2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题含解析

这是一份2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题

一、单选题
1．概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.
【详解】钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故；
第二象限角的范围是，即第二象限角不一定小于，
故ABD错误，C正确；
故选：C
2．若虚数z使得z2+z是实数，则z满足（    ）
A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是
【答案】A
【分析】设（且），计算，由其为实数求得后可得．
【详解】设（且），，
是实数，因此，（舍去），或．
故选：A．
3．中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（     ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可知，，则且，
即，整理可得，
由题意可知，，解得.
故选：C.
4．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
5．已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第5项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第5项.
【详解】由题意可知，，的展开式的通项为，
则展开式中的第5项为.
故选：A
6．设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为，
，
又
所以，
(1)若则，不等式
可化为，则，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
(2)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(3)若则，不等式
可化为，所以
①若，则可化为，满足，
可化为，满足，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(4)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，满足，
可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
综上， 或或或或，
由知，A错误；
由知，B错误；
当时，，
取可得，满足条件但，
C错误；
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
7．函数，设球O的半径为，则（    ）
A．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为 D．球O的体积最大值为
【答案】D
【分析】设函数，利用导数判断其单调性，从而判断的单调性，进而判断球O的半径的单调性，由此可判断A,B,结合单调性可求得球的表面积以及体积的最值，判断C,D.
【详解】令 ，则 ，
故函数 ， ，
即为单调增函数，
而在 上递增，在 上递减，
故在上递增，在 上递减，
又在上递增，在 上递减，
且是正值，也是正值，
故在上递增，在 上递减，
即球O的半径在上递增，在 上递减，
故A，B错误；
由以上分析可知当时，球O的半径取到最大值为，
故球O的表面积最大值为，无最小值，故C错误；
同时球O的体积最大值为，故D正确；
故选：D
【点睛】本题将球的相关计算和导数综合在一起考查，综合性较强，考查综合分析，解决问题的数学素养以及能力，解答的关键是要判断球的半径的变化规律，也就是要结合导数判断复合函数的单调性.
8．设,则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,即可选出选项.
【详解】解:由题因为,
不妨设,
当时,,
所以单调递减,
当时,,
单调递增,
所以,
所以,
即,
故;
因为,
即,
两边同时取对数有,
即,
即,
所以;
因为,
不妨设,
则,
所以单调递增,
所以,
故;
因为,
不妨设,
则,
所以单调递增,
所以,
故.
综上,.
故选:D
【点睛】思路点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查构造函数比较两个数的大小,主要思路有:
(1)根据题目条件,找到都有联系的关键数,令其为x,
(2)构造两个式子差的函数,
(3)求导求单调性,关键数的范围即为定义域,
(4)根据单调性将关键数代入,再取另一离关键数近的函数值比较大小即可.

二、多选题
9．记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，其下列说法正确的是（    ）
A．值域是定义域的子集
B．函数图像是一群孤立的点
C．
D．也是的函数，记作
【答案】BC
【分析】对于A，根据题意求出定义域和值域，然后再判断，对于BC，根据题意判断，对于D，根据题意结合函数的定义判断即可.
【详解】对于A，根据题意可知定义域为，，
因为，所以值域不是定义域的子集，所以A错误，
对于BC，由题意可知数位对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，……，则函数图像是一群孤立的点，，所以BC正确，
对于D，因为时， 和3，不符合函数的定义，所以D错误，
故选：BC
10．在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（    ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
【答案】CD
【分析】由圆的方程写出P的参数坐标，由两点距离公式判断，由等比中项性质判断为等比数列，即可依次求得的通项公式，即可逐个判断，其中由错位相减法求和.
【详解】对AB，由点列P在圆上，则由参数方程得，则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
①②两式相除得，
令，则，则为以首项，公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
11．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，矩形是其轴截面，过点A的平面与圆柱底面所成的锐二面角为，平面截圆柱侧面所得的曲线为椭圆，截母线得点，则（    ）

A．椭圆的短轴长为2
B．的最大值为2
C．椭圆的离心率的最大值为
D．
【答案】ACD
【分析】短轴长为底面圆直径，可以判断A选项；的最大值为，可以判断B选项；长轴长最长为时，可以判断C选项；利用几何关系判断D选项；
【详解】
椭圆在底面上的投影为底面圆，所以短轴长为底面圆直径，即为2，故A正确；
当平面过AC时，的最大值为，故B错误；
椭圆短轴长为定值2，所以长轴长最长为时，离心率最大为，故C正确；
过作椭圆所在平面和底面的交线垂线，垂足为，连接AE，设则，
由题意可得，由余弦定理可得
，
由，
则，
由题意可得，
所以，故D正确.
故选:ACD.
12．已知函数，则下列结论正确的有（     ）
A．若为锐角，则
B．
C．方程有且只有一个根
D．方程的解都在区间内
【答案】BCD
【分析】对A：利用放缩可得；对B：利用做差法分析判断；对C：根据函数的单调性分析判断；对D：分类讨论，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】对A：若为锐角，则，可得，
故，A错误；
对B：当时，，
故，即，B正确；
对C：∵，且在上单调递增，
∴，解得，C正确；
对D：构建，则在上连续不断，则有：
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故在区间内存在零点；
综上所述：只在区间内存在零点，即方程的解都在区间内，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：判断函数零点的方法
（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

三、填空题
13．e作为数学常数，它的一个定义是，其数值约为：2.7182818284…，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将e的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得到密码，如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有______种（以数字作答）．
【答案】36
【分析】利用插空法，结合排列数与组合数，可得答案.
【详解】第一步：对除2以外的3位数字进行全排列，有种方法；
第二步：将两个2选两个空插进去种方法，由分步计数原理可得共有种不同的密码．
故答案为：.
14．世界锦标赛简称，是方程式汽车赛中最高级别.所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会（）规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足，则时赛车的瞬时速度是______（米/秒）.
【答案】
【分析】根据导数的物理意义，利用导数求值，可得答案.
【详解】由，则，即，
故答案为：.
15．已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是__________.
【答案】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线、的方程，设，根据点关于直线对称的计算方法求出点坐标，再根据，则，即可得到、的关系，最后根据、在的同侧得到不等式，求出的取值范围，即可得解；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为，
设，关于对称点，
则，解得，即，
所以，，
当，则，，
此时，此时不成立，
所以，
所以，即，
所以，
又、在的同侧，所以，
即，即，所以，
即点到直线的距离的取值范围为；

故答案为：
16．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______.
【答案】
【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.
【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，
集合表示直线上的点，
，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.

双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，
平行线的距离，故或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.

四、解答题
17． 篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0．
(1)求p3＋2q3的值；
(2)比较p8，q8的大小．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）分析传球的过程，求出和，即可求出；（2）由题意知，即可得到，判断出成首项为，公比为的等比数列，求出，同理求出，可以比较出．
【详解】（1）第3次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲→乙→甲或甲→丙→甲
所以，第3次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲→丙→乙
所以，所以.
（2）（2）由题意知，整理得：
所以，，所以成首项为，公比为的等比数列，
又
同理成首项为，公比为的等比数列，
所以
因为，，，，所以．
18．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数的最小值为；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令，利用二次函数的基本性质可求得函数的最小值；
（2），将所证不等式等价转化为，分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：选①，；
选②，；
选③，.
，令，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
故，则，所以，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为.
（2）证明：，
，
当时，，，所以，
所以，所以成立；
当时，则，且正弦函数在上为增函数，
，所以，，
所以成立，
综上，，.
19．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5.
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率.
参考数据：，，，其中.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合回归方程的求法，求得回归方程.
（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】（1）设，则，
，，，
所以，
.
所以关于的回归方程为.
（2）因为中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，
按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，则选择在品牌官方直播间购物的用户为人，记作，
不在品牌官方直播间购物的用户为人，记作，
从这人随机抽取人，结果有：
，共种，
其中人全是选择在品牌官方直播间购物用户的结果为：
，共种，
所以这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率为.
20．如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.

(1)求证面
(2)求和面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先利用线面平行的性质定理证得，再利用线面垂直的判定定理证得面，从而得到面；
（2）构造平行四边形，将所求角转化为和面的所成角，再在中求得，从而利用三角函数的基本关系式求得，由此得解.
【详解】（1）因为面，面面，面，
所以，
因为是的中点，是等边三角形，所以，
因为在矩形中，，分别是，的中点，所以，
又，所以，
又，面，所以面，
因为，所以面.
（2）在线段上取点使得，连接，
因为是等边三角形的中心，，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以和面所成角等于和面所成角，
由（1）得面，又，所以面，即面，
所以和面的所成角为，即为所求，
在中，，则，
因为，所以，
联立，解得，
所以和面所成角的正弦值为.
.
21．已知点到直线的距离等于，其中．设平面内与点F和直线距离相等的点的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设与C在第一象限的交点为A，与x轴的交点为B，求的面积．
【答案】(1)；
(2)2.

【分析】（1）利用点到直线距离公式，结合抛物线定义求出方程作答.
（2）联立直线与抛物线C的方程，求出点A的纵坐标，再求出三角形面积作答.
【详解】（1）因为点到直线的距离为，则有，而，
解得，又曲线C是平面内到直线与点的距离相等的点的轨迹，
所以轨迹C为抛物线，方程为．
（2）由消去x并整理得：，又点在第一象限，于是得点A的纵坐标，
而直线交x轴于点，则，
所以的面积.
22．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值.
【答案】(1)3
(2)

【分析】（1）计算出，结合求出，得到“偏差”；
（2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”，
【详解】（1），，
因为，所以，则，
故函数与的“偏差”为3；
（2）令，，
，，
因为，，，
当，即时，此时，
则的“偏差”为，由于；
当，即时，此时，
则的“偏差”为，由于；
当，，且，即时，
则的“偏差”为，由于；
当，，且，即时，
则的“偏差”为，由于；
当，，且，即时，
则的“偏差”为，由于；
当，，即时，
则的“偏差”为，由于；
当，，即时，
则的“偏差”为，由于；
综上，时，满足要求.
【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.