山东省济宁市兖州区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

2022—2023学年第二学期期中质量检测

高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．已知复数，则z的虚部为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．在中，已知，则角B等于（    ）

A．60°或120°   B．30°或150°   C．60°   D．30°

4．将函数图像上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数，则的方程为（    ）

A．   B．

C．   D．

5．已知向量，向量．若向量与向量垂直，则（    ）

A．   B．   C．3   D．5

6．在中，，D，E分别是BC边上的三等分点，则的值是（    ）

A．6   B．   C．8   D．

7．已知，若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

8．2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆．大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座高度为25.4米的建筑物PQ，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点与P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（    ）

（参考数据：，结果精确到整数）

A．58    B．60   C．66   D．68

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A．z对应的点位于第二象限  B．z的虚部为2   C．    D．

10．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然，社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

11．已知函数（其中）的部分图象如图所示．则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线平对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．与图象的所有交点的横坐标之和为

12．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，记．在上述xOy坐标系中，若，则（    ）

A．   B．   C．   D．与夹角的余弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为________．

14．在中，若，的面积为42，则b的值为_______．

15．将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，若是奇函数，则__________．

16．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC、AC，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，．则_____．

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知复数

（1）当m取什么值时，复数z是纯虚数；

（2）当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m取值的集合．

18．（12分）

已知向量，且与的夹角为．

（1）求；

（2）若与的夹角为钝角，求实数取值的集合．

19．（12分）

已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知．

（1）证明：；

（2）若，求的周长．

20．（12分）

某中学在4月底举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），若记木马一开始的位置为点A，与C的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B，与C的直线距离为8米．

（1）求弦长AB的值；

（2）求旋转中心O到C点的距离．

21．（12分）

已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）若，求的最大值及相应x的值．

22．（12分）

已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平和个单位长度得到的图象，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出Р点坐标；若不存在，说明理由．

2022-2023学年度第二学期期中质量检测

高一数学试题参考答案

1、A   2、C   3、D   4、A   5、A   6、B   7、C   8、B

9、CD   10、BC   11、BCD   12、AD

13、     14、   15、   16、

17解：（1）当时，                                

解得或，                               ………………3分

解得且，                             

即时，复数为纯虚数．                                   ………………5分

当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，，

解得或，                               ………………8分

解得，                                  

所以的取值集合为                          ………………10分

18(1)解：向量，，可得，，且，…………2分

因为与的夹角为，可得，

解得或（舍），                                       ………………4分

所以，则，

所以.                                     ………………6分

(2)解：由向量，，

可得，，     ………………8分

由，解得，……………10分

当向量与共线时，可得，解得，    

所以实数的取值集合为.                                  ………………12分

19解：（1）已知可化简为，…………2分

由正弦定理可得

即，                               ………………4分

由余弦定理可得

即得．                                             ………………6分

（2）由（1）可知，

，，                                                   ………………9分

，，

，所以的周长为14.                          ………………12分

20解（1）连接

由木马旋转的角度为，即，

所以三角形为等边三角形，所以；             ………………4分

（2）连接，

在三角形中，

由余弦定理有，

因为，所以，                              ………………8分

又，

在三角形中，由余弦定理有，

故旋转中心O到C点距离为．                              ………………12分

21解：（1）∵，，，

∴，                                            ………………2分

∴，

∴cosx＝0或，

即cosx＝0或tanx，

∵，∴或；                                  ………………6分

(2)

                            ………………8分

∵，∴，

∴，                                        ………………10分

∴，故f（x）的最大值为，此时．              ………………12分

22解：(1)，          ………………2分

故；                                               ………………3分

，

所以，                                            ………………5分

假设存在点，使得，则

即，                                       ………………7分

因为，所以，

所以，

又因为，

所以当且仅当时，                                        ………………10分

和同时等于，此时，

故在函数的图象上存在点，使得             ………………12分