，函数与直线有公共点时，即实数a的范围为.

【点睛】方法点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.也可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.

21．(1)；

(2)见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；

（2）讨论，两种情况，利用反证法即可求解；

（3）讨论，两种情况，当时，由（2）的结论，中至少有两个1，利用反证法可得，根据的定义即可证明.

【详解】（1）因为数列A：4，3，2，1，，

所以.

因为，

所以，，，

，.

故数列A的伴随数列为.

（2）当时，，显然有；

当时，只要证明.

用反证法，假设，

则，从而，矛盾.

所以.

再根据为正整数，可知.

故当时，.

（3）当时，，有，此时，命题成立；

当时，由（2）的结论，中至少有两个1，

现假设中共有个1，即

则.

因为若，则，矛盾.

所以.

根据的定义可知，，，

，

以此类推可知一直有，再由后面，可知；

另一方面与奇偶性相同，所以.

【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解,注意反证法的运用.