2022年广东省湛江市坡头区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省湛江市坡头区中考数学一模试卷（含答案），共21页。

1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．2022B．﹣C．﹣2022D．
2．（3分）国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将101000用科学记数法表示为（ ）
A．101×103B．1.01×105C．101×107D．1.01×109
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a2+a2＝a4（2ab2）2+4a2b4
D．（2ab2）2＝4a2b4
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
5．（3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝24°，则∠BOD的度数是（ ）
A．48°B．30°C．60°D．24°
6．（3分）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），则当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣4B．x＞0C．x＜﹣4D．x＜0
7．（3分）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（ ）
A．200米B．米
C．米D．米
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，则抛物线y＝x2+2x+m的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．C．D．1
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）分解因式：x2y﹣y＝ ．
12．（4分）分式有意义，x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是 ．
14．（4分）已知a，b在数轴上位置如图，化简﹣＝ ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cs∠EFC的值是 ．
16．（4分）已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE＝ °．
17．（4分）在锐角△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（1﹣π）0﹣2cs30°+|﹣|﹣（）﹣1．
19．（6分）先化简，再求值：（a+1﹣）÷（），其中a＝2﹣．
20．（6分）为了解我校初一年级学生的身高情况，随机对初一男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据调查所得数据绘制如图所示的统计图表．由图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号）；
（2）求女生身高在B组的人数；
（3）我校初一年级共有男生500人，女生480人，则身高不低于160cm的学生人数．
21．（8分）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
22．（8分）从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD （精确到0.1m）．
[参考数据：sin28°＝0.47，cs28°＝0.88，tan28°＝0.53；sin15°＝0.26，cs15°＝0.97，tan15°＝0.27]．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）点P（a，0）为x轴正半轴上的一点，且△APB的面积为，求a的值．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．
（1）动手操作：利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出⊙O与AB的另一个交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若AB＝6，BD＝2，求线段BD、BE与劣弧所围成的图形面积（结果保留根号和π）．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年广东省湛江市坡头区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣2022的倒数是：﹣．
故选：B．
2． 解：101000＝1.01×105，
故选：B．
3． 解：A．a2⋅a3＝a5，故原式不正确；
B．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故原式不正确；
C．a2+a2＝2a2，故原式不正确；
D．（2ab2）2＝4a2b4，正确．
故选：D．
4． 解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5． 解：如图，连接AO，
∵∠C＝24°，
∴∠AOD＝48°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝48°，
故选：A．
6． 解：由函数图象可知x＜﹣4时y＜0，
故选：C．
7． 解：作BE⊥MD于点E，如图所示，
由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，
∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，
∴＝2，
解得AM＝200米，
∴BE＝200米，
∵tan∠BDE＝，
∴tan30°＝，
解得DE＝200米，
∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，
故选：C．
8． 解：∵抛物线y＝x2+2x+m的对称轴是：x＝﹣＝﹣1，
∴y＝x2+2x+m的顶点在y轴的左侧，
又∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴开口向上的抛物线y＝x2+2x+m与x轴没有交点，
∴抛物线y＝x2+2x+m的顶点一定在第二象限．
故选：B．
9． 解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，
∴S⊙O＝π×12＝π，
连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，
在Rt△ABO中，AB＝＝，
即扇形的对应半径R＝，
弧长l＝＝，
设圆锥底面圆半径为r，则有
2πr＝，
解得：r＝．
故选：B．
10． 解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0．
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：x2y﹣y
＝y（x2﹣1）
＝y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
12． 解：∵分式 有意义，
∴3x﹣2≠0，
解得，
故答案为：．
13． 解：由ABCD是正方形，得
AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°．
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠BAE＝∠ADF．
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
故答案为：90°．
14． 解：从数轴上可以得出：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
∴＝|a﹣b|﹣|a|＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a）＝﹣a+b+a＝b．
故答案为：b．
15． 解：由翻折变换的性质可知，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，
∴∠EFC+∠AFB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EFC＝∠BAF，
∵cs∠BAF＝＝，
∴cs∠EFC＝，
故答案为：．
16． 解：如图，连接OD，OC，
根据题意得，
∠AOD＝68°，∠AOC＝160°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝92°，∠COP＝180°﹣∠AOC＝20°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝×（180°﹣92°）＝44°，
∵∠OCD＝∠COP+∠APE，
∴∠APE＝24°，
故答案为：24．
17． 解：如图，在BA上截取BE＝BN，连接CE．
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，
，
所以△BME≌△BMN，
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为，
所以CM+MN的最小值是．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝1﹣2×+﹣4
＝1﹣+﹣4
＝﹣3．
19． 解：原式＝（﹣）÷[﹣]
＝÷
＝•
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a，
当a＝2﹣时，
原式＝（2﹣）2﹣2（2﹣）
＝4﹣4+3﹣4+2
＝3﹣2．
20． 解：（1）∵抽取的样本中，男生人数有2+4+12+14+8＝40人，
∴男生身高的中位数是第21、22个数的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组；
故答案为：D；
（2）∵男生、女生的人数相同，
∴女生有40人，
∴女生身高在B组的人数有：40×（1﹣20%﹣30%﹣15%﹣5%）＝12人；
故答案为：12；
（3）根据题意得：
500×+480×（15%+5%）＝275+96＝371（人），
答：身高不低于160cm的学生人数有371人．
21． 解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得：
＝×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240
解得a≤30
∵a是整数，
∴a最大等于30，
答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球．
22． 解：作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N．
在△ANE中，∠ENA＝90°，，
∵∠BAE＝28°，AN＝0.5×8＝4m，
∴EN＝AN•tan28°＝4×0.53＝2.12m，
在△CME中，∠CME＝90°，
sin∠ECM＝，
∵∠DCE＝15°，EC＝7m，
∴ME＝CE•sin15°＝7×0.26＝1.82m，
∴NE+ME＝2.12+1.82＝3.94m≈3.9m，
答：观景台地面CD距水平地面AB的高度BD约3.9m．
23． 解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11，
∵点P（a，0）为x轴正半轴上的一点，
则点P（3，0）；
（3）存在，理由：
设点Q（m，n），
当AB是对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
即点Q（﹣1，5）；
当AP是对角线时，同理可得：
，解得：，
即点Q的坐标为（5，1）；
当AQ是对角线时，同理可得：
，解得：，
即点Q的坐标为（1，﹣1）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，5）或（5，1）或（1，﹣1）．
24． 解：（1）如图1；
（2）①如图1，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
即直线BC与⊙O的切线，
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；
（2）如图2，设⊙O的半径为r，则OB＝6﹣r，又BD＝2，
在Rt△OBD中，
OD2+BD2＝OB2，
即r2+（2 ）2＝（6﹣r）2，
解得r＝2，OB＝6﹣r＝4，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形ODE＝＝π，
S△ODB＝OD•BD＝×2×2＝2，
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S△ODB﹣S扇形ODE＝2﹣π．
25． 解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝x+3，
过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，
由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5，
联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∵B（﹣3，0），
∴BD＝，
∵M点在直线BC上，
设M（t，t+3），
当四边形BDMN为菱形时，如图1，
∴DB＝DM，
∴10＝（t+2）2+t2，
∴t＝1或t＝﹣3（舍），
∴M（1，4）；
当四边形BDNM为菱形时，如图2，
∴BD＝BM，
∴10＝（t+3）2+（t+3）2，
∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；
当四边形BMDN为菱形时，如图3，
设BD的中点为G，则G（﹣，），
∵GM⊥BD，
∴BM2＝BG2+GM2，
∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t﹣）2，
∴t＝﹣，
∴M（﹣，）；
综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）．
组别
身高（cm）
A
x＜150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165