山东省滨州市2023届高三数学上学期期末考试模拟试卷（Word版附解析）

山东省滨州市高三期末考试模拟数学试题                          2022.12.20

一、单选题

1．已知集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

2．复数的实部和虚部之和为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

3．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（    ）

A．24 B．48 C．144 D．240

【答案】C

4．函数的一个单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

5．已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则

A． B． C． D．3

【答案】A

6．已知分别为的左、石焦点，为双曲线右支上任一点，若最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

7．关于函数，下列判断正确的结论的个数是（    ）

①函数的图像在点处的切线方程为

②是函数的一个极值点；

③当时，；

④当时，不等式的解集为；

⑤恒成立的充分必要条件是；

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

8．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的，都有恒成立，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

二、多选题

9．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．

B．数列是公比为的等比数列

C．若，则数列的前2023项和为

D．若，则数列的前项和为

【答案】ABD

10．已知，是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】ABC

11．如图，在菱形中，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若分别为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，点到直线的距离为

B．线段的最小值为

C．平面平面

D．当分别为线段的中点时，与所成角的余弦值为

【答案】BCD

12．记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

三、填空题

13．如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米．

【答案】

14．等比数列中，是其前项和，且，，则    

【答案】

15．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______．

【答案】或

16．已知函数，现给出下列结论：

①有极小值，但无最小值

②有极大值，但无最大值

③若方程恰有一个实数根，则

④若方程恰有三个不同实数根，则

其中所有正确结论的序号为_________

【答案】②④

四、解答题

17．为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表（单位：人）：

(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关？

(2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X，求X的分布和期望.

说明：解答本题，可以参考如下资料：

.

【答案】(1)答案见解析；

(2)分布列见解析，期望为.

 (1)

由，

所以有95%以上的把握判定回家备考与性别有关.

(2)

由题设，可能值为，

，，，，

分布列为

.

18．在中，，，.

（1）求边的长；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）由，且，，

；

（2）在中，，，，

，，

所以.

19．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面 平面，二面角的大小为.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）四棱锥中，四边形是矩形，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面

所以平面，

又因为、、平面，所以，，，

从而是二面角的平面角，

因为二面角的大小为，所以，

在中，，所以，所以，

即，

又因为，，所以平面；

（2）在底面内，过点作，垂足为，连接，

由（1）知平面，又平面，所以，

又因为，，所以平面，

从而为直线与平面所成角，

设，则，，

所以，，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.

（1）写出这个数列的前5项；

（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.

【答案】（1）1，4，，，；（2）

【详解】(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.

∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.

同理，可得a4＝，a5＝.

因此这个数列的前5项分别为1，4，，，.

(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：

an＝

下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.

①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立.

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，

即ak＝.

∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，

∴ak＋1＝＝·＝＝.

这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.

根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是

an＝.

∴这个数列的通项公式为an＝

21．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：

（i）点在定直线上；

（ii）若直线与交于点，则.

【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【详解】（1）由题意可知：，

所以点到点与到点的距离之差为2，且，

所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，其中，，

所以，，

所以，所以曲线的方程为.

（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.

联立，消去，可得，

由题意知且，

所以，.

直线：，直线：①，

由于点在曲线上，可知，所以，

所以直线：②.

联立①②，消去可得，

即，

所以，

所以，所以，

所以点在定直线上.

（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.

设，，

由于在直线：上，在直线：上，

所以，，

所以

，

又因为，，

所以，所以.

22．设函数，.

(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；

(2)证明：①当时，；

②，.（是自然对数的底数，）

【答案】(1)

(2)①证明见解析②证明见解析

（1）

由，则，

设在上的切点为，

从而，

故在上的切点为，

将代入得，，

故的值为.

（2）

①当时，，

不妨令，则，

故在上单调递减，

从而对，都有，

故当时，.

②(i)由①知，当时，，

从而，

故，

欲证，只需证，

则，

令，则，

从而在上单调递减，

因为，，

由零点存在的基本定理可知，，使得，

从而，

结合在上单调递减可知，；，

故在上单调递增，在上单调递减，

从而，

故，

即当时，；

(ii) 由，从而在上单调递增，

故当时，，

又因为在上单调递增，

故当时，，

当时，，此时，

综上所述，，.