2023年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷

这是一份2023年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷（3月份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，平分，则（    ）

A．75° B．80° C．45° D．90°
4．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
5．布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（    ）
A． B． C． D．
6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（　　）

A．b+c0 B．1 C．adbc D．|a||b|
7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
8．某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
10．分解因式：_________________．
11．若n为整数，且，则n的值为________________．
12．分式方程的解________．
13．如图，是的两条切线，切点分别为A，B，连接，若，则________．

14．在平面直角坐标系中，一次函数y = 6x与反比例函数y=（0）的图象交于A（），B（）两点，则的值是 _____．
15．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD为矩形．

16．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为________．
工作效益
机器
一
二
三
四
五
甲





乙





丙





丁





戊







三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组
19．已知，求代数式的值．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于，求的取值范围．
21．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，求的长．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23．某校七、八年级各有学生600人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：
选择样本，收集数据
从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育测试，测试成绩（百分制）如下：（单位：分）
七年级 85  79  89  83  89  98  68  89  79  59
       　　99  87  85  89  97  86  89  90  89  77
八年级 71  94  87  92  55  94  98  78  86  94
       　　62  99  94  51  88  97  94  98  85  91
分组整理，描述数据
（1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全七年级20名学生安全教育频数分布直方图．

（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分为良好，80分以下为不合格）
分析数据，计算填空
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整

年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
优秀率
七年级
85.3
______
______
______
八年级
85.4
91.5
94
55%
分析数据，解决问题
（3）请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有人数．
（4）整体成绩较好的年级为　 　，理由为　 　．
24．如图，为的直径，为的一条弦，过点作直线，使．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
25．“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

(1)建立模型
①收集数据
（秒）







（米）







②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．

③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求，的值．
验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
(2)应用模型
列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．
26．在平面直角坐标系中，点，，是抛物线上的点，．
(1)当，时，求和的值；
(2)若时，，求的取值范围．
27．在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合），连接．

将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形：
(1)求的度数；
(2)探究线段之间的数量关系，并加以证明；
(3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，若，当时，请写出的最小值．
28．在平面直角坐标系中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线上的点，使，称点是点P的“对应点”， 构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足的动点，以点S为圆心作过点O的．点T在半径为4的上运动，过点T作的切线l．

(1)如图，当时，对于，在图中画出上的点，的“对应点”，；
(2)当点T运动至点时，设为切线l上一点的“对应点”，试求的最大值；
(3)如果存在点S与点T，使的“反形”中存在一点，切线l的“反形”中存在一点，满足，直接写出r的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看，上面一层是一个正方形，下面一层是两个正方形，
故选B
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，掌握三视图的有关定义是解题的关键．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．A
【分析】先计算出∠BOC=90°，再根据角平分线的定义求出∠BOD=45°，即可求出∠AOD．
【详解】解：因为∠AOC=120°，∠AOB=30°，
所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-30°=90°，
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOD=∠BOC=45°，
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=75°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角的计算，理解角平分线的定义是解题关键．
4．A
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：
，
∴这个多边形的内角和为：，
故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
5．A
【分析】一般地，对于一件事情，所有可能出现的结果数为 其中满足某个条件的事件A出现的结果数为 那么事件A发生的概率为： 根据概率公式直接计算即可.
【详解】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能，
∴从袋中任意摸出一个球是白球的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握“简单随机事件的概率公式”是解题的关键.
6．D
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【详解】解：∵b+d＝0，
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、∵b+d＝0，
∴b+c＜0，
故A不符合题意；
B、＜0，
故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，
故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，
故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键．
7．C
【分析】利用平行四边形的性质得出，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，DC=AB，
∴△ECF∽△BAF，
∵点E是CD中点，
∴CE=CD=AB，CE：AB=1：2，
∴△EFC与△BFA的面积比=1：4，
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键．
8．D
【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【详解】解：设，
则……，，
即点，，……，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．

故选：D
【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
9．x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
10．
【分析】首先提公因式，原式可化为，再利用公式法进行因式分解可得结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底．
11．4
【分析】依据夹逼法确定出的大致范围，从而可得到n的值．
【详解】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5．
∴n＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
12．/
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
13．
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据切线的性质得到，再根据四边形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是的两条切线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．
14．0
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
【详解】由一次函数y =6x与反比例函数y=（0）的图象和性质可知，其交点A（），B（）两点关于原点对称，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．
15．O是AB的中点
【分析】先证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论．
【详解】解：添加条件为：O是AB的中点，
理由如下：
∵CDMN，
∴∠OCB=∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC=∠CBM，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OC=OB，
同理可证：OB=OD，
∴OB=OC=OD，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=OC+OD，AB=OA+OB，
∴AB=CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，但不能同时取得，再分类讨论，能求出完成五项工作后获得的效益值总和最大值．
【详解】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，但不能同时取得．
要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，丙只能承担第三项工作，则丁不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第二项工作，则甲承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为：；
乙若不承担第二项工作，则乙承担第一项工作，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为：．
∴完成五项工作后获得的效益值总和最大是．
故答案为：．
【点睛】本题考查完成五项工作后获得的效益值总和最大值的求法，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理论证能力等．
17．1
【分析】由题知，对根式和三角函数值、绝对值等进行化简，然后应用实数的运算法则，即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、实数的运算，重点在熟练掌握运算和化简法则．
18．0 【分析】分别解出两个不等式，然后找出它们的解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x>0，
故原不等式组的解集为0 【点睛】本题主要考查了不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
19．，－6
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
∵，
∴，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：

∴方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为：

或
解得： ，
由题意可得：
解得：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，进而证明是的中位线，得到，再由，，得到，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理在中求出，然后利用等面积法求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．(1)
(2)或

【分析】（1）由一次函数的图象是由函数的图象平移得到，可得，再把点代入，即可求解；
（2）分两种情况，分别画出图象即可求得．
【详解】（1）解：一次函数的图象是由函数的图象平移得到，
，
，
一次函数的图象经过点，
，
；
（2）解：当时，如图：

当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值；
当时，如图：

当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
综上，当或时，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，分两种情况，画出图象，利用函数图象解决问题是解决本题的关键．
23．（1）见解析；（2）88，89，20%；（3）450名；（4）八年级，八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高
【分析】（1）统计七年级的各个分数段人数，即可补全频数分布直方图；
（2）利用中位数、众数、优秀率的意义进行计算即可；
（3）分别求出七年级的优秀人数，八年级的优秀人数即可；
（4）从中位数、众数、优秀率上比较得出答案．
【详解】解：（1）统计七年级各个分数段的人数，
59   68   77   79   79  83  85  85  86   87   89  89   89  89   89   89   90   97  98   99，
其中：落在的人数有人，落在有人，
补全频数分布直方图如下，

（2）将七年级的20名学生的成绩从小到大排列后
59   68   77   79   79  83  85  85  86   87   89  89   89  89   89   89   90   97  98   99，
处在第10、11位的两个数的平均数为＝88，因此中位数是88；
出现次数最多的数是89，因此众数是89；
优秀人数有4人，因此优秀率为4÷20＝20%；
故答案为：88，89，20%；
（3）600×20%+600×55%＝120+330＝450（名），
答：该校七、八年级成绩优秀学生共有450名；
（4）整体成绩较好的是八年级，理由是：中位数、众数、优秀率都比七年级的高；
故答案为：八年级；八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高．
【点睛】本题考查的是统计知识，考查了频数分布直方图，考查了中位数，众数，样本优秀率，用样本估计总体，同时考查了根据统计量作决策，掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，过作于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
为的直径，
，
，
为的切线；
（2）解：连接，过作于，
为的直径，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
，
解得或 (不合题意舍去)，
．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．(1)③见解析；④二次；⑤，
(2)32，

【分析】（1）③根据题意连线即可求解；
④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；
⑤待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：③如图．

④可能是二次函数图象，
故答案为：二次；
⑤设，
因为时，，所以，则．
把和代入可得，
，
解得：，，
，
（2）应用模型：
当时，，
解得，
当时，；
当时，，
．
故答案为：32，．
【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
26．(1)，
(2)或

【分析】（1）根据抛物线上的点的特点列出关于和的方程组求解即可；
（2）由点，是抛物线上的点，可得，进而得到，然后分类讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵点，是抛物线上的点，，
∴点，是抛物线上的点，
∴ ，解得：．
（2）解：∵点，是抛物线上的点，
∴
∵
∴
①当时，
a.当时，，即
∵
∴
∴
∴，即
∵
∴，即
∴没有满足条件的a；
b.当时，，即
∵
∴
∴
∴，即
∵
∴，即
∴；
②当时，
a.当时，，即
∴
∵
∴
∴
∴，即
∵
∴，即
∴；
b.当时，，即
∵
∴
∴
∴，即
∵
∴，即
∴没有满足条件的a．
综上，a的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了抛物线的特点、方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
27．(1)
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）可推出，从而得出A、E、C、F共圆，从而得出；
（2）在上截取，作于H，可推出，从而，，进而得出，进一步可得出结果；
（3）将绕点A顺时针旋转至，连接NE，连接，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解．
【详解】（1）解：如图1，

∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴点A、E、C、F共圆，
∴；
（2）解：如图2，

，理由如下：
在上截取，作于H，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接NE，连接，

则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当N、E、C三点共线时最小，
在等腰直角中：，
∴的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．(1)，
(2)1
(3)

【分析】（1）由“对应点”定义，可求点，点，即可求解；
（2）由题意可得，由对应点定义可得，即可求解；
（3）先确定点和点的轨迹，即可求解．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
又∵在x轴上，
∴点，
∵，
∴，
∵在直线上，
∴点；

（2）∵点，
∴的切线解析式为，
∴点Q纵坐标为4，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为1；
（3）∵点N是的切线上，
∴，
∴，
∴点在以O为圆心，1为半径的圆内或圆上（原点除外），
∵，
∴点在以为圆心，2为半径的圆内或圆上（原点除外），
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题是圆的综合题，切线的性质，理解新定义并运用是解题的关键．