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2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共57页。试卷主要包含了有理数的相反数是，下列运算错误的是，对于下列四个命题，如图，在中，于点D，等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．有理数的相反数是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．如图是由若干个相反的小正方体搭成的几何体的俯视图，各小方格内的数字表示在该地位的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．某种计算机完成基本运算的工夫约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣9 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10
4．若六名先生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85 B．80，79 C．85，80 D．80，80
5．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．将直线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定（ ）
A． B． C． D．
7．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
8．对于下列四个命题：
①与是同类项；
②的值在4和5之间；
③五边形的内角和是540°；
④一切的正方形都类似．
其中假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若，则∠BDC的度数是（ ）
A．34° B．44° C．54° D．64°
10．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图，抛物线的对称轴为直线．关于下列结论：
①；
②；
③若m为任意实数，则；
④若点在该抛物线上，则方程有实数根为，．
其中正确结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
二、填 空 题
13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
14．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个篮球，它们除颜色外其余都相反．从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为_________．
15．若是多项式的一个因式，则m的值为_________．
16．如图，，平分交于点,若，则＝__________．
17． 如图，在矩形ABCD中，点O在AB边上，以O为圆心、OB长为半径作⊙O与CD相切，与AD交于点E，连接OE．若，，则扇形OBE的面积为_________．
18．如图，点E在内部，EB⊥BC，ED⊥CD，且，连接CE．对于下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中一切正确结论的序号是________．
评卷人
得分
三、解 答 题
19．（1）计算：．
（2）已知方程组的解满足，求k的取值范围．
20．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本理想，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
21．如图，点作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点M，且△AOM的面积为3
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点B的坐标为，其中，若以AB为一边的正方形有一个顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．
22．某市教育部门为了了解初中数学课堂中先生参与情况，并按“自动质疑、考虑、专注听讲、讲解标题”四个项目进行评价．调研小组随机抽查部分学校若干名先生，并将抽查先生的课堂参与情况绘制成如下两幅均不残缺的统计图．请根据统计图中的信息解答下列成绩：
(1)本次抽查的先生人数是 ；
(2)在扇形统计图中，“自动质疑”对应的圆心角度数为 ；
(3)将条形统计图补充残缺；
(4)若该市初中生共有80000名，则在课堂中能“考虑”的先生约有多少人？
23．某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务．
(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？
(2)若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需求施工多少天？
24．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，，且，连接PA．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若，求BD的长．
25．如图，已知抛物线点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当△PCD的周长取得值时，求点P的坐标和△PCD周长的值；
(3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
26．已知：在菱形ABCD中，动点P在CD边上（与点C，D均不重合），点M，N分别在BC，AD边上，MN与BP相交于点E，且．
(1)如图1，若，则线段MN与BP的数量关系为 ；
(2)如图2，若，在（1）中所得的结论能否仍然成立？请阐明理由；
(3)如图3，若，，且P，E分别是CD，BP的中点，求AN的长．
答案：
1．D
【分析】
根据相反数的定义求解即可．
【详解】
﹣2的相反数是2，故D正确．
故选：D．
本题考查了相反数的定义，纯熟掌握相反数的定义是解题的关键．只要符号不同的两个数叫相反数，0的相反数是0．
2．B
【分析】
找到从正面看，得到的图形即可．
【详解】
解：主视图从左往右2列，正方形的个数依次为3，1．
故选：B．
考查三视图中的主视图知识；用到的知识点为：主视图是从物体正面看，得到的图形．
3．D
【分析】
值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，普通方式为，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此求解即可．
【详解】
解：用科学记数法可表示为．
故选：D．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，普通方式为，其中，n为由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定，纯熟掌握科学记数法的变换是解题关键．
4．D
【分析】
众数是一组数据中出现次数最多的，中位数是把一组数据按从大到小（从小到大）陈列，最两头一个（若是两个就取它们的平均数）．
【详解】
解：将这组数陈列：70，75，80，80，85， 90
由题意可知，这组数的众数是80，中位数是 ，
故选：D．
本题考查求中位线和众数，掌握他们的定义是处理成绩的关键．
5．B
【分析】
根据同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式计算，再进行判断即可．
【详解】
A.正确，不符合题意；
B.不能合并同类项，符合题意；
C.正确，不符合题意；
D.正确，不符合题意；
故选：B．
本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式，纯熟掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】
设平移后直线上一点（x，y），则点（x+2，y+1）在原直线上，代入原直线解析式可得平移后直线解析式，再代入坐标验证选项即可．
【详解】
解：平移后的直线为：，
A．x=0，y=2，选项不符合题意；
B．x=0，y=2，选项不符合题意；
C．x=1，y=，选项不符合题意；
D．x=-1，y=，符合题意；
故选： D．
本题考查了直线的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键．
7．C
【分析】
根据三角形的三边关系可得，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】
解： ∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴，
∴，
∴
∴方程有两不相等的实数根．
故选：C
本题次要考查了三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，纯熟掌握三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．B
【分析】
根据同类项的定义判断①符合题意；
根据在理数的估算方法判断②符合题意；
根据多边形内角和公式判断③不符合题意；
根据类似多边形的定义判断④不符合题意．
【详解】
解：∵所含字母相反，并且相反字母的指数也分别相等的项叫做同类项，
∴与不是同类项．
故①符合题意．
∵，
∴．
∴的值在3和4之间．
故②符合题意．
五边形的内角和为．
故③不符合题意．
∵正方形的四条边相等，四个角都是90°，
∴一切的正方形类似．
故④不符合题意．
故①②共2个符合题意．
故选：B．
本题考查同类项的判断，在理数的估算方法，多边形内角和公式，类似多边形的定义，纯熟掌握这些知识点是解题关键．
9．A
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠BDC=∠A，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到∠BDC的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-56°=34°，
∴∠BDC=∠A=34°．
故选：A．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．C
【分析】
根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】
解：由于AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又由于
所以AD=，
由于sin∠C=，
所以AC=2，
由于EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
本题次要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是处理成绩的关键．
11．A
【分析】
连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，类似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，
∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，
∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．
∴．
∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．
∴点E在上挪动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
本题考查勾股定理，类似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合运用这些知识点是解题关键．
12．C
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴地位，抛物线与y轴交点地位即可判断①；
由图可知，当时，再根据、之间的关系将代入化简即可判断②；
由图可知，当时函数有值，并将代入化简即可判断③；
根据对称可知关于对称点为，再将代入，转化为一元二次方程的根的情况，即可判断④．
【详解】
解：①由图可知，，
∴
∴，故①错误；
②由图可知，当时，代入得：
；故②正确；
③由图可知，当时函数有值
∴
整理得：，故③错误；
④∵抛物线的对称轴为直线
∴关于对称点为
∴当时，
∴方程有实数根为，，故④正确；
故正确的是：②④．
故选：C．
次要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点坐标，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的纯熟运用，知识的综合运用是解题关键．
13．x＞2
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【详解】
∵在实数范围内有意义
∴由题意得＞0，
解得，
故．
本题次要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
14．
【分析】
直接根据概率公式:随机A的概率P（A）=A可能出现的结果数除以一切可能结果数，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为．
故
本题考查了概率，解题的关键是熟习等可能发生的概率公式.
15．-2
【分析】
设因式分解后的结果是．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可．
【详解】
解：设因式分解后的结果是．
∴．
∴．
∴a=1，-4b=-24，-m=b-4a．
∴b=6，m=4a-b．
∴m=-2．
故-2．
本题考查已知因式分解的结果求参数，纯熟掌握该知识点是解题关键．
16．
【分析】
根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°−65°＝115°，
故答案为115°．
本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的运用.
17．
【分析】
设与CD相切于点F，连接OF．根据切线的性质定理，矩形的性质，正方形的判定定理和性质求出OE和OB的长度，根据直角三角形的边角关系，角的三角函数值求出∠AOE，根据角的和差关系求出∠BOE，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：如下图所示，设与CD相切于点F，连接OF．
∵与CD相切于点F，矩形ABCD中，BC=2，
∴OE=OF=OB，∠A=∠OFC=∠C=∠OBC=90°．
∴四边形OBCF是矩形．
∴矩形OBCF是正方形．
∴OE=OF=OB=BC=2．
∵AB=3，
∴OA=AB-OB=1．
∴．
∴∠AOE=60°．
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°．
∴．
故．
本题考查切线的性质定理，矩形的性质，正方形的判定定理和性质，解直角三角形，角的三角函数值，扇形面积公式，综合运用这些知识点是解题关键．
18．①②③④
【分析】
根据平行四边形的性质，全等三角形逐一选项判断即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴，故①正确；
延伸DE交AB于F
∴DF⊥AB
∵四边形BCDE内角和360°
∴
∴
∴
∵
∴
在和中
∴（ASA）
∴，故③正确；
∴是等腰直角三角形
∴,
∴
∴，故②正确；
当时，
∴
∵
∴，故④正确；
故①②③④．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明是等腰直角三角形．
19．（1）-5；（2）
【分析】
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，值的意义，角的三角函数值，二次根式的混合运算法则计算即可．
（2）根据二元方程组用k表示x-y的值，再根据题意列出一元不等式并求解即可．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）由两个方程相减得：．
∵，
∴．
∴．
∴．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，值的意义，角的三角函数值，二次根式的混合运算，解二元方程组的运用，一元不等式的运用，纯熟掌握这些知识点是解题关键．
20．见解析
【分析】
作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
【详解】
解：△DEF即为所求．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．(1)
(2)3或7
【分析】
（1）根据点A（1，0）、△AOM的面积为3，可求出点M的坐标，即可求解．
（2）分当AB≠AM时，当AB＝AM时，进行分类讨论即可．
(1)
解：∵点A（1，0），AM⊥x轴，
∴设点M的坐标为（1，m），
∵△AOM的面积为3，
∴，，
∴将M（1，6）代入，得k＝6，
则反比例函数的表达式为．
(2)
解：如图，满足条件的正方形有两种情形．
①当AB≠AM时，正方形的边长为t－1，
则点（t，t－1）在的图象上，
∴t（t－1）＝6，解得：t＝3或t＝－2（舍去）；
②当AB＝AM时，正方形的边长为6，
∴t＝1＋6＝7；
综上所述：满足条件时，t的值为3或7．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．解题的关键在于图形找点的坐标．
22．(1)560
(2)54°
(3)见解析
(4)24000人
【分析】
（1）样本总数=专注听讲÷40%．
（2）自动质疑圆心角度数与圆周角的比值=自动质疑人数与样本总量之间的比值，则自动质疑人数÷样本总数×360°．
（3）在（1）中，把样本人数算出来后，分别减去自动质疑、考虑、专注听讲的就是剩下讲解标题的人数，在根据人数画出条形图即可．
（4）先把本次抽抽查考虑的人占得百分数算出来，再用新样本80000乘这个百分数即可．
(1)
解：样本总数=224÷40%=560（人）．
故答案是：560；
(2)
自动质疑人数所占圆心角度数=84÷560×360°=54°．
故答案是：54°；
(3)
参与“讲解标题”的人数=560-84-168-224=8
(4)
∵“考虑”的先生占百分数为168÷560＝30%，
∴80000×30%＝24000（人），
答：在课堂中能“考虑”的先生约有24000人．
本题考查了数据分布图中的扇形图和条形图．留意等量关系：各个量与样本总量的比值和扇形图的圆心角与360°的比值是相等的．
23．(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天；
(2)40天
【分析】
（1）设乙工程队单独完成该工程项目需x天，将整个工程设为“1”，根据两个工程队合做24天恰好完成该工程任务列方程求解即可；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，根据总的施工费用不超过22万元，列不等式求解即可；
(1)
解：设乙工程队单独完成该工程项目需x天，
将整个工程设为“1”，则甲、乙工程队的工作效率分别是，，
根据题意，得：，
解得：x＝60，
经检验可知x＝60是所列分式方程的解，且满足题意，
∴，
∴甲工程队单独完成该工程项目需40天，
答：甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天．
(2)
解：设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，
根据题意得：，
，
解得：，
故乙工程队至少需求施工40天．
本题考查了分式方程的实践运用，一元不等式的实践运用，根据题中等量关系和不等关系列方程是解题关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】
（1）延伸PO交⊙O于点E，连接AE和OA，证△PAB∽△ADB，∠PAO＝∠BAE＝90°，即OA⊥PA，即可，是切线的判定定得出结论；
（2）连接DE，证△BED∽△OPA，得，再在Rt△POA中，由勾股定理求得OA＝3，则OP＝3＋2＝5，BE＝6，代入比例式即可求解．
(1)
证明：如图，延伸PO交⊙O于点E，连接AE和OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠ADB，
∴∠OAE＝∠ADB，
∵∠ABP＝∠ABD，且，即，
∴△PAB∽△ADB，
∴∠PAB＝∠ADB，
∴∠PAB＝∠OAE，
∴∠PAO＝∠BAE＝90°，即OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
(2)
解：连接DE，如图，
则∠BED＝∠DAB＝∠P，
又∵∠BDE＝∠OAP＝90°，
∴△BED∽△OPA，
∴，
在Rt△POA中，设OA＝OB＝x，又PA＝2PB＝4，
∴由，
得，解得x＝3，
∴OA＝3，OP＝3＋2＝5，BE＝6，
从而有，
∴．
本题词考查切线的判定，圆周角定理及其推论，类似三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形与类似三角形是解题的关键．
25．(1)
(2)值为；此时点P的坐标为
(3)，，
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x－1，可得△PCD是等腰直角三角形，从而得到△PCD的周长为：，设点P的坐标为，则点C的坐标为，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
(1)
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为．
(2)
解：设直线AB的表达式为，
∵A（0，－1），B（5，4），
∴，解得：，
∴直线AB的表达式为y＝x－1，
设直线AB交x轴于点M，
当y=0时，x=1，
∴OA=OB=1，
∵∠AOM=90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP=45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD=PD，
∴，即，
∴△PCD的周长为：，
设点P的坐标为，则点C的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，△PCD周长取得值，值为．
此时点P的坐标为．
(3)
解：如图，过点A作P1A⊥y轴交抛物线于点P1，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∵点A（0，-1），
∴点P1的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：（舍去），
此时点P1（4，－1）；
如图，过点A作P2A⊥AB轴交抛物线于点P2，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，
∴点C、P2关于直线AP1对称，
设点 ，则点C，
∴，解得：（舍去），
∴此时点P2（3，－4）；
如图，若AC=CP3，作CE⊥y轴于点E，
∵∠CAE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE=CE，
∴，
设点 ，则点C，
∴，
解得：（舍去），
∴此时点；
综上所述，点P的坐标为或或．
本题次要考查了二次函数的综合题，纯熟掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用数形思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
26．(1)MN＝BP
(2)成立，见解析
(3)
【分析】
（1）过点N作NI⊥BC于点I，先证得四边形ABCD是正方形，可得到四边形ABIN是矩形，从而得到NI=AB=BC，然后证明△BCP≌△NIM，即可求解；
（2）作BH⊥CD于点H，MQ⊥AD于点Q，则∠MQN=∠BHP=90°，证明△PBH≌△NMQ，即可求解；
（3）过点N作NH⊥BP于点H，NQ⊥AB于点Q，连接BD，根据菱形的性质可得△BCD是等边三角形，从而得到BP⊥CD，∠CBP=∠DBP=30°由（2）得：MN＝BP，且MN⊥BC，可得∠ENH=∠CBP=30°，再根据直角三角形的性质和勾股定理，可得，再证得四边形BHNQ是矩形，可得，，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
(1)
解：如图，过点N作NI⊥BC于点I，
在菱形ABCD中，，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=∠C=∠BIN=∠MIN=90°，AB=CD=BC，
∴四边形ABIN是矩形，
∴NI=AB=BC，
∵，
∴∠PEM=∠C=90°，
∴∠BPC+∠EMC=180°，
∵∠BME+∠EMC=180°，
∴∠BPC=∠BME，
∴△BCP≌△NIM，
∴BP=MN；
故BP=MN
(2)
解：MN＝BP仍然成立．理由如下：
如图2，作BH⊥CD于点H，MQ⊥AD于点Q，则∠MQN=∠BHP=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BH＝MQ，
∵∠PEN＝∠A，且∠A＋∠D＝180°，
∴∠PEN＋∠D＝180°，
∴∠DNE＋∠DPE＝180°，
又∵∠BPC＋∠DPE＝180°，
∴∠DNM＝∠BPC，
∴△PBH≌△NMQ，
∴MN＝BP．
(3)
解：如图３，过点N作NH⊥BP于点H，NQ⊥AB于点Q，连接BD，
在菱形ABCD中，BC=CD，∠C=∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵P是CD的中点，
∴BP⊥CD，∠CBP=∠DBP=30°，
由（2）得：MN＝BP，且MN⊥BC，
∵∠NEH=∠BEM，
∴∠ENH=∠CBP=30°，
∵BC＝AB＝4，
∴PC=DP=2，
∴，
∵E是BP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵BP⊥AB，
∴四边形BHNQ是矩形，
∴，，
∴，
∴．
本题次要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，纯熟掌握正方形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A. |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
2. 由6个大小相反的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说确的是（ ）
A. 正视图的面积 B. 左视图的面积
C. 俯视图的面积 D. 三个视图的面积一样大
3. 据报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为【 】
A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109
4. 下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
6. 某篮球兴味小组有15名同窗，在投篮比赛中，他们的成绩如左面的条形图所示．这15名同窗进球数的众数和中位数分别是（ ）
A. 10，7 B. 7，7 C. 9，9 D. 9，7
7. 下列运算正确是（ ）
A. （a5）2=a10 B. x16÷x4=x4 C. 2a2+3a2=5a4 D. b3•b3=2b3
8. 图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等三角形有（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
10. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
11. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知一条抛物线，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：
13. 比﹣3大5的数是_____．
14. 若有意义，则(﹣2)a=______．
15. 如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．
16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是_____．
17. 如图，在正六边形ABCDEF中， 连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星． 记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有_____个．
18. 有一列数﹣，，﹣，，…那么第9个数是_____．
三、解 答 题：
19. 计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
21. 为呼应国家的“”经济发展战略，树立品牌认识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，经过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不残缺的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查C厂家合格零件为 件，并将图1补充残缺；
（3）经过计算阐明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
22. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
23. 某运动品牌专卖店预备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元
运动鞋价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货？
（3）在（2）的条件下，专卖店预备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得利润应如何进货？
24. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的程度距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
25. 如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有值？值是多少？
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A. |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
【正确答案】D
【分析】利用值的性质以及相反数的定义分别分析即可．
【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；
B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；
C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；
D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．
故选D．
此题次要考查了相反数与值的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2. 由6个大小相反的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说确的是（ ）
A. 正视图的面积 B. 左视图的面积
C. 俯视图的面积 D. 三个视图的面积一样大
【正确答案】C
【详解】观察图形可知，几何体的正视图由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，左视图由4个正方形组成，所以俯视图的面积．
故选C．
3. 据报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为【 】
A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109
【正确答案】A
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示方式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．194亿=19400000000一共11位，从而194亿=19400000000=1.94×1010.故选A.
【详解】请在此输入详解！
4. 下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：根据轴对称图形和对称图形的概念可知：
第2、4两个图形既是轴对称图形又是对称图形，
故选：B．
5. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【正确答案】C
【详解】解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故选C．
本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质进行推理论证是解题的关键．
6. 某篮球兴味小组有15名同窗，在投篮比赛中，他们的成绩如左面的条形图所示．这15名同窗进球数的众数和中位数分别是（ ）
A. 10，7 B. 7，7 C. 9，9 D. 9，7
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据众数与中位数的定义分别进行解答即可．
解：由条形统计图给出的数据可得：9出现了6次，出现的次数最多，则众数是9；
把这组数据从小到达陈列，最两头的数是7，则中位数是7．
故选D．
考点：众数；条形统计图；中位数．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a5）2=a10 B. x16÷x4=x4 C. 2a2+3a2=5a4 D. b3•b3=2b3
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A正确；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；
考点：（1）同底数幂的除法；（2）合并同类项；（3）同底数幂的乘法；（4）幂的乘方与积的乘方．
8. 图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：
根据图中信息分别求出直线l1和l2的解析式即可作出判断.
详解：
设直线l1和l2的解析式分别为，根据图中信息可得：
， ，
解得： ，，
∴l1和l2的解析式分别为，即，，
∴直线l1和l2的交点坐标可以看作方程 的交点坐标.
故选B.
点睛：根据图象中的信息由待定系数法求得直线l1和l2的解析式是解答本题的关键.
9. 如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
【正确答案】A
【分析】根据三角形的面积公式，知：只需同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．
【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.
故选A.
本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是纯熟的掌握三角形面积公式与运用.
10. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．
11. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
【详解】连接AC，BP，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
设垂足为O，
△BCE的面积=×BE×CO=S△BEP＋S△BCP=×BE×PR＋×BC×PQ=BE×（PR＋PQ），∴CO=PR＋PQ，
∵AB=1，
∴AC=，CO=，
∴PR＋PQ=，
故选：D．
考点：正方形性质与三角形面积综合题．
12. 已知一条抛物线，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x-3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．
【详解】∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-3）2+1．
故选C．
考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据标题给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．普通地，当已知抛物线上三点时，常选择普通式，用待定系数法列三元方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
二、填 空 题：
13. 比﹣3大5的数是_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：
故答案为
14. 若有意义，则(﹣2)a=______．
【正确答案】1
【详解】试题解析：∵有意义，
∴a=0，
则
故答案为1.
15. 如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．
【正确答案】．
【详解】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；
故答案为．
本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是_____．
【正确答案】6
【详解】试题解析：,
∴△AOD∼△COB，
∵S△AOD:S△BOC=1:9，
∴AD:BC=1:3，
∵AD=2，
∴BC=6.
故答案为6.
17. 如图，在正六边形ABCDEF中， 连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星． 记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有_____个．
【正确答案】8．
【详解】试题分析：根据正六边形的性质和等边三角形的判定可知,图中的三角形△AML、△BMH、△CHI、△DIJ、△EJK、△FKL、△ACE、△BDF是等边三角形,共8个．
考点：正六边形的性质和等边三角形的判定．
18. 有一列数﹣，，﹣，，…那么第9个数是_____．
【正确答案】-
【详解】试题解析：∵第n个数为
∴第9个数是
故答案为
点睛：由题意可知：分子是从1开始连续的自然数，分母是分子的平方加1，奇数地位为负，偶数地位为正，因此第n个数为进一步代入求得答案即可．
三、解 答 题：
19. 计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|
【正确答案】2
【详解】试题分析：首先化简二次根式，计算负指数次幂和0次幂、去掉值符号，然后合并同类二次根式即可．
试题解析：原式
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，由于M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；
（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长．
【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，且MN=AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，
∴BM=AC，
又∵AC=AD，
∴MN=BM；
（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴，
而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，
∴BN=．
21. 为呼应国家的“”经济发展战略，树立品牌认识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，经过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不残缺的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充残缺；
（3）经过计算阐明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
【正确答案】（1）500， 90°；（2）380；（3）合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）P（选中C、D）=．
【详解】试题分析：（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数=总数×所占比例，D厂家对应的圆心角为360°×所占比例；
（2）C厂零件数=总数×所占比例；
（3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；
（4）利用树状图法列举出一切可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
试题解析：（1）D厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%，
D厂的零件数=2000×25%=500件；
D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°；
（2）C厂的零件数=2000×20%=400件，
C厂的合格零件数=400×95%=380件，
如图：
（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，
B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，
C厂家合格率=95%，
D厂家合格率470÷500=94%，
合格率排在前两名是C、D两个厂家；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中C、D的有2种，
则P（选中C、D）==．
考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3. 树状图法.
22. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）60.
【详解】（1）证明：如图，连接OE、OD．
∵ 弧DE的长度为4π，⊙O的半径r＝12，
∴，
∴n＝60，即∠EOD＝60°．
∵OE＝OD，∴∠EDO＝60°，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．
（2）如图，作OG⊥AC于G，连接FO，
∴EG＝FG．
∵DE∥BC，∠C＝90°，∴∠FED＝90°，
∴FD是⊙O的直径，
∴，
∵∠A＝60°，ED＝12，∠AED＝90°，
∴，
，
∵∠FDA＝90°，
∴，
∴，
∵AF＝CE，
∴，
∴，
∴．
23. 某运动品牌专卖店预备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元
运动鞋价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货？
（3）在（2）的条件下，专卖店预备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得利润应如何进货？
【正确答案】（1）m=100；（2）共有17种；（3）此时应购进甲种运动鞋84双，购进乙种运动鞋116双
【分析】（1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元”列出方程并解答；
（2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】(1)依题意得：60m+50(m−20)=10000，
解得m=100；
(2)设购进甲种运动鞋x双,则乙种运动鞋(200−x)双，
根据题意得,
解不等式①得,
解不等式②得，
所以,不等式组的解集是:
∵x是正整数，100−84+1=17，
∴共有17种；
(3)设总利润为W,则W=(240−100−a)x+80(200−x)=(60−a)x+16000()，
①当500，W随x的增大而增大，
所以，当x=100时，W有值，
即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；
②当a=60时,60−a=0,W=16000,(2)中一切获利都一样；
③当60
即此时应购进甲种运动鞋84双，购进乙种运动鞋116双.
本题考查一元方程，一元不等式组的运用，根据题意列出方程和不等式组是解题的关键.
24. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的程度距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】旗杆AB的高度为6.4米.
【详解】分析：（1）根据坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；
（2）根据余弦的概念求出CD，根据正切的概念求出AG、BG，计算即可．
本题解析：(1)∵斜坡BC的坡度i=1:，∴tan∠BCD= ，
∴∠BCD=30°；
(2)在Rt△BCD中,CD=BC×cos∠BCD=6×=9，
则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE为矩形，∴GE=DF=10(米)，
∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，
Rt△BEG中,BG=GE×tan∠BEG=10×0.36=3.6(米)，
则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).
答：旗杆AB的高度为6.4米．
25. 如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有值？值是多少？
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2） （3）当t=2时，MN的长度l有值，值是4．
【详解】（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，OA=2，即=，
∴0B=4，∴A（0，2），B（4，0），
把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2，
设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得：，
解得：k=﹣，e=2，
所以直线AB的解析式是y=﹣x+2；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
由（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
即D的坐标为，则ED=，EO=，AE=EO﹣OA=，
S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB=×（+4）×﹣××﹣×4×2=；
（3）由题可知，M、N横坐标均为t．
∵M在直线AB：y=﹣x+2上，∴M（t，﹣t+2），
∵N在抛物线y=﹣x2+x+2上，∴M（t，﹣t2+t+2），
∵作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，
∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，其中0＜t＜4，
∴当t=2时，MN=4，
所以当t=2时，MN长度l有值，值是4．
（1）经过解直角三角形求出点D的坐标，再用待定系数法求解；（2）经过配方求出顶点坐标，再利用面积公式求解；（3）二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．有理数的相反数是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．如图是由若干个相反的小正方体搭成的几何体的俯视图，各小方格内的数字表示在该地位的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．某种计算机完成基本运算的工夫约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣9 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10
4．若六名先生的体育测试成绩分别为70，80，85，75，80，90（单位：分），则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85 B．80，79 C．85，80 D．80，80
5．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．将直线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定（ ）
A． B． C． D．
7．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
8．对于下列四个命题：
①与是同类项；
②的值在4和5之间；
③五边形的内角和是540°；
④一切的正方形都类似．
其中假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若，则∠BDC的度数是（ ）
A．34° B．44° C．54° D．64°
10．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图，抛物线的对称轴为直线．关于下列结论：
①；
②；
③若m为任意实数，则；
④若点在该抛物线上，则方程有实数根为，．
其中正确结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
二、填 空 题
13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
14．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个篮球，它们除颜色外其余都相反．从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为_________．
15．若是多项式的一个因式，则m的值为_________．
16．如图，，平分交于点,若，则＝__________．
17． 如图，在矩形ABCD中，点O在AB边上，以O为圆心、OB长为半径作⊙O与CD相切，与AD交于点E，连接OE．若，，则扇形OBE的面积为_________．
18．如图，点E在内部，EB⊥BC，ED⊥CD，且，连接CE．对于下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中一切正确结论的序号是________．
评卷人
得分
三、解 答 题
19．（1）计算：．
（2）已知方程组的解满足，求k的取值范围．
20．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本理想，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
21．如图，点作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点M，且△AOM的面积为3
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点B的坐标为，其中，若以AB为一边的正方形有一个顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．
22．某市教育部门为了了解初中数学课堂中先生参与情况，并按“自动质疑、考虑、专注听讲、讲解标题”四个项目进行评价．调研小组随机抽查部分学校若干名先生，并将抽查先生的课堂参与情况绘制成如下两幅均不残缺的统计图．请根据统计图中的信息解答下列成绩：
(1)本次抽查的先生人数是 ；
(2)在扇形统计图中，“自动质疑”对应的圆心角度数为 ；
(3)将条形统计图补充残缺；
(4)若该市初中生共有80000名，则在课堂中能“考虑”的先生约有多少人？
23．某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务．
(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？
(2)若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需求施工多少天？
24．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，，且，连接PA．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若，求BD的长．
25．如图，已知抛物线点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当△PCD的周长取得值时，求点P的坐标和△PCD周长的值；
(3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
26．已知：在菱形ABCD中，动点P在CD边上（与点C，D均不重合），点M，N分别在BC，AD边上，MN与BP相交于点E，且．
(1)如图1，若，则线段MN与BP的数量关系为 ；
(2)如图2，若，在（1）中所得的结论能否仍然成立？请阐明理由；
(3)如图3，若，，且P，E分别是CD，BP的中点，求AN的长．
答案：
1．D
【分析】
根据相反数的定义求解即可．
【详解】
﹣2的相反数是2，故D正确．
故选：D．
本题考查了相反数的定义，纯熟掌握相反数的定义是解题的关键．只要符号不同的两个数叫相反数，0的相反数是0．
2．B
【分析】
找到从正面看，得到的图形即可．
【详解】
解：主视图从左往右2列，正方形的个数依次为3，1．
故选：B．
考查三视图中的主视图知识；用到的知识点为：主视图是从物体正面看，得到的图形．
3．D
【分析】
值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，普通方式为，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此求解即可．
【详解】
解：用科学记数法可表示为．
故选：D．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，普通方式为，其中，n为由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定，纯熟掌握科学记数法的变换是解题关键．
4．D
【分析】
众数是一组数据中出现次数最多的，中位数是把一组数据按从大到小（从小到大）陈列，最两头一个（若是两个就取它们的平均数）．
【详解】
解：将这组数陈列：70，75，80，80，85， 90
由题意可知，这组数的众数是80，中位数是 ，
故选：D．
本题考查求中位线和众数，掌握他们的定义是处理成绩的关键．
5．B
【分析】
根据同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式计算，再进行判断即可．
【详解】
A.正确，不符合题意；
B.不能合并同类项，符合题意；
C.正确，不符合题意；
D.正确，不符合题意；
故选：B．
本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方及单项式乘以多项式，纯熟掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】
设平移后直线上一点（x，y），则点（x+2，y+1）在原直线上，代入原直线解析式可得平移后直线解析式，再代入坐标验证选项即可．
【详解】
解：平移后的直线为：，
A．x=0，y=2，选项不符合题意；
B．x=0，y=2，选项不符合题意；
C．x=1，y=，选项不符合题意；
D．x=-1，y=，符合题意；
故选： D．
本题考查了直线的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键．
7．C
【分析】
根据三角形的三边关系可得，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】
解： ∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴，
∴，
∴
∴方程有两不相等的实数根．
故选：C
本题次要考查了三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，纯熟掌握三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．B
【分析】
根据同类项的定义判断①符合题意；
根据在理数的估算方法判断②符合题意；
根据多边形内角和公式判断③不符合题意；
根据类似多边形的定义判断④不符合题意．
【详解】
解：∵所含字母相反，并且相反字母的指数也分别相等的项叫做同类项，
∴与不是同类项．
故①符合题意．
∵，
∴．
∴的值在3和4之间．
故②符合题意．
五边形的内角和为．
故③不符合题意．
∵正方形的四条边相等，四个角都是90°，
∴一切的正方形类似．
故④不符合题意．
故①②共2个符合题意．
故选：B．
本题考查同类项的判断，在理数的估算方法，多边形内角和公式，类似多边形的定义，纯熟掌握这些知识点是解题关键．
9．A
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠BDC=∠A，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到∠BDC的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-56°=34°，
∴∠BDC=∠A=34°．
故选：A．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．C
【分析】
根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】
解：由于AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又由于
所以AD=，
由于sin∠C=，
所以AC=2，
由于EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
本题次要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是处理成绩的关键．
11．A
【分析】
连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，类似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，
∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，
∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．
∴．
∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．
∴点E在上挪动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
本题考查勾股定理，类似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合运用这些知识点是解题关键．
12．C
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴地位，抛物线与y轴交点地位即可判断①；
由图可知，当时，再根据、之间的关系将代入化简即可判断②；
由图可知，当时函数有值，并将代入化简即可判断③；
根据对称可知关于对称点为，再将代入，转化为一元二次方程的根的情况，即可判断④．
【详解】
解：①由图可知，，
∴
∴，故①错误；
②由图可知，当时，代入得：
；故②正确；
③由图可知，当时函数有值
∴
整理得：，故③错误；
④∵抛物线的对称轴为直线
∴关于对称点为
∴当时，
∴方程有实数根为，，故④正确；
故正确的是：②④．
故选：C．
次要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点坐标，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的纯熟运用，知识的综合运用是解题关键．
13．x＞2
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【详解】
∵在实数范围内有意义
∴由题意得＞0，
解得，
故．
本题次要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
14．
【分析】
直接根据概率公式:随机A的概率P（A）=A可能出现的结果数除以一切可能结果数，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为．
故
本题考查了概率，解题的关键是熟习等可能发生的概率公式.
15．-2
【分析】
设因式分解后的结果是．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可．
【详解】
解：设因式分解后的结果是．
∴．
∴．
∴a=1，-4b=-24，-m=b-4a．
∴b=6，m=4a-b．
∴m=-2．
故-2．
本题考查已知因式分解的结果求参数，纯熟掌握该知识点是解题关键．
16．
【分析】
根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°−65°＝115°，
故答案为115°．
本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的运用.
17．
【分析】
设与CD相切于点F，连接OF．根据切线的性质定理，矩形的性质，正方形的判定定理和性质求出OE和OB的长度，根据直角三角形的边角关系，角的三角函数值求出∠AOE，根据角的和差关系求出∠BOE，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：如下图所示，设与CD相切于点F，连接OF．
∵与CD相切于点F，矩形ABCD中，BC=2，
∴OE=OF=OB，∠A=∠OFC=∠C=∠OBC=90°．
∴四边形OBCF是矩形．
∴矩形OBCF是正方形．
∴OE=OF=OB=BC=2．
∵AB=3，
∴OA=AB-OB=1．
∴．
∴∠AOE=60°．
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°．
∴．
故．
本题考查切线的性质定理，矩形的性质，正方形的判定定理和性质，解直角三角形，角的三角函数值，扇形面积公式，综合运用这些知识点是解题关键．
18．①②③④
【分析】
根据平行四边形的性质，全等三角形逐一选项判断即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴，故①正确；
延伸DE交AB于F
∴DF⊥AB
∵四边形BCDE内角和360°
∴
∴
∴
∵
∴
在和中
∴（ASA）
∴，故③正确；
∴是等腰直角三角形
∴,
∴
∴，故②正确；
当时，
∴
∵
∴，故④正确；
故①②③④．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明是等腰直角三角形．
19．（1）-5；（2）
【分析】
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，值的意义，角的三角函数值，二次根式的混合运算法则计算即可．
（2）根据二元方程组用k表示x-y的值，再根据题意列出一元不等式并求解即可．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）由两个方程相减得：．
∵，
∴．
∴．
∴．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，值的意义，角的三角函数值，二次根式的混合运算，解二元方程组的运用，一元不等式的运用，纯熟掌握这些知识点是解题关键．
20．见解析
【分析】
作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
【详解】
解：△DEF即为所求．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．(1)
(2)3或7
【分析】
（1）根据点A（1，0）、△AOM的面积为3，可求出点M的坐标，即可求解．
（2）分当AB≠AM时，当AB＝AM时，进行分类讨论即可．
(1)
解：∵点A（1，0），AM⊥x轴，
∴设点M的坐标为（1，m），
∵△AOM的面积为3，
∴，，
∴将M（1，6）代入，得k＝6，
则反比例函数的表达式为．
(2)
解：如图，满足条件的正方形有两种情形．
①当AB≠AM时，正方形的边长为t－1，
则点（t，t－1）在的图象上，
∴t（t－1）＝6，解得：t＝3或t＝－2（舍去）；
②当AB＝AM时，正方形的边长为6，
∴t＝1＋6＝7；
综上所述：满足条件时，t的值为3或7．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．解题的关键在于图形找点的坐标．
22．(1)560
(2)54°
(3)见解析
(4)24000人
【分析】
（1）样本总数=专注听讲÷40%．
（2）自动质疑圆心角度数与圆周角的比值=自动质疑人数与样本总量之间的比值，则自动质疑人数÷样本总数×360°．
（3）在（1）中，把样本人数算出来后，分别减去自动质疑、考虑、专注听讲的就是剩下讲解标题的人数，在根据人数画出条形图即可．
（4）先把本次抽抽查考虑的人占得百分数算出来，再用新样本80000乘这个百分数即可．
(1)
解：样本总数=224÷40%=560（人）．
故答案是：560；
(2)
自动质疑人数所占圆心角度数=84÷560×360°=54°．
故答案是：54°；
(3)
参与“讲解标题”的人数=560-84-168-224=8
(4)
∵“考虑”的先生占百分数为168÷560＝30%，
∴80000×30%＝24000（人），
答：在课堂中能“考虑”的先生约有24000人．
本题考查了数据分布图中的扇形图和条形图．留意等量关系：各个量与样本总量的比值和扇形图的圆心角与360°的比值是相等的．
23．(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天；
(2)40天
【分析】
（1）设乙工程队单独完成该工程项目需x天，将整个工程设为“1”，根据两个工程队合做24天恰好完成该工程任务列方程求解即可；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，根据总的施工费用不超过22万元，列不等式求解即可；
(1)
解：设乙工程队单独完成该工程项目需x天，
将整个工程设为“1”，则甲、乙工程队的工作效率分别是，，
根据题意，得：，
解得：x＝60，
经检验可知x＝60是所列分式方程的解，且满足题意，
∴，
∴甲工程队单独完成该工程项目需40天，
答：甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天．
(2)
解：设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，
根据题意得：，
，
解得：，
故乙工程队至少需求施工40天．
本题考查了分式方程的实践运用，一元不等式的实践运用，根据题中等量关系和不等关系列方程是解题关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】
（1）延伸PO交⊙O于点E，连接AE和OA，证△PAB∽△ADB，∠PAO＝∠BAE＝90°，即OA⊥PA，即可，是切线的判定定得出结论；
（2）连接DE，证△BED∽△OPA，得，再在Rt△POA中，由勾股定理求得OA＝3，则OP＝3＋2＝5，BE＝6，代入比例式即可求解．
(1)
证明：如图，延伸PO交⊙O于点E，连接AE和OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠ADB，
∴∠OAE＝∠ADB，
∵∠ABP＝∠ABD，且，即，
∴△PAB∽△ADB，
∴∠PAB＝∠ADB，
∴∠PAB＝∠OAE，
∴∠PAO＝∠BAE＝90°，即OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
(2)
解：连接DE，如图，
则∠BED＝∠DAB＝∠P，
又∵∠BDE＝∠OAP＝90°，
∴△BED∽△OPA，
∴，
在Rt△POA中，设OA＝OB＝x，又PA＝2PB＝4，
∴由，
得，解得x＝3，
∴OA＝3，OP＝3＋2＝5，BE＝6，
从而有，
∴．
本题词考查切线的判定，圆周角定理及其推论，类似三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形与类似三角形是解题的关键．
25．(1)
(2)值为；此时点P的坐标为
(3)，，
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x－1，可得△PCD是等腰直角三角形，从而得到△PCD的周长为：，设点P的坐标为，则点C的坐标为，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
(1)
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为．
(2)
解：设直线AB的表达式为，
∵A（0，－1），B（5，4），
∴，解得：，
∴直线AB的表达式为y＝x－1，
设直线AB交x轴于点M，
当y=0时，x=1，
∴OA=OB=1，
∵∠AOM=90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP=45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD=PD，
∴，即，
∴△PCD的周长为：，
设点P的坐标为，则点C的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，△PCD周长取得值，值为．
此时点P的坐标为．
(3)
解：如图，过点A作P1A⊥y轴交抛物线于点P1，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∵点A（0，-1），
∴点P1的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：（舍去），
此时点P1（4，－1）；
如图，过点A作P2A⊥AB轴交抛物线于点P2，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，
∴点C、P2关于直线AP1对称，
设点 ，则点C，
∴，解得：（舍去），
∴此时点P2（3，－4）；
如图，若AC=CP3，作CE⊥y轴于点E，
∵∠CAE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE=CE，
∴，
设点 ，则点C，
∴，
解得：（舍去），
∴此时点；
综上所述，点P的坐标为或或．
本题次要考查了二次函数的综合题，纯熟掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用数形思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
26．(1)MN＝BP
(2)成立，见解析
(3)
【分析】
（1）过点N作NI⊥BC于点I，先证得四边形ABCD是正方形，可得到四边形ABIN是矩形，从而得到NI=AB=BC，然后证明△BCP≌△NIM，即可求解；
（2）作BH⊥CD于点H，MQ⊥AD于点Q，则∠MQN=∠BHP=90°，证明△PBH≌△NMQ，即可求解；
（3）过点N作NH⊥BP于点H，NQ⊥AB于点Q，连接BD，根据菱形的性质可得△BCD是等边三角形，从而得到BP⊥CD，∠CBP=∠DBP=30°由（2）得：MN＝BP，且MN⊥BC，可得∠ENH=∠CBP=30°，再根据直角三角形的性质和勾股定理，可得，再证得四边形BHNQ是矩形，可得，，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
(1)
解：如图，过点N作NI⊥BC于点I，
在菱形ABCD中，，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=∠C=∠BIN=∠MIN=90°，AB=CD=BC，
∴四边形ABIN是矩形，
∴NI=AB=BC，
∵，
∴∠PEM=∠C=90°，
∴∠BPC+∠EMC=180°，
∵∠BME+∠EMC=180°，
∴∠BPC=∠BME，
∴△BCP≌△NIM，
∴BP=MN；
故BP=MN
(2)
解：MN＝BP仍然成立．理由如下：
如图2，作BH⊥CD于点H，MQ⊥AD于点Q，则∠MQN=∠BHP=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BH＝MQ，
∵∠PEN＝∠A，且∠A＋∠D＝180°，
∴∠PEN＋∠D＝180°，
∴∠DNE＋∠DPE＝180°，
又∵∠BPC＋∠DPE＝180°，
∴∠DNM＝∠BPC，
∴△PBH≌△NMQ，
∴MN＝BP．
(3)
解：如图３，过点N作NH⊥BP于点H，NQ⊥AB于点Q，连接BD，
在菱形ABCD中，BC=CD，∠C=∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵P是CD的中点，
∴BP⊥CD，∠CBP=∠DBP=30°，
由（2）得：MN＝BP，且MN⊥BC，
∵∠NEH=∠BEM，
∴∠ENH=∠CBP=30°，
∵BC＝AB＝4，
∴PC=DP=2，
∴，
∵E是BP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵BP⊥AB，
∴四边形BHNQ是矩形，
∴，，
∴，
∴．
本题次要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，纯熟掌握正方形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A. |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
2. 由6个大小相反的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说确的是（ ）
A. 正视图的面积 B. 左视图的面积
C. 俯视图的面积 D. 三个视图的面积一样大
3. 据报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为【 】
A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109
4. 下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
6. 某篮球兴味小组有15名同窗，在投篮比赛中，他们的成绩如左面的条形图所示．这15名同窗进球数的众数和中位数分别是（ ）
A. 10，7 B. 7，7 C. 9，9 D. 9，7
7. 下列运算正确是（ ）
A. （a5）2=a10 B. x16÷x4=x4 C. 2a2+3a2=5a4 D. b3•b3=2b3
8. 图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等三角形有（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
10. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
11. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知一条抛物线，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：
13. 比﹣3大5的数是_____．
14. 若有意义，则(﹣2)a=______．
15. 如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．
16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是_____．
17. 如图，在正六边形ABCDEF中， 连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星． 记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有_____个．
18. 有一列数﹣，，﹣，，…那么第9个数是_____．
三、解 答 题：
19. 计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
21. 为呼应国家的“”经济发展战略，树立品牌认识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，经过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不残缺的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查C厂家合格零件为 件，并将图1补充残缺；
（3）经过计算阐明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
22. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
23. 某运动品牌专卖店预备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元
运动鞋价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货？
（3）在（2）的条件下，专卖店预备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得利润应如何进货？
24. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的程度距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
25. 如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有值？值是多少？
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A. |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
【正确答案】D
【分析】利用值的性质以及相反数的定义分别分析即可．
【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；
B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；
C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；
D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．
故选D．
此题次要考查了相反数与值的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2. 由6个大小相反的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说确的是（ ）
A. 正视图的面积 B. 左视图的面积
C. 俯视图的面积 D. 三个视图的面积一样大
【正确答案】C
【详解】观察图形可知，几何体的正视图由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，左视图由4个正方形组成，所以俯视图的面积．
故选C．
3. 据报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为【 】
A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109
【正确答案】A
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示方式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．194亿=19400000000一共11位，从而194亿=19400000000=1.94×1010.故选A.
【详解】请在此输入详解！
4. 下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：根据轴对称图形和对称图形的概念可知：
第2、4两个图形既是轴对称图形又是对称图形，
故选：B．
5. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【正确答案】C
【详解】解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故选C．
本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质进行推理论证是解题的关键．
6. 某篮球兴味小组有15名同窗，在投篮比赛中，他们的成绩如左面的条形图所示．这15名同窗进球数的众数和中位数分别是（ ）
A. 10，7 B. 7，7 C. 9，9 D. 9，7
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据众数与中位数的定义分别进行解答即可．
解：由条形统计图给出的数据可得：9出现了6次，出现的次数最多，则众数是9；
把这组数据从小到达陈列，最两头的数是7，则中位数是7．
故选D．
考点：众数；条形统计图；中位数．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a5）2=a10 B. x16÷x4=x4 C. 2a2+3a2=5a4 D. b3•b3=2b3
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A正确；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；
考点：（1）同底数幂的除法；（2）合并同类项；（3）同底数幂的乘法；（4）幂的乘方与积的乘方．
8. 图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：
根据图中信息分别求出直线l1和l2的解析式即可作出判断.
详解：
设直线l1和l2的解析式分别为，根据图中信息可得：
， ，
解得： ，，
∴l1和l2的解析式分别为，即，，
∴直线l1和l2的交点坐标可以看作方程 的交点坐标.
故选B.
点睛：根据图象中的信息由待定系数法求得直线l1和l2的解析式是解答本题的关键.
9. 如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
【正确答案】A
【分析】根据三角形的面积公式，知：只需同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．
【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.
故选A.
本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是纯熟的掌握三角形面积公式与运用.
10. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．
11. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
【详解】连接AC，BP，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
设垂足为O，
△BCE的面积=×BE×CO=S△BEP＋S△BCP=×BE×PR＋×BC×PQ=BE×（PR＋PQ），∴CO=PR＋PQ，
∵AB=1，
∴AC=，CO=，
∴PR＋PQ=，
故选：D．
考点：正方形性质与三角形面积综合题．
12. 已知一条抛物线，，，四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x-3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．
【详解】∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-3）2+1．
故选C．
考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据标题给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．普通地，当已知抛物线上三点时，常选择普通式，用待定系数法列三元方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
二、填 空 题：
13. 比﹣3大5的数是_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：
故答案为
14. 若有意义，则(﹣2)a=______．
【正确答案】1
【详解】试题解析：∵有意义，
∴a=0，
则
故答案为1.
15. 如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．
【正确答案】．
【详解】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；
故答案为．
本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是_____．
【正确答案】6
【详解】试题解析：,
∴△AOD∼△COB，
∵S△AOD:S△BOC=1:9，
∴AD:BC=1:3，
∵AD=2，
∴BC=6.
故答案为6.
17. 如图，在正六边形ABCDEF中， 连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星． 记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有_____个．
【正确答案】8．
【详解】试题分析：根据正六边形的性质和等边三角形的判定可知,图中的三角形△AML、△BMH、△CHI、△DIJ、△EJK、△FKL、△ACE、△BDF是等边三角形,共8个．
考点：正六边形的性质和等边三角形的判定．
18. 有一列数﹣，，﹣，，…那么第9个数是_____．
【正确答案】-
【详解】试题解析：∵第n个数为
∴第9个数是
故答案为
点睛：由题意可知：分子是从1开始连续的自然数，分母是分子的平方加1，奇数地位为负，偶数地位为正，因此第n个数为进一步代入求得答案即可．
三、解 答 题：
19. 计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|
【正确答案】2
【详解】试题分析：首先化简二次根式，计算负指数次幂和0次幂、去掉值符号，然后合并同类二次根式即可．
试题解析：原式
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，由于M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；
（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长．
【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，且MN=AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，
∴BM=AC，
又∵AC=AD，
∴MN=BM；
（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴，
而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，
∴BN=．
21. 为呼应国家的“”经济发展战略，树立品牌认识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，经过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不残缺的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充残缺；
（3）经过计算阐明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
【正确答案】（1）500， 90°；（2）380；（3）合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）P（选中C、D）=．
【详解】试题分析：（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数=总数×所占比例，D厂家对应的圆心角为360°×所占比例；
（2）C厂零件数=总数×所占比例；
（3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；
（4）利用树状图法列举出一切可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
试题解析：（1）D厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%，
D厂的零件数=2000×25%=500件；
D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°；
（2）C厂的零件数=2000×20%=400件，
C厂的合格零件数=400×95%=380件，
如图：
（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，
B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，
C厂家合格率=95%，
D厂家合格率470÷500=94%，
合格率排在前两名是C、D两个厂家；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中C、D的有2种，
则P（选中C、D）==．
考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3. 树状图法.
22. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）60.
【详解】（1）证明：如图，连接OE、OD．
∵ 弧DE的长度为4π，⊙O的半径r＝12，
∴，
∴n＝60，即∠EOD＝60°．
∵OE＝OD，∴∠EDO＝60°，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．
（2）如图，作OG⊥AC于G，连接FO，
∴EG＝FG．
∵DE∥BC，∠C＝90°，∴∠FED＝90°，
∴FD是⊙O的直径，
∴，
∵∠A＝60°，ED＝12，∠AED＝90°，
∴，
，
∵∠FDA＝90°，
∴，
∴，
∵AF＝CE，
∴，
∴，
∴．
23. 某运动品牌专卖店预备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元
运动鞋价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货？
（3）在（2）的条件下，专卖店预备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得利润应如何进货？
【正确答案】（1）m=100；（2）共有17种；（3）此时应购进甲种运动鞋84双，购进乙种运动鞋116双
【分析】（1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元”列出方程并解答；
（2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】(1)依题意得：60m+50(m−20)=10000，
解得m=100；
(2)设购进甲种运动鞋x双,则乙种运动鞋(200−x)双，
根据题意得,
解不等式①得,
解不等式②得，
所以,不等式组的解集是:
∵x是正整数，100−84+1=17，
∴共有17种；
(3)设总利润为W,则W=(240−100−a)x+80(200−x)=(60−a)x+16000()，
①当50
所以，当x=100时，W有值，
即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；
②当a=60时,60−a=0,W=16000,(2)中一切获利都一样；
③当60
即此时应购进甲种运动鞋84双，购进乙种运动鞋116双.
本题考查一元方程，一元不等式组的运用，根据题意列出方程和不等式组是解题的关键.
24. 如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的程度距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【正确答案】旗杆AB的高度为6.4米.
【详解】分析：（1）根据坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；
（2）根据余弦的概念求出CD，根据正切的概念求出AG、BG，计算即可．
本题解析：(1)∵斜坡BC的坡度i=1:，∴tan∠BCD= ，
∴∠BCD=30°；
(2)在Rt△BCD中,CD=BC×cos∠BCD=6×=9，
则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE为矩形，∴GE=DF=10(米)，
∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，
Rt△BEG中,BG=GE×tan∠BEG=10×0.36=3.6(米)，
则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).
答：旗杆AB的高度为6.4米．
25. 如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有值？值是多少？
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2） （3）当t=2时，MN的长度l有值，值是4．
【详解】（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，OA=2，即=，
∴0B=4，∴A（0，2），B（4，0），
把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2，
设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得：，
解得：k=﹣，e=2，
所以直线AB的解析式是y=﹣x+2；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
由（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
即D的坐标为，则ED=，EO=，AE=EO﹣OA=，
S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB=×（+4）×﹣××﹣×4×2=；
（3）由题可知，M、N横坐标均为t．
∵M在直线AB：y=﹣x+2上，∴M（t，﹣t+2），
∵N在抛物线y=﹣x2+x+2上，∴M（t，﹣t2+t+2），
∵作垂直x轴的直线x=t，在象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，
∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，其中0＜t＜4，
∴当t=2时，MN=4，
所以当t=2时，MN长度l有值，值是4．
（1）经过解直角三角形求出点D的坐标，再用待定系数法求解；（2）经过配方求出顶点坐标，再利用面积公式求解；（3）二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
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