山东省淄博市2018年中考数学试卷【含答案】

山东省淄博市2018年中考数学试卷

一、选择题

1．计算 的结果是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．

2．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）

A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日

C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意

3．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．若单项式am﹣1b2与   的和仍是单项式，则nm的值是（　　）

A．3 B．6 C．8 D．9

5．与 最接近的整数是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．化简 的结果为（　　）

A． B．a﹣1 C．a D．1

8．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

9．如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）

A．2π B． C． D．

10．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

11．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C． D．8

12．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　     　度．

14．分解因式：2x3﹣6x2+4x=　                   　．

15．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　     　．

16．已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　     　．

17．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　     　．

三、解答题

18．先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中 ， ．

19．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

20．“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；

（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？

21．如图，直线y1=﹣x+4，y2= x+b都与双曲线y= 交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

22．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．

（1）求证：PA•BD=PB•AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

23．如图

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：写出线段GM与GN的数量关系和位置关系是．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

24．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1， ），点B（3，﹣ ），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

1．A

2．D

3．C

4．C

5．B

6．A

7．B

8．D

9．D

10．C

11．B

12．A

13．40

14．2x（x﹣1）（x﹣2）

15．10

16．2或8

17．2018

18．解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a

=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a

=2ab﹣1，

当 ， 时，

原式=2（ +1）（ -1）﹣1

=2﹣1

=1

19．证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°

20．（1）解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，故这组样本数据的平均数为8.34；∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是9；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，∴这组数据的中位数为 （8+9）=8.5

（2）解：补全图形如图所示，

（3）解：∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10，∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人，

∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是

21．（1）解：把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= ，可得k=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=

（2）解：∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集为：x＞1 

（3）解：y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2= x+b，可得3= +b，

∴b= ，∴y2= x+ ，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP= BC= ，或BP= BC=

∴OP=3﹣ = ，或OP=4﹣ = ，

∴P（﹣ ，0）或（ ，0）

22．（1）解：∵DP平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∵AP与⊙O相切，

∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，

∴∠EAP=∠B，

∴△PAE∽△PBD，

∴ ，

∴PA•BD=PB•AE

（2）解：过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，∵∠EAP=∠B，

∴∠APC=∠BAC，

易证：DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，

解得：AE=2，BD=3，

∴由（1）可知： ，

∴cos∠APC= ，

∴cos∠BDF=cos∠APC= ，

∴ ，

∴DF=2，

∴DF=AE，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∵AD=AE，

∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，

∵cos∠BAC=cos∠APC= ，∴sin∠BAC= ，∴ ，∴DG= ，∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2× =

23．（1）解：连接BE，CD相较于H，如图①，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠BAE，

∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，

∴∠BHD=90°，

∴CD⊥BE，

∵点M，G分别是BD，BC的中点，

∴MG∥CD且MG= CD，

同理：NG∥BE且NG= BE，

∴MG=NG，MG⊥NG

（2）解：连接CD，BE，相较于H，如图②，

同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG

（3）解：连接EB，DC，延长线相交于H，如图③.同（1）的方法得，MG=NG，

同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，

∴∠DHE=90°，

同（1）的方法得，MG⊥NG．

∴△GMN是等腰直角三角形.

24．（1）解：把点A（1， ），点B（3，﹣ ）分别代入y=ax2+bx得

  ，解得

∴y=﹣

（2）解：由（1）得，
m=
n=
m-n=
当n<m时，由图象可知，t>4或t<

（3）解：如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E∵AC≥AD，BC≥BE，∴AD+BE≤AC+BE=AB，∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．∵A（1， ），点B（3，﹣ ）

∴∠AOF=60°，∠BOF=30°

∴∠AOB=90°

∴∠ABO=30°当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（ ， ）