2022-2023学年安徽省池州市高三下学期4月高考仿真适应性考试数学试题含解析

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池州市2022-2023学年高三下学期4月高考仿真适应性考试

数学试题

满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､单项选择题：本大题共8小题，共40分.

1.若集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.在平行四边形中，，设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6..我国古代典籍《周易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为《周易》，是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yao）组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.间的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知函数的定义域为为的导函数，，，若为偶函数，则以下四个命题：①；；③；④中一定成立的个数为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（    ）

A.越小，该物理量一次测量结果落在的概率越大

B.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等

C.该物理量一次测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5

10.已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）

A.在区间上有且仅有3个不同的零点

B.的取值范围是

C.的最小正周期可能是

D.在区间上单调递增

11.设正整数，其中，记，则（    ）

A.    B.

C.    D.

12.如图，正四棱柱中，，动点满足，且.则下列说法正确的是（    ）

A.当时，三棱锥的体积为

B.当时，的最小值为

C.若直线与所成角为，则动点的轨迹长为

D.当时，三棱锥外接球半径的取值范围是

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若锐角满足，则__________.

14.若函数的定义域为，且，则__________.

15.已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________.

16.已知实数满足，则的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.

18.的内角的对边分别为，已知.

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

20.在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

（1）求丙连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.

21.已知双曲线过点，且焦距为.

（1）求的方程；

（2）已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上一点，且满足，证明：点总在某定直线上.

22.已知函数和有相同的最大值.

（1）求；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

2023届高三年级高考仿真适应性考试

数学试题参考答案

一､单项选择题.

1.【答案】C

【解析】

故M.

2.【答案】D

【解析】，

所以该共轭复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限.

3.【答案】C

【解析】因为四边形为平行四边形，

所以，

因为，所以

所以，

因为，

所以，解得，

所以.

4.【答案】C

【解析】

记抛物线的焦点为，因为，则以为直径的圆与准线相切于点，由抛物线的

焦点弦性质可知，所以.

5.【答案】A

【解析】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，

且，故.

因为，故，故的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为，半径为

故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为.

6.【答案】D

【解析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有2个阳爻情况有，所以该重卦恰有2个阳爻的概率为.

7.【答案】B

【解析】令，则，

所以在上单调递增，故，即，

所以，则，即，故；

因为，所以其展开通项公式为，

故，

所以

令，则，

所以在上单调递增，则，即，

所以，故，即；

令，则，

因为，所以，则，故，

所以在上单调递增，则，即，

易知，所以，则，即；

综上：.

8.【答案】B

【解析】，

又是偶函数，，两边求导得是奇函数，，即，

是周期函数，4是它的一个周期，是周期函数，4是它的一个周期.，则①正确；

，则②正确；

是周期为4的周期函数，又是奇函数，，

，则④不正确；

，

，因此，

不能得出③；则一定正确的有①②，共2个.

故选：B.

二､多项选择题：

9.【答案】ACD

【解析】对于为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；

对于B，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故B错误.

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于的概率相等，故C正确；

对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故D正确；故选：ACD.

10.【答案】BD

【解析】由，得，

因为函数在区间上有且仅有3条对称轴，

所以，解得，故B正确；

对于A，，

当时，在区间上有且仅有2个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，故错误；

对于C，周期，由，则，

又，所以的最小正周期不可能是，故C错误；

对于D，，又，

，

所以在区间上一定单调递增，故D正确.

故选：BD.

11.【答案】ABD

【解析】，故A对.

，故B对.

，同理，故C错.

，故D对.

故选：ABD.

12.【答案】BCD

【解析】对于，取相交于点的中点为，

如下图所示：

当时，即，

由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又

；即不正确；

对于，当时，由利用共线定理可得，三点共线，

即点在线段上；由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，

所以；取平面进行平面距离分析，如下图所示：

所以，当且仅当三点共线时，等号成立，

此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确；

对于，由图可知，与所成角都为，由可知，

点在平面内，若直线与所成角为，在线段上取点，

使，则直线与所成角为；

则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，

如下图中细虚线所示：

所以动点的轨迹长为，故C正确；

对于，当时，取的中点为，即；

由可知，三点共线，

即点在线段上，如下图所示：

易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为；

作于点，设，易知，

由相似比可得，

设外接球半径为，则，解得；

所以，易知当时，半径最小为；当，时，半径最大为；又，所以半径的取值范围是，即D正确.

故选：BCD

三､填空题：

13.【答案】

14.答案】

15.【答案】

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为

，所以直线与圆相离.依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，

而

当直线时，，此时最小.

的直线方程为：，与联立得：

所以以为直径的圆的方程为，即.

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程.

另法：求出，直接用切点弦方程代入即可.

16.【答案】

【解析】因为实数满足，

所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点，

当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，

当时，其图象不存在，

当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离

所以，结合图象可得的范围就是

图象上一点到直线距离范围的2倍，

双曲线其中一条渐近线与

直线平行，

通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离3的2倍，设与其图像在第三象限相切于点，由

因为或（舍去）.

所以直线与直线的距离为.

此时，所以的取值范围是.

四､解答题：

17.解析：

（1）依题意，当时，解得，

，当时，有，作差得：

，

，

，

数列是首项为3，公差为2的等差数列，

.

（2）由（1）得，，又，同时，

.

所以的前100项和为9089.

18.解析：

（1）根据题意，

由正弦定理得，

，故，

.

（2）因为是锐角三角形，由（1）知得到，

故，解得.

又由正弦定理得：

又，

故.故的取值范围是

（2）（法二）当为直角时，最大，此时，

当为直角时，最小，此时，

又因为是锐角三角形，，

.

19.解析：

（1）由题设知，为等边三角形，不妨设，

则，

又为等边三角形，则，

.

同理可证：，又，

平面，又平面，

平面平面

（2）过作交于点，因为平面，以为坐标原点，

为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，平面平面法向量为，.

设平面的一个法向量为，，

由，

令

故.

设二面角的大小为，则.

20.解析：

（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”，

所以丙连胜四场的概率：；

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

而甲､丙连胜四场的概率为，

乙上场后连胜三场获胜的概率为，

需要进行第五场比赛的概率.

（2）（法二）记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输，

则四局内结束比赛的情况为：“”，

即四局内结束比赛的概率为：，

所以需要进行第五场比赛的概率为；

（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下：

记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输，

记事件：甲赢，记事件：赢，

则甲赢的基本事件包括：､

，

甲赢的概率为.

由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，

即丙最终获胜的概率也是.

所以乙赢的概率为.

又，所以三人中乙最终获胜的概率最大.

21.解析：

（1）双曲线方程为.

（2）设点，

由题设知，均不为零.

且，又四点共线，

可设

由于在C上，将（1），（2）分别代入的方程整理得

由（4）得：，

即点总在定直线上.

（2）（方法二）设点，

设直线的方程为：，

联立得，，

又直线与C交于右支，

又在线段上，

，

将代入（1）得.

将中的参数消去得：.

故在直线上.

22.解析：

（1），

当时，当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

由，

当时，当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

于是有.

（3）由（1）知，两个函数图象如下图所示：

由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设

且，

由，又，

又当时，单调递增，所以，

又，又，

又当时，单调递减，所以，

；

于是有.