天津市五校联考2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

天津市2021～2022学年度第一学期期中五校联考

高二数学

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ）

A．30°    B．60°    C．120°   D．150°

2．已知向量,且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．是“椭圆的离心率为”的（    ）

A．必要不充分条件      B．充分不必要条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

4．若直线与平行，则与间的距离为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（    ）

A．       B．

C．       D．

6．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（    ）

A．     B．

C．     D．

7．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ）

A．或     B．或

C．或     D．或

8．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．   D．

9．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）

10．经过点，且与直线垂直的直线方程是_____________.

11．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________.

12．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_____________.

13．椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与C交于两点，与轴相交于点D，若，则椭圆C的离心率为_____________.

14．若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_____________.

15.已知点，若圆上存在点使得,则实数的取值范围是_____________.

三、解答题（共5题，共75分）

16．（本小题满分14分）

已知点，圆．

（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于A，B两点，弦的长为，求的值．

17．（本小题满分15分）

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点，，为棱上的点且.

（1）证明：平面；

（2）证明：直线平面；

（3）求二面角的余弦值；

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的上顶点为A，左顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点交椭圆于两点，，求直线的方程．

19.（本小题满分15分）

如图，在三棱柱中，平面,，分

别是的中点

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）

已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率．

天津市2021～2022学年度第一学期期中五校联考

高二数学参考答案

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1—5  A C B C B     6—9  A D A D

二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）

10．   11．    12．

13．     14．  15．

三．解答题（共5题，共75分）

16．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，   ..............................1分

当过点的直线斜率不存在时，方程为，

由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，

..............................3分

当过点的直线存在斜率时，

设方程为，即．  .............................4分

由题意知，解得，

直线的方程为．     ..............................7分

故过点的圆的切线方程为或． ..............................8分

（2）圆心到直线的距离为，  ...........10分

，.        .............................13分

解得．          ..............................14分

17．（本小题满分15分）

证明：

（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由，则，，，，

则，，，

设是平面的一个法向量，

则由，得，取，

得.

，，

又平面，

平面.        .....................5分

（2）由

又，

故，    ......................8分

又

所以直线平面         ......................10分

（3）解：由（1）知是平面的一个法向量，  .....................11分

又是平面的一个法向量.

，        ......................14分

故二面角的平面角的余弦值为    ......................15分

18．（本小题满分15分）

解：

（1）由可得，又，解得，

∴椭圆的方程为．       ......................5分

（2）①当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，

所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，

不妨设，，不合题意；                                      ......................7分

②设直线，

由得：，

       .....................11分

，即

..........13分

解得，           ..........14分

∴直线的方程为          .........15分

19．（本小题满分15分）

解：

（1）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，                                                                      ....................2分

则，设平面的法向量为

，则，即，令，

可得，即，......................5分

所以， ......................6分

所以直线与平面所成角的正弦值为. ......................7分

（2）假设在棱是存在一点，设，可得， ............8分

由，可得，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，即，

...........10分

又由平面的一个法向量为，

所以，

因为平面与平面的夹角的余弦值为，

可得，解得，    .....................13分

此时，符合题意，

所以在棱上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为                                                                                                                                                             ............15分

20.（本小题满分16分）

解：由的周长为，所以，则.

由直线的斜率为，所以，又，所以.

所以椭圆的标准方程为        ..........................4分

（2）由题意可得直线方程为，联立得得，解得

，解得,所以           .........7分

因为，则，

所以                                         ............................9分

当直线的斜率为时，不符合题意；

故设直线的方程为，设点

由点在点的上方，且，则有   ...........................11分

联立，所以，则

将，代入，可得，进而有

              ......................13分

解得，.                                 ............................14分

由题意知，所以                            ..........................15分

故直线的斜率为                                   .........................16分