人教版数学小学五年级下册第三单元《长方体和正方体》1.3-1.4【知识点梳理+题型总结】

《长方体和正方体》知识点梳理+题型总结

知识点一：长方体的表面积计算公式

长方体的表面积= 长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2，

S表＝ 2(ab＋ah＋bh)

【例题】把三个同样大的积木拼在一起，可以拼成不同的长方体（如图），在表面积最小的下面画“△”，表面积最大的下面画“〇”。

答案：【分析】根据题意可知，把三个同样大的积木拼在一起，可以拼成不同的长方体，要使拼成的长方体的表面积最小，也就是把三个同样的积木的最大面重合，要使拼成的长方体的表面积最大，也就是把三个同样的积木的最小面重合。据此解答。

【解答】解：如图：把三个同样的积木的最大面重合拼成的长方体表面积最小，把三个同样的积木的最小面重合拼成的长方体的表面积最大。

【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。

【变式题】张叔叔计划用下面的五块玻璃做一个无盖的鱼缸。制作这个鱼缸一共要用多少dm2玻璃？

答案：【分析】首先分清制作没有盖的长方体玻璃鱼缸，需要计算几个面的面积：侧面面积与一个底面的面积，由长方体侧面积计算方法，列式解答即可。

【解答】解：5×3×2+4×3×2+5×4

＝30+24+20

＝74（dm2）

答：制作这个鱼缸一共要用74dm2玻璃。

【点评】考查学生对长方体表面积计算方法的掌握情况，特别应注意“无盖”二字，列式时不要出错。

知识点：正方体的表面积计算公式

正方体表面积＝棱长×棱长×6，S表＝6a2

【例题】如图，在一个棱长是9厘米的大正方体右上角挖掉了一个棱长2厘米的小正方体，请计算这个图形的表面积。

答案：【分析】根据图意可知：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此后来的表面积就等于大正方体的表面积不变，于是利用正方体的表面积公式S＝6a2即可解答。

【解答】解：9×9×6

＝81×6

＝486（平方厘米）

答：这个图形的表面积是486平方厘米。

【点评】解答此题的关键是明白：大正方体的表面积不变。

【变式题】将一个棱长为6cm的正方体熔铸成一个长为12cm，宽为2cm的长方体，则长方体的高为多少cm？长方体的表面积是多少？

答案：【分析】根据体积的意义可知，把正方体熔铸成长方体后体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式求出长方体的高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出这个长方体的表面积。

【解答】解：6×6×6÷（12×2）

＝216÷24

＝9（厘米）

（12×2+12×9+2×9）×2

＝（24+108+18）×2

＝150×2

＝300（平方厘米）

答：长方体的高是9厘米，长方体的表面积是300平方厘米。

【点评】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的体积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。重点是求出长方体的高。

重难点：长方体的表面积计算方法

【例题】一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积24平方米，粉刷的面积是多少平方米？

答案：【分析】求需要粉刷的面积，就是用教室的表面积减去地面的面积和门窗的面积及黑板的面积，长、宽、高已知，利用长方体的表面积公式：S＝2（ab+ah+bh）即可求解．

【解答】解：（8×6+8×4+6×4）×2﹣8×6﹣24

＝（48+32+24）×2﹣48﹣24

＝104×2﹣72

＝208﹣72

＝136（平方米）

答：粉刷的面积是136平方米．

【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，关键是明白：需要粉刷的面积，就是用教室的表面积减去地面的面积和门窗的面积及黑板的面积．

【变式题】一个长方体，如果高减少3厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少72平方厘米．原来长方体的表面积是多少？

答案：【分析】根据高减少3厘米，就变成一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，这4个面的宽即为3厘米，根据已知表面积减少72平方厘米，用72÷4÷3＝6厘米，求出减少面的长，也就是剩下的正方体的棱长，然后用6+3＝9厘米求出原长方体的高，据此原长方体的长宽高分别为6厘米、6厘米、9厘米，再由长方体的表面积公式即可解决．

【解答】解：减少的面的长（即剩下正方体的棱长）为：72÷4÷3＝6（厘米）；

原长方体的高为：6+3＝9（厘米）；

因此原长方体的长宽高分别为6厘米、6厘米、9厘米，

所以原长方体的表面积为：

6×6×2+6×9×4

＝36×2+54×4

＝72+216

＝288（平方厘米）．

答：原长方体的表面积是288平方厘米．

【点评】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是长为3厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积的计算方法即可求解．

重难点：正方体的表面积计算方法

【例题】做一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长4分米，制作这个鱼缸至少需要用多少平方分米的玻璃？

答案：【分析】求需要用多少平方分米的玻璃这个正方体的5个面的面积和，根据求正方体表面积方法：S＝6a2求解．

【解答】解：4×4×5

＝16×5

＝80（平方分米）

答：制作这个鱼缸至少需要用80平方分米的玻璃．

【点评】这是一道正方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个正方形面的面积，从而列式解答即可．

【变式题】有一个高是12厘米的长方体，如果把这个长方体横切成三个大小相等的小正方体（如图），这三个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？

答案：【分析】一个高是12厘米的长方体，如果把这个长方体横切成三个大小相等的小正方体，小正方形的边长为：12÷3＝4（厘米），这三个小正方体的表面积总和比原来长方体的表面积增加了4个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，解答即可。

【解答】解：12÷3＝4（厘米）

4×4×4

＝16×4

＝64（平方厘米）

答：这三个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。

【点评】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，分成三个大小相等的小正方体，增加4个截面。

知识点二：体积的意义和常用的体积单位

1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2、常用的体积单位

（1）比较两个物体体积的大小，要用统一的体积单位来测量。

（2）计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。

【例题】估一估。

第二杯大约有 　   　毫升，第三杯大约有 　   　毫升。

答案：【分析】从图上可得：第二杯大约是第一杯的2倍，第三杯大约是第二杯的2倍，据此即可得出答案。

【解答】解：第二杯：100×2＝200（毫升）

第三杯：200×2＝400（毫升）

答：第二杯大约有200毫升，第三杯大约有400毫升。

故答案为：200，400。

【点评】本题考查学生对容积单位的掌握和运用。

【变式题】把皮球都放到盒子里，正好放满哪两个盒子？（在正确答案的□内打“√”。）

答案：【分析】一共有14个球，图一有10个格子，图二有8个格子，图三有6个格子，三个选项只有图二和图三的格子数合起来是14，图二和图三合适。

【解答】解：8+6＝14

故选：

【点评】数一数球有多少个，再根据球的数量选择合适的盒子。

知识点：长方体和正方体的体积计算公式

1.长方体体积=长×宽×高，V=abh。
2.正方体体积=棱长×棱长×棱长，V=a³。

3、长方体和正方体统一的体积公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高，V=Sh 。

【例题】一个密封的长方体容器如图。长4分米，宽2分米，高2分米，里面水深12厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上，这时水深多少厘米？

答案：【分析】根据体积的意义可知，这个容器无论是正放、还是侧放，容器内水的体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。

【解答】解：4分米＝40厘米

2分米＝20厘米

40×20×12÷（20×20）

＝9600÷400

＝24（厘米）

答：这时水深24厘米。

【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

【变式题】如图，从长12厘米、宽8厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的表面积是多少平方厘米？

答案：【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高，即长方体的长＝原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽＝原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高＝正方形的边长，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，列式解答即可．

【解答】解：长方体的长：12﹣2×2＝8（厘米），

长方体的宽：8﹣2×2＝4（厘米），

高：2厘米，

表面积：（8×4+8×2+4×2）×2﹣8×4

＝（32+16+8）×2﹣32

＝56×2﹣32

＝112﹣32

＝80（平方厘米）

答：这个容器的表面积是80平方厘米．

【点评】此题考查了长方体表面积公式的实际应用，解题的关键是求出长方体的长，宽和高．

重难点：体积的认识和常用的体积单位

【例题】在括号里填合适的单位．

答案：【分析】根据生活经验、对容积单位、体积单位和数据大小的认识，可知计量一个茶杯能盛水的容积，应用容积单位，结合数据可知：应用“毫升”做单位，计量一个热水器的容积，应用容积单位，结合数据可知：应用“升”作单位；计量一瓶可乐的体积，应用体积单位，结合数据可知：应用“毫升”做单位；据此解答．

【解答】解：

【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．

【变式题】在括号里填上适当的体积单位或容积单位．

答案：【分析】根据容积单位、体积单位的意义，常用的容积单位有：升和毫升；常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米；然后根据实际生活情况进行解答即可．

【解答】解

【点评】此题考查的目的是理解掌握容积单位、体积单位的意义及应用．

重难点：长方体和正方体的体积计算公式的应用

【例题】一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开是一个边长是20厘米的正方形，这个长方体的体积是多少？

答案：【分析】由题意可知，这个长方体的底面是正方形，它的4个侧面是完全相同的长方形，把它的侧面展开后，正好是一个边长为20厘米的正方形，说明这个长方体的底面周长和高都是20厘米；首先根据正方形的周长公式c＝4a，求出底面边长，再根据长方体的体积公式v＝abh，计算出体积．

【解答】解：底面边长：

20÷4＝5（厘米）

体积：

5×5×20

＝25×20

＝500（立方厘米）

答：这个长方体的体积是500立方厘米．

【点评】根据长方体的侧面展开图的边长求出长方体的底面边长是解题的关键．

【变式题】有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深应该是多少厘米？

答案：【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答．

【解答】解：30×20×6÷（20×10），

＝3600÷200，

＝18（厘米），

答：里面的水深应该是18厘米．

【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度．