2023届山东省滨州市高三数学二模考试模拟试卷含答案

  山东省滨州市2023届高三数学二模考试模拟试卷

     2023.5

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

2．已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）

A． B． C． D．

5．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，在所有小于的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动， 与水平面的所成角为，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位；）与时间（单位： ）之间的函数关系式的图象可能是

A． B． C． D．

7．设，，，则下列关系正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为

A．

B．截面

C．

D．异面直线与所成的角为

10．已知函数，下列说法正确的有（   ）

A．的单调递增区间为(－∞，1)

B．在处的切线方程为y=1

C．若方程有两个不相等的实数根，则

D．的极大值点为(1，1)

11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点F的坐标为 B．若A，F，B三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点F D．若，则的中点到x轴距离的最小值为2

12．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）

A．f（0）＝0

B．f(x)是R上的奇函数

C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6

D．不等式的解集为

三、填空题

13．的展开式中的系数为12，则_________．

14．写出与两圆均相切的一条直线方程为___________.

15．过点且与曲线相切的直线方程为______．

16．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，其前项和为，证明.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角B；

(2)若，且的面积为，求b的值.

19．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求点到面的距离．

20．第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：

(1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；

(2)据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为，求的分布列与数学期望.

参考公式：，.

参考数据：

21．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；

(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．

22．设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.

（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；

（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；

（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

山东省滨州市2023届高三数学二模考试模拟试卷

            2023.5

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】D

2．已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

3．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

4．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

5．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，在所有小于的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动， 与水平面的所成角为，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位；）与时间（单位： ）之间的函数关系式的图象可能是

A． B．C． D．

【答案】D

7．设，，，则下列关系正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

二、多选题

9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为

A．

B．截面

C．

D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

10．已知函数，下列说法正确的有（   ）

A．的单调递增区间为(－∞，1)

B．在处的切线方程为y=1

C．若方程有两个不相等的实数根，则

D．的极大值点为(1，1)

【答案】BC

11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点F的坐标为 B．若A，F，B三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点F D．若，则的中点到x轴距离的最小值为2

【答案】ACD

12．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）

A．f（0）＝0

B．f(x)是R上的奇函数

C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6

D．不等式的解集为

【答案】ABC

三、填空题

13．的展开式中的系数为12，则_________．

【答案】

14．写出与两圆均相切的一条直线方程为___________.

【答案】（答案不唯一）

15．过点且与曲线相切的直线方程为______．

【答案】或

16．过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．

【答案】

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，其前项和为，证明.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式可得；

（2）由（1）可知，由裂项相消法可得其和．

【详解】解：（1）设数列的公差为，依题意得，

∴，∴，

∴.

（2）由（1）得，

∴，

∴

，

∵，∴，∴.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属于中档题．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角B；

(2)若，且的面积为，求b的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理得到求解；

（2）根据的面积为，得到，然后利用余弦定理求解.

(1)

解：因为，

所以，

即，

因为，

所以，

所以；

(2)

因为的面积为，

所以，

解得，

由余弦定理得，

，

所以.

19．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求点到面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）要证面面垂直只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面即可；

（2）利用等体积法，根据所给条件求得各已知量，代入即可得解.

【详解】（1）∵平面，平面，

∴．∵是菱形，

∴，∵，

∴平面，∵平面，

∴平面平面；

（2）根据题意可得，所以，

，所以，

，

所以，

易知，

所以，由，，

设点到面的距离为，

根据等体积法可得

代入数据可得，

所以点到面的距离为.

20．第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：

(1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；

(2)据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为，求的分布列与数学期望.

参考公式：，.

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握

(2)分布列见解析，数学期望

【分析】（1）先根据已知完善列联表，再根据表中数据求出，从而比较与值查表得出答案；

（2）根据已知结合离散型随机分布的分布列与数学期望求法得出答案.

【详解】（1）根据已知完成列联表如下，

则，

则，则有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；

（2）根据题意，的可能取值为1,2,3，

，

，

，

则的分布列为：

则.

21．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；

(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定值为2

(3)

【分析】（1）结合几何关系将所求问题转化为求的定值问题即可求解曲线方程；

（2）先由斜率为0求出，当斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与双曲线方程，由得，再由切割法得

，求出点，联立直线与渐近线方程求出，代入面积公式化简即可；

（3）设，，，由代换出点坐标，将代入双曲线方程化简得，再结合坐标面积公式进一步化简得关于的对勾函数，由对勾函数性质可求面积的取值范围．

【详解】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．

由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，

因为直线BC与直线AM交于点P，所以，

当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以；

当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以．

所以，

所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．

设该双曲线的标准方程为，

则，，

所以a＝2，，，

所以点P的轨迹方程为；

（2）双曲线的渐近线为．由题意知直线l的斜率存在，设

当直线l的斜率为0时，易知是以ST为底边的等腰三角形，

,，则，此时．

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，

联立消去x得，

．①

设直线l与y轴交于点H，则，

则．

（直接求的面积不易求得，将进行拆分）

联立，

联立．

则（定值）．

综上所述，的面积为定值2；

（3）由题可设，，，，．

因为，所以

将点的坐标代入双曲线方程有，化简得．

故．

（三角形面积公式）

因为，所以由对勾函数性质得，

故．

22．设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.

（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；

（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；

（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

(3)见解析.

【详解】分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵，∴，即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即，

设 ，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.

详解：

（1）举例：函数是“超导函数”，

因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.

注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.

（2）∵，∴，

∴

因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①     

而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②

由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.

（3）∵，所以方程可化为，

设函数，，则原方程即为，③   

因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，

而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，

故方程③等价于，即，                  

设 ，，则在上恒成立，

故在上单调递增，

而，，且函数的图象在上连续不断，

故 在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.

点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.