第48讲 空间向量与立体几何-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向, 如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
通关二、平面法向量的求法
(1) 设平面的法向量为;
(2) 找出 (求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标 ，;
(3)根据法向量的定义建立关于的方程组;
(4) 解方程组, 取其中的一组解, 即得法向量.
要点诠释：
求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给，，中的一个变量赋一特殊值(常赋值,)即可确定一个法向量,赋值不同, 所求法向量不同,但不能作为法向量.
通关三、用向量法求空间角
1. 求异面直线所成的角
(1) 选好基底或建立空间直角坐标系;
(2) 求出两直线的方向向量，；
(3) 代入公式 .
两异面直线所成角的范围是 , 两向量的夹角的范围是 , 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为直角时,其补角才是异面直线的夹角.
2. 求线面角
(1) 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;
(2)通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角, 取其余角就是斜线和平面所成的角.
3. 求二面角
(1) 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量, 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2) 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
结论一、空间向量的基本定理
如果三个向量，，不共面,那么对空间任一向量,存在唯一一个有序实数组，，使其中，，叫作空间的一个基底, 记作.
【例】1 如图所示,在平行六面体中,是的中点,是的中点,是的中点,点在上,且,设,，用基底表示以下向量:
(1)；（2）；(3)；(4).
【变式】 设点为空间任意一点,点，，是空间不共线的三点,又点满足等式: , 其中,，，求证: ，，，四点共面的充要条件是.
结论二、空间向量的坐标运算
设,，则
(1) ,；
（）;，
(2) （），，（）,
，;
(3) .
【例2】 已知，，.
(1)求，;
(2) 问当实数的值为多少时,的模最小;
(3) 问是否存在实数,使得向量垂直于向量;
(4) 问是否存在实数,使得向量平行于向量.
【变式】 已知,,,.
(1) 求线段,的长;
(2) 求证:这四点,,,共面;
(3) 求证:,;
(4) 求向量与所成的角.
结论三、平行的判定和性质
设直线，的方向向量分别为, ,平面 ，的法向量分别为,.
1. 线线的平行关系: (或与重合) ;
2. 线面的平行关系 : 或 存在实数, ，使
（其中，为平面内的两个不共线的向量)；
3. 面面的平行关系: （，重合）.
【例3】如图,四棱锥中,底面，,底面为梯形,,，，点在棱上,且.求证:平面.
【变式】 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,是等腰直角三角形, ，，.
(1)求证:平面；
(2)设线段的中点为，在直线上是否存在一点,使得平面? 若存在,请指出点的位置,并证明你的结论；若不存在,请说明理由.
结论四、垂直的判定和性质
设直线，的方向向量分别为 , ，平面，的法向量分别为，.
1. 线线垂直:;
2. 线面垂直: ;
3. 面面垂直: .
【例4】如图,四棱锥的底面是正方形,底面，,，点，分别为棱，的中点.
(1)求证:平面；
(2)求证:平面平面.
【变式】 如图,已知长方体中,,,.棱上是否存在点,使平面平面? 证明你的结论.
结论五、点到面的距离
求定点到平面的距离,可设平面的法向量为,面内一点,则点到平面的距离 .
【例5】 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,，底面，，为的中点,为的中点.
(1)证明:直线平面；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)求点到平面的距离.
【变式】如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,,分别是与的中点,点在平面内的射影是的重心.
(1)求与平面所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
结论六、线线角
设直线, 的方向向量分别为, ,则, 所成角满足:, .
要点许释：
空间两条直线所成角的范围是,异面直线所成角的范围是,而两个向量之间的夹角范围是 , 这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方.
【例6】 如图,在棱长为的正方体中,,,分别是,,的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出,,,的坐标;
(2)求证:,且;
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
【变式】 如图，正四棱锥的底面边长与侧面棱长都是2，是的中点.
求异面直线和所成角的大小.
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
结论七、线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，则与所成角满足：
.
【例7】如图，已知点在正方体的对角线上，.
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平面所成角的大小.
【变式】 如图，已知长方体中，，，连结，过点作的垂线交于，交于.
求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
结论八、二面角
设平面的法向量分别为，则所成的二面角满足：
（为平面所成的二面角，）.
【例8】如图，已知矩形所在平面外一点，平面，分别是的中点，，
（1）求证：平面；
（2）求证：，且；
（3）求直线与所成的角；
（4）求直线与平面所成的角；
（5）求平面与平面所成的角.
【变式】如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.