山东省淄博市2022年中考数学试卷【含答案】

山东省淄博市2022年中考数学真题

一、单选题

1．若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（　　）

A．2 B．﹣2 C．0 D．

2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（　　）

A． B．

C． D．

4．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）

A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15

5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）

A．23° B．25° C．27° D．30°

6．下列分数中，和π最接近的是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．计算的结果是（　　）

A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2

9．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　）

A．16 B．6 C．12 D．30

11．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题

13．要使式子有意义，则x的取值范围是　     　.

14．分解因式： =　            　.  

15．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是　         　．

16．计算 的结果为　     　.  

17．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是　                　．

三、解答题

18．解方程组：

19．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

20．如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．

（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

21．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有　     　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　     　度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

22．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．

问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）

23．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．

（1）如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；

      图1

（2）如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线；

      图2

（3）如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．

      图3

24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；

（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．

1．A

2．D

3．C

4．D

5．B

6．A

7．C

8．C

9．D

10．B

11．A

12．B

13．

14．x(x+3)(x-3)

15．（1，3）

16．﹣2

17．（-2023，2022）

18．解：整理方程组得，

得，

y=1，

把y=1代入①得，

解得x=5，

∴方程组的解为

19．证明：是等腰三角形，

，

在与中，

，

，

．

20．（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，

∴双曲线的表达式为： y=，

把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：

y=，解得：，

∴直线的表达式为：y=x+

（2）解：联立 ，

解得，或，

∵点A 的坐标为（1，2），

∴点B的坐标为（3，），

∵

=，

∴△AOB的面积为；

（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3．

21．（1）120；99

（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），

则选修“园艺”的学生人数为：（名），

补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，

画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．

22．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：

作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：

·

由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°，

在Rt△AEG中，

tan ∠AEG=，

∴tan 16°=，即0.287≈，

∴AG = 40×0.287=11.48（米），

∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米），

∴HD= AB =24.36米，

在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米，

tan∠CAH =，

∴tan 9°= ，即0.158≈，

∴CH =80×0.158= 12.64（米），

∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米），

则综合楼的高度约是37.00米．

23．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，

∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，

∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，

∴∠BID=∠DBI，

∴BD=DI；

（2）证明：连接OD，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴，

∴OD⊥BC，

∵DEBC，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（3）证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，

∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，

∴∠HCI=∠IHG=90°，

∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，

∴∠I=∠GHC，

∵∠HBG=∠I，

∴∠HBG=∠GHC，

∴△HBG∽△CHG，

∴，

∴，

∵ADFG，

∴∠DAF=∠GFC，

∵∠DAF=∠DBC，

∴∠GFC=∠DBC，

∴△GFC∽△GBF，

∴，

∴，

∴，

∴GF=GH．

24．（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），

∴根据顶点式，抛物线的解析式为

（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，

BD交PM于点J，设，

点，在直线l：上，

∴，

∴，

∴直线DT的解析式为，

令，得到，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴最大时，的值最大，

∵，，

∴直线BD的解析式为，

∴，

∴，

∵

，

∵二次项系数，

∴时，最大，最大值为11，

∴的最大值；

（3）解：四边形AFBG的面积不变．

理由：如图，设，

∵，，

∴直线AP的解析式为，

∴，

∵E，G关于x轴对称，

∴，

∴直线PB的解析式为，

∴，

∴，

∴四边形AFBG的面积，

∴四边形AFBG的面积是定值．