精品解析：广东省深圳市南山区南山外国语（集团）2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

南山区南山外国语（集团）2022−2023学年第二学期八年级期中考试

数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）

1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．

【详解】A．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

B．是中心对称图形，满足中心对称图形的定义，故此选项正确；

C．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．

故选B．

【点睛】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转与原图形完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．

2. 如果，那么下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题不等式的性质逐一判断即可．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【详解】A.，，不正确，不符合题意；

B. ，，不正确，不符合题意；

C. ，，不正确，不符合题意；

D. ，，正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查解不等式的性质，熟练不等式的性质是解题的关键．

3. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）

A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°

【答案】B

【解析】

【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，

∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，

故选B．

4. 若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）

A. 4 B. ﹣4 C. ±2 D. ±4

【答案】D

【解析】

【分析】利用完全平方公式因式分解计算即可．

【详解】解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，

即x2+mx+4＝x2±4x+4，

∴m＝±4．

故选：D．

【点睛】本题要熟记完全平方公式，解题的关键是需要进行分类讨论求解．

5. 根据图象，可得关于x的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图像，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是，

所以关于的不等式的解集是，

故选：A

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图像确定不等式的解集是解题的关键．

6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两条边相交，若∠1＝40°，∠2＝23°，则∠C的度数为（　　）

A 40° B. 50° C. 63° D. 67°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】解：过作，

，

，

，，

，

，

，

故选．

【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

7. 下列说法正确的个数是（    ）

①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定及勾股定理的逆定理对各选项逐一判断后即可确定答案．

【详解】解：①两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误；

②等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误；

③全等三角形对应边上的中线相等，正确；

④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误；

⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形，正确．

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键，属于基础题，比较简单．

8. 如图，在中，已知，，的周长为，分别以A、B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，则的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，所以，进而可以解决问题．

【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，

∴，

∵的周长为

∴

∵

∴

即：

∵

∴

∴的周长．

故选：A．

点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．

9. 不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可．

【详解】解：解等式组得

，

∴，

∵不等式组的所有整数解的和为9，

当x的整数解为2，3，4时，

∴

∵a为整数，

∴，

当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时，

∴

∵a为整数，

∴，

∴整数的值有2个，

故选：B．

【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点．

10. 如图，在中，，，D为BC中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：

平分；；；；．其中正确的结论有　　

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

【答案】B

【解析】

【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．

易证是等腰直角三角形，故BF．

由≌，推出，由，推出，即．

在中，，易证．

由于≌，推出，推出，于，即可推出．

【详解】解：错误，

，

是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．

正确

，，

，

，

是等腰直角三角形，故BF．

正确，，，

≌，

，

，

，

．

正确在中，，

，是等腰直角三角形，

．

正确≌，

，

，

，

．

故选B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二．填空题（每题3分，共15分）

11. 已知：点与点关于原点O成中心对称，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可．

【详解】解：点与点关于原点对称

即

故答案为：2023

【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．

12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 _____cm．

【答案】20

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分4cm为腰和底两种情况，再根据构成三角形的条件以及三角形周长公式计算即可．

【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则

当4cm的边为腰时，这个三角形的三边分别为4cm ，4cm和8cm，

，不能构成三角形，故此情形不存在，

当4cm的边为底时，这个三角形的三边分别为4cm，8cm和8cm，周长为cm

故答案为：20

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．

13. 把多项式分解因式结果为_______．

【答案】

【解析】

【分析】先提公因式，再用平方差公式．

【详解】解：，

故填：．

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法是关键．

14. 如图，中，AD是的角平分线，BE是边AD上的中线，若的面积是24，，，则的面积是______．

【答案】7.5

【解析】

【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．

【详解】解：如图

过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，

∵AD是角平分线，

∴DF=DG，设DF=DG=h，

S△ABC=S△ABD+S△ADC

24=AB•DF+AC•DG

∴5h+3h=48

解得h=6，

∴S△ABD=×5×6=15

∵BE是△ABD中的中线，

∴S△ABE=S△BDE=S△ABD=7.5．

故答案为 7.5．

【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．

15. △ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．

【答案】．

【解析】

【分析】根据题意连接EC，作CH⊥AB于H，首先证明CE∥AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．

【详解】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，

∵∠PAE=∠BAC=60°，

∴∠PAB=∠EAC，

∵PA=EQ，BA=CA，

∴△PAB≌△EAC(SAS)，

∴∠ABP=∠ACE，

∵∠ABP=180°﹣60°=120°，

∴∠ACE=120°，

∴∠BCE=120°﹣60°=60°，

∴∠ABC=∠BCE，

∴CE∥AB，

∴点E的运动轨迹是直线CE(CE∥AB)，

∵CB=CA=AB=2，CH⊥AB，

∴BH=AH=1，

∴CH，

根据垂线段最短，可知OE的最小值=CH．

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

三．解答题（共55分）

16. 解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．

．

【答案】不等式组的解集是，该不等式组的最小整数解是1

【解析】

【分析】先求出每个不等式的解集，再取其公共部分即可．

【详解】解：，

由①得，，

由②得，，

即不等式组的解集是，

故该不等式组的最小整数解是1．

【点睛】本题考查了求解不等式组解集的知识，掌握相应的解答方法是解答本题的关键．

17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．

（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到，请画出；

（2）将绕点顺时针旋转，得，请画出；

（3）求（2）中点旋转到点所经过的弧长（结果保留π）．

【答案】（1）作图见解析   

（2）作图见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，然后再顺次连接即可；

（2）先作出绕点顺时针旋转后的对应点，然后再顺次连接即可；

（3）根据弧长公式进行计算即可．

【小问1详解】

解：如图，为所作；

【小问2详解】

解：如图，为所作；

【小问3详解】

解：，

（2）中点旋转到点所经过的弧长．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换和平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

18. 如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）2

【解析】

【分析】（1）先证明可得，从而得到，进而得到，即可；

（2）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，连接，则，可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可．

【小问1详解】

证明：∵，，

∴，

∵D为的中点，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形；

【小问2详解】

解：由（1）知，是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

连接，则，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

19. 某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：

（1）求出足球和篮球的单价；

（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？

【答案】（1）足球的单价为60元，则篮球的单价为80元   

（2）有三种方案：方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案三：购进足球40个，则购进篮球10个

【解析】

【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；

（2）设购进足球y个，则购进篮球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．

【小问1详解】

设足球单价为x元，则篮球的单价为元，

根据题意，得，

解得：，．

即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；

【小问2详解】

设购进足球y个，则购进篮球个．

根据题意，得，

解得，

∵y为整数，

∴，39，40．

当，；

当，；

当，．

故有三种方案：

方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；

方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；

方案三：购进足球40个，则购进篮球10个．

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，明确题意，列出相应的一元一次方程和一元一次不等式组是解答本题的关键．

20. 阅读材料：

①用配方法因式分解：．

解：原式

．

②若，利用配方法求M的最小值．

解：．

∵，，

∴当时，M有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_____=______．

（2）用配方法因式分解：．

（3）若，求M的最大值．

【答案】（1）4；   

（2）   

（3）M的最大值3

【解析】

【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解；
（2）将143化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；

（3）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案．

【小问1详解】

解：∵，

故答案为：4；

【小问2详解】

解：

；

【小问3详解】

解：

，

∵，

∴当时，M有最大值，最大值为3．

【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．

21. 已知：在和中，．

（1）如图①，若，求证：．

（2）如图②，若，则与间的等量关系式为__________，的大小为__________（直接写出结果，不证明）

【答案】（1）证明见解析   

（2），α

【解析】

【分析】（1）利用证明，即可得到结论；

（2）与（1）同理可证，得到，由得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到即可．

【小问1详解】

证明：∵，

∴，

∴．

在和中，，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵，

∴，

∴．

在和中，，

∴，

∴；

如图②，设与相交于点E，

∵，

∴，

在和中，

，,，

∴，

故答案为：，

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

22. 如图：已知、，且a、b满足．

（1）如图1，求 的面积；

（2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；

（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值．

【答案】（1）   

（2），证明见解析   

（3）是定值，定值为

【解析】

【分析】（１）根据非负数的性质得到，，解出a、b，即可得到答案；

（2）延长DB到F使BF＝AC，连接OF，易得，从而得到，易得，即可得到证明；

（3）是定值，作于，在上截取，易得，根据等腰直角三角形的性质得出结论．

【小问1详解】

解：，

，，

，，

、，

，，

的面积；

【小问2详解】

证明：延长DB到F使BF＝AC，连接OF，

∵，

∴，

∵

∴，

∴

，，

，

，

在与中，，

，

，，

故；

【小问3详解】

是定值，作于，在上截取，

，

，

，

，

在与中，

，

，

，

，即：，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．