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浙江省杭州市上城区惠兴中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷 (含答案)
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这是一份浙江省杭州市上城区惠兴中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷 (含答案)，共26页。试卷主要包含了下列二次根式的运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市上城区惠兴中学八年级（下）期中数学试卷
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的x值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
12
13
14
15
频数
15
25
x
20﹣x
A．平均数、中位数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、方差
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
5．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
6．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
7．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
9．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若AD＝2，CE＝4，△ADE的面积为4，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．超市把a元/千克的软糖m千克，b元/千克的水果糖n千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为 元/千克．
13．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ ．
14．如图，在▱ABCD中，∠C＝68°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 ．
15．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，背水坡BC坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则大坝横截面的周长为 m．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点固难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．下面是小华同学解答题目的过程：
＝……第一步．
＝……第二步．
＝……第三步．
＝……第四步．
小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．
18．解方程．
（1）3x（x+1）＝2（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
B校
85
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
20．已知，．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？
22．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长；
（3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG．
23．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）如图2，若▱ABCD的四个内角为90°．
①若▱ABCD两边AD：AB＝1：，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
②若四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k（0＜k＜1），请用含k的式子表示出▱ABCD的两边AB与AD的比．
参考答案
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
解：A、＝3，原计算错误，不符合题意；
B、÷＝＝，正确，符合题意；
C、3+＝4，原计算错误，不符合题意；
D、2×5＝30，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3．下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的x值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
12
13
14
15
频数
15
25
x
20﹣x
A．平均数、中位数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为20，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案．
解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+20﹣x＝20，
则总人数为：15+25+20＝50（人），
因为13岁出现的次数最多为25次，
故该组数据的众数为13岁，
第25、26个数据为13、13，
故中位数为：＝13（岁），
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
【分析】移项，配方，即可得出选项．
解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝3×360，
解得：n＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键．
7．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，继而可根据△CDE的周长等于AD+CD＝11cm求得平行四边形的周长即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝11cm．
∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝2×11＝22厘米，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程即可．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若AD＝2，CE＝4，△ADE的面积为4，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD＝2，BC∥AD，设AD与BE之间的距离为h，再由三角形面积求出h＝4，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，BC∥AD，
设AD与BE之间的距离为h，
∵S△ADE＝AD•h＝×2•h＝4，
∴h＝4，
∵BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∴S△ABE＝BE•h＝×6×4＝12，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，求出AD与BE之间的距离是解题的关键．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
解：①∵a+b+c＝0，
∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0＝，
∴±＝2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据题意可得x+1≥0且x﹣2≠0，求出x的取值范围即可．
解：∵有意义，
∴x+1≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣1且x≠2，
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．超市把a元/千克的软糖m千克，b元/千克的水果糖n千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为 元/千克．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
解：两种糖果的总价格为：am+bn，
混合后糖果的平均价格为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．这类题目重点是确定总价格，然后用总价格除以总重量，进而求解．
13．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ 2 ．
【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3即可．
解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
14．如图，在▱ABCD中，∠C＝68°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 39° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠C＝∠DAB＝68°，AB∥CD，得出∠ABC＝180°﹣∠C＝112°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝73°，即可得出∠EBC的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝68°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝112°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝68°÷2＝34°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝（180°﹣34°）÷2＝73°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝112°﹣73°＝39°；
故答案为：39°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
15．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，背水坡BC坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则大坝横截面的周长为 （100+20） m．
【分析】过C点作CF⊥AB与点F，如图，则EF＝CD＝10m，CF＝DE＝20m，根据坡比的定义得到＝，＝，则可计算出AE＝15m，BF＝40m，再利用勾股定理计算出AD和BC，然后计算大坝横截面的周长．
解：过C点作CF⊥AB与点F，如图，则EF＝CD＝10m，CF＝DE＝20m，
∵水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，
∴＝，
∴AE＝×20＝15（m），
∴AD＝＝25（m），
∵背水坡BC坡比为1：2，
∴＝，
∴BF＝2×20＝40（m），
∴BC＝＝20（m），
∴大坝横截面的周长＝25+10+20+40+10+15＝（100+20）m．
故答案为：（100+20）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 6或4或3 时，△AB'D是直角三角形．
【分析】分两种情况，利用含30°的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
解：①如图1，延长B'A，交BC于点G，当∠B'AD＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AD∥BC，∠B'AD＝90°，
∴∠B'GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB'C＝30°，
∴GC＝B'C＝BC，
∴G为BC中点，
∴BG＝，
∴BC＝6，
②如图2，设B'C与AD相交于点F，当∠AB'D＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AB'＝AB＝CD，AC＝CA，
∴△ACB'≌△CAD（SSS），
∴∠DAC＝∠B'CA，
∴FA＝FC，
∵AD＝B'C，
∴FB'＝FD，
∴∠FB'D＝∠FDB'，
∵∠AB'C＝∠B＝∠CDA，
∴∠AB'D＝∠CDB'，
∵∠AB'D＝90°，
∴∠CDB'＝90°，
∴AB'∥CD，
∵AB∥CD，
∴B，A，B'在同一直线上，
∴∠BAC＝∠B'AC＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝；
③如图3，当∠ADB′＝90°时，记CD与AB′交于点O，
由折叠可知，∠B＝∠ADC＝∠AB′C＝30°，
BC＝B′C＝AD，
∴∠ODB′＝60°，
∵∠AOD＝∠B′OC，
∴△AOD≌△COB′（AAS）
∴OD＝OB′，
∴△ODB′是等边三角形，
∴∠DB′C＝90°，
同理可得∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
BC＝AB＝3．
综上所述，BC的长为6或4或3．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点固难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．下面是小华同学解答题目的过程：
＝……第一步．
＝……第二步．
＝……第三步．
＝……第四步．
小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
解：错误．
原式＝﹣×（+3）
＝﹣2×﹣2×3
＝﹣2×2﹣6
＝﹣4﹣6
＝﹣12﹣6
＝﹣．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．解方程．
（1）3x（x+1）＝2（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），
∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝；
（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，
∴（x+1）（2x﹣5）＝0，
∴x+1＝0或2x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出A校、B校的方差即可．
解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∴＜，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
【点评】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．已知，．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值．
【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答；
（2）先估算出2﹣与2+的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：（1）∵x＝2﹣，y＝2+，
∴xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，
（x﹣y）2＝（2﹣﹣2﹣）2＝（﹣2）2＝12，
∴x2+y2﹣xy
＝（x﹣y）2+xy
＝12+1
＝13；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴2+的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴0＜2﹣＜1，
∴2﹣的整数部分是0，小数部分＝2﹣﹣0＝2﹣，
∴a＝2﹣，
∴ax﹣by
＝（2﹣）（2﹣）﹣3（2+）
＝7﹣4+6﹣3
＝13﹣7，
∴ax﹣by的值为13﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程，求解即可．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每件应降价y元，
依题意得：（40﹣30﹣y）（48+8y）＝504
理得y2﹣4y+3＝0．
解方程得：y1＝1，y2＝3．
要尽快减少库存，所以取y＝3．
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长；
（3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AB∥CD，再∠DEA＝∠BAE，再证∠DAE＝∠DEA，得ED＝AD，同理BC＝EC，则ED＝EC，即可得出结论；
（2）证∠AEB＝90°，再由勾股定理即可得出结论；
（3）取BE的中点H，连接FH，由三角形中位线定理得FH∥AB，且AB＝2FH，再证△CEG≌△FHG（AAS），得EG＝HG，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴ED＝AD，
同理：BC＝EC，
∴ED＝EC，
∴E为CD的中点；
（2）解：由（1）可知，ED＝EC＝AD＝3，
∴CD＝2ED＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠BAE+∠ABE＝∠DAB+∠ABC＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE＝＝＝2，
即AE的长为2；
（3）证明：如图，取BE的中点H，连接FH，
则BH＝EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，且AB＝2FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠CEG＝∠FHG，
由（1）可知，CD＝2CE，
∴FH＝CE，
又∵∠CGE＝∠FGH，
∴△CEG≌△FHG（AAS），
∴EG＝HG，
∴EH＝2EG，
∵BH＝EH，
∴BH＝2EG＝2HG，
∴BG＝3EG．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）如图2，若▱ABCD的四个内角为90°．
①若▱ABCD两边AD：AB＝1：，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
②若四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k（0＜k＜1），请用含k的式子表示出▱ABCD的两边AB与AD的比．
【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CBF得出BF＝DE．由BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形；
（2）①设AD＝a，则CD＝AB＝a，由勾股定理求出AC，再求出DE、CF、EF的长，即可得出结论；
②连接BD交AC于O，证出，设OE＝OF＝m，则EF＝2m，AC＝，由勾股定理求出AD和DC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）证明：∵▱ABCD的四个内角为90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
设AD＝a，
则CD＝AB＝a，
∴AC＝＝＝a，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE＝＝＝a，
在△ADE中，AE＝＝a，
同理CF＝a，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝a，
∴AE＝EF＝CF，
即E、F是对角线AC的三等分点；
（3）解：连接BD交AC于O，
∵四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k，
∴，
∴，
设OE＝OF＝m，则EF＝2m，AC＝，
∴OA＝OC＝，
∴AE＝OA﹣OE＝，
由（1）可知AE＝CF，
∴CE＝2m+（）m＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA＝，
∴DE＝＝，
∴DC＝＝，
AD＝＝，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年浙江省杭州市上城区惠兴中学八年级（下）期中数学试卷
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的x值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
12
13
14
15
频数
15
25
x
20﹣x
A．平均数、中位数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、方差
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
5．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
6．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
7．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
9．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若AD＝2，CE＝4，△ADE的面积为4，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．超市把a元/千克的软糖m千克，b元/千克的水果糖n千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为 元/千克．
13．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ ．
14．如图，在▱ABCD中，∠C＝68°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 ．
15．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，背水坡BC坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则大坝横截面的周长为 m．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点固难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．下面是小华同学解答题目的过程：
＝……第一步．
＝……第二步．
＝……第三步．
＝……第四步．
小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．
18．解方程．
（1）3x（x+1）＝2（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
B校
85
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
20．已知，．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？
22．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长；
（3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG．
23．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）如图2，若▱ABCD的四个内角为90°．
①若▱ABCD两边AD：AB＝1：，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
②若四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k（0＜k＜1），请用含k的式子表示出▱ABCD的两边AB与AD的比．
参考答案
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
解：A、＝3，原计算错误，不符合题意；
B、÷＝＝，正确，符合题意；
C、3+＝4，原计算错误，不符合题意；
D、2×5＝30，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3．下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的x值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
12
13
14
15
频数
15
25
x
20﹣x
A．平均数、中位数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为20，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案．
解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+20﹣x＝20，
则总人数为：15+25+20＝50（人），
因为13岁出现的次数最多为25次，
故该组数据的众数为13岁，
第25、26个数据为13、13，
故中位数为：＝13（岁），
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
【分析】移项，配方，即可得出选项．
解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝3×360，
解得：n＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键．
7．如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，继而可根据△CDE的周长等于AD+CD＝11cm求得平行四边形的周长即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝11cm．
∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝2×11＝22厘米，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程即可．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若AD＝2，CE＝4，△ADE的面积为4，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD＝2，BC∥AD，设AD与BE之间的距离为h，再由三角形面积求出h＝4，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，BC∥AD，
设AD与BE之间的距离为h，
∵S△ADE＝AD•h＝×2•h＝4，
∴h＝4，
∵BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∴S△ABE＝BE•h＝×6×4＝12，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，求出AD与BE之间的距离是解题的关键．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
解：①∵a+b+c＝0，
∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0＝，
∴±＝2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据题意可得x+1≥0且x﹣2≠0，求出x的取值范围即可．
解：∵有意义，
∴x+1≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣1且x≠2，
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．超市把a元/千克的软糖m千克，b元/千克的水果糖n千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为 元/千克．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
解：两种糖果的总价格为：am+bn，
混合后糖果的平均价格为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．这类题目重点是确定总价格，然后用总价格除以总重量，进而求解．
13．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ 2 ．
【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3即可．
解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
14．如图，在▱ABCD中，∠C＝68°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为 39° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠C＝∠DAB＝68°，AB∥CD，得出∠ABC＝180°﹣∠C＝112°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝73°，即可得出∠EBC的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝68°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝112°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝68°÷2＝34°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝（180°﹣34°）÷2＝73°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝112°﹣73°＝39°；
故答案为：39°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
15．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，背水坡BC坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则大坝横截面的周长为 （100+20） m．
【分析】过C点作CF⊥AB与点F，如图，则EF＝CD＝10m，CF＝DE＝20m，根据坡比的定义得到＝，＝，则可计算出AE＝15m，BF＝40m，再利用勾股定理计算出AD和BC，然后计算大坝横截面的周长．
解：过C点作CF⊥AB与点F，如图，则EF＝CD＝10m，CF＝DE＝20m，
∵水坡AD的坡比（DE与AE的长度之比）为4：3，
∴＝，
∴AE＝×20＝15（m），
∴AD＝＝25（m），
∵背水坡BC坡比为1：2，
∴＝，
∴BF＝2×20＝40（m），
∴BC＝＝20（m），
∴大坝横截面的周长＝25+10+20+40+10+15＝（100+20）m．
故答案为：（100+20）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 6或4或3 时，△AB'D是直角三角形．
【分析】分两种情况，利用含30°的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
解：①如图1，延长B'A，交BC于点G，当∠B'AD＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AD∥BC，∠B'AD＝90°，
∴∠B'GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB'C＝30°，
∴GC＝B'C＝BC，
∴G为BC中点，
∴BG＝，
∴BC＝6，
②如图2，设B'C与AD相交于点F，当∠AB'D＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AB'＝AB＝CD，AC＝CA，
∴△ACB'≌△CAD（SSS），
∴∠DAC＝∠B'CA，
∴FA＝FC，
∵AD＝B'C，
∴FB'＝FD，
∴∠FB'D＝∠FDB'，
∵∠AB'C＝∠B＝∠CDA，
∴∠AB'D＝∠CDB'，
∵∠AB'D＝90°，
∴∠CDB'＝90°，
∴AB'∥CD，
∵AB∥CD，
∴B，A，B'在同一直线上，
∴∠BAC＝∠B'AC＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝；
③如图3，当∠ADB′＝90°时，记CD与AB′交于点O，
由折叠可知，∠B＝∠ADC＝∠AB′C＝30°，
BC＝B′C＝AD，
∴∠ODB′＝60°，
∵∠AOD＝∠B′OC，
∴△AOD≌△COB′（AAS）
∴OD＝OB′，
∴△ODB′是等边三角形，
∴∠DB′C＝90°，
同理可得∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
BC＝AB＝3．
综上所述，BC的长为6或4或3．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点固难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．下面是小华同学解答题目的过程：
＝……第一步．
＝……第二步．
＝……第三步．
＝……第四步．
小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
解：错误．
原式＝﹣×（+3）
＝﹣2×﹣2×3
＝﹣2×2﹣6
＝﹣4﹣6
＝﹣12﹣6
＝﹣．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．解方程．
（1）3x（x+1）＝2（x+1）；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），
∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝；
（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，
∴（x+1）（2x﹣5）＝0，
∴x+1＝0或2x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出A校、B校的方差即可．
解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分
中位数/分
众数/分
A校
85
85
85
B校
85
80
100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∴＜，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
【点评】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．已知，．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值．
【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答；
（2）先估算出2﹣与2+的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：（1）∵x＝2﹣，y＝2+，
∴xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，
（x﹣y）2＝（2﹣﹣2﹣）2＝（﹣2）2＝12，
∴x2+y2﹣xy
＝（x﹣y）2+xy
＝12+1
＝13；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴2+的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴0＜2﹣＜1，
∴2﹣的整数部分是0，小数部分＝2﹣﹣0＝2﹣，
∴a＝2﹣，
∴ax﹣by
＝（2﹣）（2﹣）﹣3（2+）
＝7﹣4+6﹣3
＝13﹣7，
∴ax﹣by的值为13﹣7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程，求解即可．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每件应降价y元，
依题意得：（40﹣30﹣y）（48+8y）＝504
理得y2﹣4y+3＝0．
解方程得：y1＝1，y2＝3．
要尽快减少库存，所以取y＝3．
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长；
（3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AB∥CD，再∠DEA＝∠BAE，再证∠DAE＝∠DEA，得ED＝AD，同理BC＝EC，则ED＝EC，即可得出结论；
（2）证∠AEB＝90°，再由勾股定理即可得出结论；
（3）取BE的中点H，连接FH，由三角形中位线定理得FH∥AB，且AB＝2FH，再证△CEG≌△FHG（AAS），得EG＝HG，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴ED＝AD，
同理：BC＝EC，
∴ED＝EC，
∴E为CD的中点；
（2）解：由（1）可知，ED＝EC＝AD＝3，
∴CD＝2ED＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠BAE+∠ABE＝∠DAB+∠ABC＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE＝＝＝2，
即AE的长为2；
（3）证明：如图，取BE的中点H，连接FH，
则BH＝EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，且AB＝2FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠CEG＝∠FHG，
由（1）可知，CD＝2CE，
∴FH＝CE，
又∵∠CGE＝∠FGH，
∴△CEG≌△FHG（AAS），
∴EG＝HG，
∴EH＝2EG，
∵BH＝EH，
∴BH＝2EG＝2HG，
∴BG＝3EG．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）如图2，若▱ABCD的四个内角为90°．
①若▱ABCD两边AD：AB＝1：，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
②若四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k（0＜k＜1），请用含k的式子表示出▱ABCD的两边AB与AD的比．
【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CBF得出BF＝DE．由BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形；
（2）①设AD＝a，则CD＝AB＝a，由勾股定理求出AC，再求出DE、CF、EF的长，即可得出结论；
②连接BD交AC于O，证出，设OE＝OF＝m，则EF＝2m，AC＝，由勾股定理求出AD和DC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）证明：∵▱ABCD的四个内角为90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
设AD＝a，
则CD＝AB＝a，
∴AC＝＝＝a，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE＝＝＝a，
在△ADE中，AE＝＝a，
同理CF＝a，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝a，
∴AE＝EF＝CF，
即E、F是对角线AC的三等分点；
（3）解：连接BD交AC于O，
∵四边形DEBF与▱ABCD的面积之比为k，
∴，
∴，
设OE＝OF＝m，则EF＝2m，AC＝，
∴OA＝OC＝，
∴AE＝OA﹣OE＝，
由（1）可知AE＝CF，
∴CE＝2m+（）m＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA＝，
∴DE＝＝，
∴DC＝＝，
AD＝＝，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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