2021届山东省临沂市高三数学二模考试试卷及答案

这是一份2021届山东省临沂市高三数学二模考试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模考试试卷
一、单项选择题
1.假设集合 ， ， 满足 ，那么下面选项中一定成立的是〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
2.奇函数 ，那么 〔    〕
A. -11                                         B. -7                                         C. 7                                         D. 11
3.“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
4.某校积极落实立德树人，坚持五育并举，方案在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，那么甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为〔    〕
A. 书法、健美操、棋类                                           B. 健美操、书法、棋类
C. 棋类、书法、健美操                                           D. 棋类、健美操、书法
5.如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其正视图是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，那么该球形配件的重量约为〔    〕


6.在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等m，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M，它能反映天体的发光本领．如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差y关于距离x〔光年〕的回归方程类型的是〔    〕
星名
天狼星
南河三
织女星
大角星
五车二
水委一
老人星
参宿四
距离x


25














A.                       B.                       C.                       D. 
7.点 ， ， 在圆 上，假设 ， ，那么 的最大值为〔    〕
A. 3                                          B.                                           C. 4                                          D. 6
8.点 ， 是双曲线 的左、右焦点，过点 作直线 交双曲线C于A，B两点，现将双曲线所在平面沿直线 折成平面角为锐角 的二面角，如图，翻折后A，B两点的对应点分别为 ， ， ，假设 ，那么双曲线C的离心率为〔    〕

A.                                          B.                                          C. 2                                         D. 3
二、多项选择题
9.设函数 的图象为曲线 ，那么〔    〕
A. 将曲线 向右平移 个单位长度后与曲线 重合
B. 将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，那么与曲线E重合
C. 将曲线 向左平移 后所得图象对应的函数为奇函数
D. 假设 ，且 ，那么 的最小值为
10.1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式 ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式〞，被誉为“数学中的天桥〞，据欧拉公式，那么〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
11.假设 ， ， ，那么〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
12.抛物线 的焦点为 ，且 ， ， 在抛物线上， 为坐标原点．以下说法正确的选项是〔    〕
A. 点 的坐标为
B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么 的中点到 轴距离最小值为2
D. 假设直线 过点 ，那么直线 与 的斜率之积为
三、填空题
13.的展开式中常数项为________．〔用数字表示〕
14.现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构 ， 各负责一个产品，机构 负责余下的三个产品，其中产品①不在 机构测试的情况有________种(结果用具体数字表示).
15.随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
p
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，假设 ，那么 ________．
四、双空题
16.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体〞．点 ， ， 是该多面体的三个顶点，点 是该多面体外表上的动点，且总满足 ，假设 ，那么该多面体的外表积为________，点N轨迹的长度为________．

五、解答题
17.在① 是函数 图象的一条对称轴，② 是函数 的一个零点，③函数 在 上单调递增，且 的最大值为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
函数 ，   ▲   ， 求 在 上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.2021年是“十四五〞规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命〞的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．

〔1〕求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 〔同一组中的数据用该组区间中点值代表〕；
〔2〕在该样本中，假设采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在 内的概率；
〔3〕假设竞赛成绩服从正态分布 ，样本数据的方差为121，用平均分 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，求该校本次竞赛的及格率〔60分及以上为及格〕．
参考数据： ， ， ．
19.正项数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，满足 ，且 ， ．
〔1〕求证：数列 为等差数列；
〔2〕假设从数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求 ．
20.如图，四边形 为正方形， ， ，点 为 的中点．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
21.椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，以 为直径的圆 过焦点 ．
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕假设椭圆 的右顶点为 ，与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点〔 ， 与 点不重合〕，且满足 ，点 为 中点，求直线 与 的斜率之积的取值范围．
22.函数 ， ．
〔1〕假设 在点 处的切线过原点，求 的值；
〔2〕在〔1〕条件下，假设 恒成立，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 知： ，即A不符合题意，

∴ ，即B不符合题意；仅当 时 ，即C不符合题意； ，即D符合题意.
故答案为：D.

【分析】由条件结合集合的韦恩图以及交、并、补的定义对选项逐一判断即可得出答案。
2.【解析】【解答】∵
，
故答案为：C.

【分析】根据题意选择适宜的函数解析式代入数值计算出结果即可。
3.【解析】【解答】令 ，那么由 得 ，解得 或 ，
∴ 或 ，故“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.
故答案为：A.

【分析】首先令 由指数函数的性质以及单调性整理得出， 求解出t的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
4.【解析】【解答】乙比选棋类的人个头高，所以乙没有选择棋类，
因为丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，所以乙选择了书法，
所以排除AD,
因为乙的个头比甲小，
所以丙比乙的个头小，
所以丙选择棋类，甲选择健美操.
故答案为：B

【分析】根据题意通过分析得到乙选择了书法，再进行推理，得到丙的选择，即可得到答案.
 
5.【解析】【解答】设圆锥形的体积为： ，底面半径为 ；内切球的体积为： ，
， ，
，
故答案为：B.

【分析】 利用圆锥的体积与内切球的体积比，结合体积公式即可得答案；
6.【解析】【解答】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如以下列图示，

图象左侧无限靠近y轴，不与y轴相交，故其拟合曲线比较接近 的图象，
故答案为：B.

【分析】 用描点法，在直角坐标系中作出大概图象，比照x2 ， lgx，的图象，即可得其回归方
程的类型.
7.【解析】【解答】由题意 ，那么

又 ，所以 为等边三角形.


 
 
 
显然 ，所以当 时， 有最大值4
故答案为：C

【分析】 利用正弦定理求出圆的半径，画出图形，判断出C的位置，然后结合正弦函数的性质求解向量数量积的最大值即可.
8.【解析】【解答】设 ，
∵ ，
∴ ，
，∴ ，
，
故答案为：D.

【分析】首先根据题意射出， 再余弦定理整理得出， 从而得到， 结合双曲线里的 a、b 、c 三者的关系以及离心率的公式计算出结果即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A：将曲线 向右平移 个单位长度后可得 .
当 时， ，所以平移后图像与曲线不 重合，故答案为：项A不正确.
B：将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变可得 ，B符合题意.
C：将曲线 向左平移 后可得
显然 时， ，所以此时不为奇函数，C不正确.
D：由 ，可得 ，即
由 ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 的最小值为 ，D符合题意.
故答案为：BD

【分析】 由题意利用三角函数平移的性质以及图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，对选项逐一判断即可得出答案。
 
10.【解析】【解答】因为
所以 ，A符合题意
， ，B符合题意
，C不符合题意
，D符合题意
故答案为：ABD

【分析】根据题意由结合复数代数形式的运算性质，以及复数模的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】对于A： ，
又 ，且 为增函数，所以 ，所以 ，即 .A符合题意；
对于B： ， ，
因为 为增函数，所以 ；B符合题意；
对于C：因为 ， ，所以 ，C不符合题意；
对于D：因为 ，所以 ，而
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】根据题意利用对数的运算性质整理化为最简形式，再由对数函数以及指数函数的单调性即可比较出结果。
12.【解析】【解答】由于点 在抛物线 上得 ，故 ，
所以 的坐标为 ，A不符合题意；
对B选项， 得
所以 ，又
所以 成立，B符合题意；
对C选项，由 ，所以
那么 ，所以那么 的中点到 轴距离最小值为2，C符合题意；
对D选项，设直线 方程为 ，代入抛物线 得
所以 ，直线 与 的斜率之积为 ，D符合题意
故答案为：BCD

【分析】由抛物线的性质即可求出p的值以及焦点的坐标，由此皮带秤线线A错误，由向量的运算性质结合抛物线的定义整理即可得出选项B正确，由中点的定义以及抛物线的定义即可判断出选项C正确，联立抛物线与直线的方程消元，利用韦达定理结合斜率的坐标公式整理计算出结果由此判断出选项d正确，从而得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为
令 ，解得
所以 的展开式中常数项为：
故答案为：

【分析】首先求出二项展开式的通项公式再由条件令求出r的值，再把数值代入到通项公式计算出答案。
14.【解析】【解答】〔1〕假设产品1在 机构，那么情况数为 ；〔2〕假设产品1在 机构那么情况数为 ，
由分类加法计数原理知总共 种情况.
故答案为：16

【分析】 根据题意，有产品①必须在B机构或者C机构测试，由此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
15.【解析】【解答】∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
∵ ，那么 ， ，
，
，
，
故答案为： .

【分析】根据题意由得出数列的性质即可求出， 结合条件得到和， 从而计算出a、b、c的值，再把数值代入到期望和方差的公式计算出结果即可。
四、双空题
16.【解析】【解答】根据题意该正四面体的棱长为 ，点 ， ， 分别是正四面体的棱三等分点.

该正四面体的外表积为
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体
每个角上小正四面体的侧面面积为
每个角上小正四面体的底面面积为
所以该多面体的外表积为：
如图设点 为该多面体的一个顶点，那么 ,
在 中，
那么 ,所以 ,即
同理 , ,由 ,所以 平面 .
由点 是该多面体外表上的动点，且总满足 ，
那么点 的轨迹是线段
所以点N轨迹的长度为：
故答案为： 〔1〕   〔2〕

【分析】 根据题意先求出正四面体的外表积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面面积和底面面积可得答案；通过证明AB垂直于一截面，从而得出点N的轨迹，由此即可得答案.
五、解答题
17.【解析】【分析】根据题意首先由二倍角公式和两角和的正弦公式整理得出函数的解析式， ① 利用正弦函数的图像整理得到， 对k赋值从而得出函数的解析式。 ② 结合零点的定义以及正弦函数的性质即可得出对k赋值由此得出函数的解析式。 ③ 由正弦函数的单调性以及最值的情况，利用整体思想即可得出对k赋值由此得出函数的得到减区间。
18.【解析】【分析】(1)由频率直方图中的数据，结合平均数的公式计算出结果即可。
(2)结合分层抽样的定义求出成绩在 内的有5人，成绩在 内的有2人，并把数值带入到概率的公式计算出答案即可。
(3)由条件结合方差以及平均分的样本标准差，结合正态分布的性质计算出答案。
 
 
19.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的前n项和公式和数列项之间的关系，整理即可得出数列的通项公式，由此即可判断出数列为得出数列。
(2)由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，再由等差数列和等比数列的前n项和公式，计算出答案即可。
 
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，再由中点的性质得出线线平行，再由线面平行的判定定理即得证出结论。
(2)首先由正弦定理整理得出从而得出线线垂直，再由线面垂直的判定和性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到面 与面 所成锐二面角的余弦值。
 
 
21.【解析】【分析】(1)根据题意求出焦点的坐标，再利用平行关系求出点P的坐标，结合椭圆的定义整理即可求出a与b的值，从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由直线垂直斜率之间的关系整理得出
 
和， 由此得到结合根本不等式即可求出即。
22.【解析】【分析】(1)首先对函数求导并把数值代入计算出切线的斜率，再由点斜式求出直线的方程，从而得出 由切线过点 ， 进而计算出 。
(2)由(1)的结论得出即令 ，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值， 再分情况讨论 ①当 即 时 以及 ②当 时 ，函数的单调性以及分别得出b的取值范围即可。