2023届安徽省淮北市高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案

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淮北市2023届高三第二次模拟考试

数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考试务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，复数，则（    ）

A.2    B.    C.    D.

2.已知集合，则下列命题错误的是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.世界数学三大猜想：“费马猜想”､“四色猜想”､“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年新1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的越果“1+2由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法有（    ）

A.28    B.21    C.15    D.10

4.天气是影响生产､生活的重要因素.淮北统计年鉴上显示2021年淮北市分月平均气温和降水量如下表：

则2021年淮北市平均气温的众数和降水量的75%分位数分别是（    ）

A.10.3；99.9    B.27.3；118.7    C.10.3､27.3；118.7    D.10.3､27.3；137.5

5.已知向量满足且，则在上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，过斜率为的直线上存在不同的两个点满足：.则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.若关于的方程有3个不同买根，则满足条件的整数的个数是（    ）

A.24    B.26    C.29    D.31

8.已知球和正四面体，点在球面上，底面过球心，棱分别交球面于，若球的半径，则所得多面体的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数（其中是常数，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A.的最小正周期为

B.

C.在上单调递增

D.将函数的图象向左平移个单位.得到函数的图象

10.设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为.上个世纪五十年代，数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列结论中一定正确的有（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知点，点在上运动，边长为的正方形的顶点位于圆外，则的值可能是（    ）

A.0    B.    C.8    D.10

12.已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式展开式中的常数项为__________.（用数字作答）

14.若，则__________.

15.已知椭圆左右焦点分别为，下顶点，过的直线交椭圆于点，点关于轴的对称点为，若，则椭圆的离心率为__________.

16.已知函数，若对任意的实数都有，则__________；__________.（其中表示不大于的最大整数）（第一个空2分，第二个空3分）

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）数列满足：.

（1）设，求数列的最大项；

（2）求数列的前项和.

18.（本题满分12分）已知的角的对边分别为，且满足.

（1）求；

（2）若的面积为为的中点，求线段的长.

19.（本题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

（1）证明：面；

（2）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.

20.（本题满分12分）社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列为：

其中，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记A表示事件“一个家庭有个孩子”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）”

（1）若，求；

（2）参数p受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改变参数p的值来调控未来人口结构.若希望增大，如何调控p的值？

参考公式：

21.（本题满分12分）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交挂物线干，交椭圆于，当垂直于轴时

（1）求和的方程；

（2）是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22.（本题满分12分）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，对任意的买数，证明：.

淮北市2023届高三第二次模拟考试数学

参考答案

一､选择题

二､填空题

13.240    14.    15.    16.；

三､解答题

17.解：（1）注意到，得.

是以1为首项，3为公比的等比数列，

当时，不会最大；当时，设是最大项，即，且.

，得，解得

又的最大项为.

（2）.①

①得.②

①-②得

18.解：（1），

正弦定理得，

即，所以.

（2）注意到，结合（1）得.

，得.

即，得.

所以为等腰三角形，.

结合，得.

注意到，所以

19.解：（1）证明：注意到底面为菱形，所以；

又，所以面，所以.

又，所以.

结合得面.

（2）取线段的中点，结合题设及（1）的结论，如图所示建立空间直角坐标系.

不妨设，则

假设存在符合条件，设

即，即，

所以.

易知，平面的法向量为（若中点为即为）.

注意到，设平面的法向量，

则，令，则，

即.

题设知，

即，所以

，得（舍）或.

综上，时符合条件，此时点为线段的靠近点的四等分点.

20.解：（1）由题意得：

解得

又

且

由全概率公式，得

由，得；

（2）由题意得：，考虑的变化即可

由

得

设，

则

记，则

故在单调递减.

在单调递减.

因此，增加的取值，会减小，增大，即增大.

21.（1）解：在抛物线中

由题意知，得

抛物线方程是

在椭圆中，

得

椭圆方程：

（2）解：假设存在这样的，

设直线的方程为：，设，

联立方程消化简得

得进一步得

设，

联立方程消化简得

得，进一步得，

若为定值

得

存在常数，使为定值.

22.解：（1）

①当时，，此时，在单调递增；

②当时，令，

可以判断在是减少的

注意到：

则必存在使得，即

且当时，，于是，

此时在单调递增；

当时，，于是，此时在单调递减；

（2）当时，令，则：

于是：在是减少的

对于给定的，令

则

因为，所以，即

因此在是增加的

于是，，

即：

进而

方法二：

当时，对于给定的，令

则

因此在是增加的

于是，，即：

进而