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2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题（4月5月）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题（4月5月）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共11小题；每小题3分,共33分）
1. 把二次函数y=+x﹣1化为y=a（x﹣h）2+k的方式是（ ）
A. y=（x+1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2+2 D. y=（x+2）2﹣2
2. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=，则圆锥底面圆的半径是( )
A. B. C. D.
3. 若A（-，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x-5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
4. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A 1 B. 3 C. 5 D. 7
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
6. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（ ）
A. （﹣1）小时 B. （+1）小时 C. 2小时 D. 小时
7. 小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说确的是（ ）
A. 此规则有利于小玲 B. 此规则有利于小丽 C. 此规则对两人是公平 D. 无法判断
8. 一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
9. 从1.5m高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为30°，测量仪距建筑物60m，则建筑物的高大约为（ ）
A. 34.65m B. 36.14m C. 28.28m D. 29.78m
10. 如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D.
11. 在一个不透明口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相反，小明多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率波动在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（ ）
A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 绿色
二、填 空 题（共9题；共27分）
12. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
13. 如图，在程度地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．
14. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
16. 弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB=________°．
17. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
18. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=__．
19. 如图是二次函数和函数的图象，当，的取值范围是________．
20. 如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
三、解 答 题（共5题；共40分）
21. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
22. 已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．
（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？
23. 如图①所示，将直尺摆放在三角板ABC上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，量得∠CGD=42°．
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示．点H，B在直尺上的读数分别为4，13．4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90）
24. 已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共11小题；每小题3分,共33分）
1. 把二次函数y=+x﹣1化为y=a（x﹣h）2+k的方式是（ ）
A. y=（x+1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2+2 D. y=（x+2）2﹣2
【正确答案】D
【详解】试题解析：y=x2+x-1=（x2+4x+4）-1-1=（x+2）2-2．
故选D．
2. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=，则圆锥底面圆的半径是( )
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图，连接AO，∠BAC=120°，
∵BC= ，∠OAC=60°，
∴OC=，
∴AC=4，
设圆锥的底面半径为r，则2πr==，
解得：r=，
故选A．
3. 若A（-，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
【正确答案】B
【详解】解：∵y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∴对称轴是x=-2，开口向上，
∴距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，
即y2＜y1＜y3．
故选B．
4. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【正确答案】B
【详解】两圆相交时，两半径之差<圆心距<两半径之和，故选B.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
【正确答案】B
【详解】试题分析：由勾股定理得AB=5，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π.故选B．
考点：1.圆锥的计算;2.勾股定理．
6. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（ ）
A. （﹣1）小时 B. （+1）小时 C. 2小时 D. 小时
【正确答案】B
【详解】试题解析：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD=MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（-1）MD=2：+1．
故轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（+1）小时．
故选B．
7. 小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说确的是（ ）
A. 此规则有利于小玲 B. 此规则有利于小丽 C. 此规则对两人是公平的 D. 无法判断
【正确答案】C
【详解】试题解析：抛掷两枚均匀正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的，
故选C．
8. 一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
【正确答案】B
【详解】试题解析：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，
∴2π=，
解得n=120．
故选B．
9. 从1.5m高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为30°，测量仪距建筑物60m，则建筑物的高大约为（ ）
A. 34.65m B. 36.14m C. 28.28m D. 29.78m
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，
∵∠ACB=30°，
∴AB=BC•tan30°=20m，
∴AD=AB+BD=（20+1.5）m≈36.14m，
故选B．
10. 如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：延伸CO交AB于点D，连接OA，OB．
∵△ABC为正三角形，
∴CA=CB，∵CO=CO，OA=OB，
∴△ACO≌△BCO，
∴∠ACO=∠BCO，∵CA=CB，
∴CD⊥AB，
∵AB=2，
∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，
∴OD=2，
∴OA=，
故选D．
11. 在一个不透明的口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相反，小明多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率波动在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（ ）
A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 绿色
【正确答案】C
【详解】试题解析：由于白球的概率为：；
由于黄球的概率为：＝0.2；
由于红球的概率为：＝0.3；
由于绿球的概率为：＝0.35．
故选C．
二、填 空 题（共9题；共27分）
12. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
【正确答案】
【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．
【详解】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，
∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，
则MN=cm，
故答案为．
此题本质考查了圆上弦的计算，需求先找出圆心角再根据弦长公式计算，纯熟掌握公式及性质是解本题的关键．
13. 如图，在程度地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．
【正确答案】8
【详解】以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）,
设抛物线解析式为y=ax2+k，
抛物线过点M和点B，
则k=5，a=﹣ ,
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；
∴当x=1时，y=；
当x=时，y= ,
∴P（1，），Q（， ）在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤m≤，
解得：7≤m≤12；
∵m为整数，
∴m的最小整数值为：8，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内,
故答案为8．
14. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．
【正确答案】15π．
【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²．
故15π．
本题考查圆锥的计算．
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
【正确答案】0＜m＜2
【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【详解】分段函数y=的图象如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2．
本题次要考查了二次函数和反比例函数的图象．数形的方法找到满足条件的m的范围即可.
16. 弦AB将⊙O分成度数之比为1：5两段弧，则∠AOB=________°．
【正确答案】60
【详解】试题解析：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，
∴∠AOB=×360°=60°，
故答案为60．
点睛：圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
17. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
【正确答案】80°
【详解】试题分析：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
18. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=__．
【正确答案】
【详解】解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC//OA，
∴B、P、E一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE==，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
19. 如图是二次函数和函数的图象，当，的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下地位关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【详解】从图像上看出，两个交点坐标分别为
∴当有时，有-2＜x＜1，
故答案为-2＜x＜1．
此题考查了先生从图像中读取信息的数形能力．处理此类识图题，同窗们要留意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
20. 如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
【正确答案】50°
【详解】试题解析：∵OA⊥BC，
∴；
由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．
三、解 答 题（共5题；共40分）
21. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【正确答案】5 cm．
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，构造直角三角形BOC，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则AC=BC=AB，
∵AB=8cm，OC=3cm
∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm
即⊙O的半径是5cm．
此题涉及圆中求半径的成绩，此类在圆中涉及弦长、半径、弦心距的计算的成绩，常把半弦长，半径，圆心到弦距离转换到同不断角三角形中，然后直角三角形中的勾股定理求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线或连接半径．
22. 已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．
（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？
【正确答案】（1）（m，﹣m2+2m）；（2）m为0或3时
【详解】试题分析：（1）根据顶点坐标公式直接计算即可；
（2）根据点C坐标，点C在直线y=-x上，即便横纵坐标互为相反数，计算即可得出答案．
试题解析：（1）由y=2x2-4mx+m2+2m
=2（x2-2mx）+m2+2m
=2（x-m）2-m2+2m，
得顶点C的坐标为（m，-m2+2m）；
（2）点C坐标（m，2m-m2），由题意知，
点C在直线y=-x上，
则-m=2m-m2，整理得m2-3m=0，
解得m=0或m=3；
所以当m为0或3时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上．
23. 如图①所示，将直尺摆放在三角板ABC上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，量得∠CGD=42°．
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示．点H，B在直尺上的读数分别为4，13．4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90）
【正确答案】（1）∠CEF=48°；
（2）BC的长为6．96m．
【详解】试题分析：（1）由DG//EF，可知要求∠CEF的度数，需求出∠CDG的度数，而在△CDG在，∠C=90°，∠CGD＝42°，从而得解．
（2）由已知可得∠ＣＢＨ＝42°，由三角函数即可得；
试题解析：（1）∵ ∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴ ∠CDG＝90°－ 42°＝48°，∵ DG∥EF， ∴∠CEF=∠CDG=48°；
（2）∵点H，B的读数分别为4，13．4，∴HB=13．4-4=9．4，∴BC=HBcos42°≈9．4×0．74≈6．96（m），答：BC的长为6．96m．
考点：1．直角三角形的性质；2．三角函数的运用．
24. 已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
【正确答案】（1）；（2）x>0
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．
（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数y随x的增大而增大．
试题解析：（1）把点（-2，-3）和点（1，6）代入y=ax2+b得
,
解得,
所以这个函数的关系式为y=-3x2+9；
（2）∵这个函数的关系式为y=-3x2+9；
∴对称轴x=0，
∵a=-3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
【正确答案】（1）①，D（0，4）；②36；（2）证明见解析，（0，1）．
【详解】试题分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标.
②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值.
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、类似三角形求解．
试题解析：解：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），
∴可设抛物线解析式为.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，﹣4），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为：，即.
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．
由勾股定理得：AC=，BC=．
∵AC2+BC2=AB2=100，
∴∠ACB=90°.∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．
②设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵B（8，0），D（0，4），∴，解得.∴直线BD解析式为：．
设M（x，），
如答图2，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，）．
∴ME=．
∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME.
∴S△BDM=
∴当x=2时，△BDM的面积有值为36.
（2）证明：如答图3，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB.∴.
设A（x1，0），B（x2，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=﹣c，x1x2=c.
∴.∴.
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．
考点：1.二次函数综合题；2.单动点成绩；3.待定系数法的运用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理和逆定理；6.二次函数的性质；7.圆周角定理和垂径定理；8.类似三角形的判定和性质；9.一元二次方程根与系数的关系．.
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
2. 如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （m2）3=m5 C. a2•a3=a5 D. （x+y）2=x2+y2
5. 下列命题中的假命题是（ ）
A 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
8. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则ta为（ ）
A. B. C. D.
9. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说确的是（ ）
A. b2﹣4ac＜0 B. abc＜0 C. D. a﹣b+c＜0
10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点中止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点中止运动．设P点运动工夫为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
11. 分解因式：=______．
12. 函数中自变量取值范围是______________
13. 分式方程的解是_____________ .
14. 如图，在中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形的面积之和（即暗影部分）为_____cm2（结果保留π）
15. 计算： = ．
16. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝_____．
17. 在临桂新区建设中，需求修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所形成的影响，实践工作效率比原计划进步了20%，结果提早8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程_____．
18. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
三、解 答 题：
19. 计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°+ ．
20. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值.
21. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B的路径的长．
22. 有三张卡片（外形、大小、颜色、质地都相反），正面分别写上整式x2+1，-x2-2，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式一切可能的结果；
（2）求代数式恰好是分式的概率．
23. 某校课外小组为了解同窗们对学校“阳光跑操”的喜欢程度，抽取部分先生进行调查．被调查的每个先生按（非常喜欢）、（比较喜欢）、（普通）、（不喜欢）四个等级对评价．图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图．经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不残缺．请你根据统计图提供的信息，解答下列成绩：
（1）此次调查先生人数为 ；
（2）条形统计图中存在错误的是 （填、、中的一个），并在图中加以改正；
（3）在图2中补画条形统计图中不残缺的部分；
（4）如果该校有600名先生，那么对此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生共有多少人？
24. 如图所示，某数学小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与函数解析式；
（2）求△CDE的面积．
26. 如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，依次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样数量关系？(直接写出答案，不需求阐明理由)
27. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的上一点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动工夫为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积？值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
【专项打破】甘肃省张掖市2021-2022学年中考数学模仿试卷（三模）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
【正确答案】D
【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵=3，
∴平方根是±．
故选：D．
此题考查了平方根，以及算术平方根，处理本题的关键是先求得的值.
2. 如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：根据主视图是从正面看到的图形，
可得它的主视图为：，
故选A．
3. 据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
【正确答案】D
【详解】试题分析：1亿是，原数=40570×=4.0570××=4.0570×，故选D.
考点：用科学记数法计数.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （m2）3=m5 C. a2•a3=a5 D. （x+y）2=x2+y2
【正确答案】C
【详解】A、=3，本选项错误；
B、（m2）3=m6，本选项错误；
C、a2•a3=a5，本选项正确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，本选项错误，
故选C
5. 下列命题中的假命题是（ ）
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
【正确答案】D
【分析】直接利用正方形的判定定理、菱形的判定定理以及矩形的判定定理求解即可求得答案．留意掌握排除法在选一选中的运用．
【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项正确；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项正确；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，该选项正确；
D、一组对边平行且相等且有一个角是直角的四边形是矩形，该选项错误．
故选D．
此题考查了正方形的判定、菱形的判定以及矩形的判定．此题难度不大，留意熟记定理是解此题的关键．
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，
由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，
∴数轴表示的正确方法为C．
故选：C．
考核知识点：解不等式组.
7. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
【正确答案】C
【分析】连接，即，又，故，所以；又由于为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选C．
本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
8. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则ta为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先设出点和点的坐标分别为：，、，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，然后根据，得到，然后利用正切的定义进行化简求值即可．
【详解】解：设点的坐标为，，点的坐标为，，
设线段所在直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，
则，，
，
整理得：，
．
本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出、两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．
9. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说确的是（ ）
A. b2﹣4ac＜0 B. abc＜0 C. D. a﹣b+c＜0
【正确答案】C
【详解】抛物线开口向下，所以，对称轴在-1的左侧，所以，抛物线与横轴有两个交点，阐明b2﹣4ac大于0，C正确，故选C
10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点中止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点中止运动．设P点运动工夫为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
可得y=•3x•x=；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
可得y=•x•3=；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
可得y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．
故选C．
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
11. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）．
【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
12. 函数中自变量取值范围是______________
【正确答案】x≤2且x≠1
【详解】解：根据题意得：
且x−1≠0，
解得：且
故答案为且
13. 分式方程的解是_____________ .
【正确答案】x=2
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故x=2．
考点：解分式方程．
14. 如图，在中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形的面积之和（即暗影部分）为_____cm2（结果保留π）
【正确答案】.
【分析】图中暗影部分的面积就是两个扇形的面积,圆A，B的半径为2cm，则根据扇形面积公式可得暗影面积．
【详解】（cm2）.
故答案为.
考点：1、扇形的面积公式；2、两圆相外切的性质.
15. 计算： = ．
【正确答案】a.
【详解】试题解析：原式
故答案为
16. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝_____．
【正确答案】35°．
【详解】试题解析：
故答案为
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
17. 在临桂新区建设中，需求修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所形成的影响，实践工作效率比原计划进步了20%，结果提早8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程_____．
【正确答案】.
【详解】试题解析：∵原计划用的工夫为：
实践用工夫为：
∴可列方程为：
故答案为
18. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
【正确答案】15.5
【详解】∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21-2；
AC==，AD==2，∴S△ACD==1=22-2
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n-2．∴S△AEF=24-2=4，S△AFG=25-2=8，
由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15.5．故答案为15.5．
三、解 答 题：
19. 计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°+ ．
【正确答案】5.
【详解】试题分析：首先计算乘方、开方，然后计算乘法，从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
试题分析：原式
20. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值.
【正确答案】2.
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解的定义得则再化简原式得到然后利用全体思想进行计算．
试题解析：把x=1代入得：
∴
∴原式
21. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B的路径的长．
【正确答案】（1）A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；（2） ．
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转90°后的对应点的地位，然后依次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
试题解析：（1）如图，
（2）由可得：
22. 有三张卡片（外形、大小、颜色、质地都相反），正面分别写上整式x2+1，-x2-2，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式一切可能的结果；
（2）求代数式恰好是分式的概率．
【正确答案】（1）见解析；（2）；
【详解】试题分析：（1）经过画树状图可知有6种情况；
（2）符合条件的有4种，从而可得概率．
试题解析：（1）画树状图：
（2）代数式一切可能的结果共有6种，其中代数式是分式的有4种：，，，， 所以P
考点：概率
23. 某校课外小组为了解同窗们对学校“阳光跑操”的喜欢程度，抽取部分先生进行调查．被调查的每个先生按（非常喜欢）、（比较喜欢）、（普通）、（不喜欢）四个等级对评价．图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图．经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不残缺．请你根据统计图提供的信息，解答下列成绩：
（1）此次调查的先生人数为 ；
（2）条形统计图中存在错误的是 （填、、中的一个），并在图中加以改正；
（3）在图2中补画条形统计图中不残缺的部分；
（4）如果该校有600名先生，那么对此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生共有多少人？
【正确答案】（1）200；（2）C （3）D的人数为30人；（4）360人.
【分析】（1）根据A、B的人数和所占的百分比求出抽取的先生人数，并判断出条形统计图A、B长方形是正确的；
（2）根据（1）的计算判断出C的条形高度错误，用调查的先生人数乘以C所占的百分比计算即可得解；
（3）求出D的人数，然后补全统计图即可；
（4）用总人数乘以A、B所占的百分比计算即可得解．
【详解】解：（1）∵40÷20%=200，
80÷40%=200，
∴此次调查的先生人数为200；
（2）由（1）可知C条形高度错误，
应为：200×（1﹣20%﹣40%﹣15%）=200×25%=50，
即C的条形高度改为50；
故答案为200；C；
（3）D的人数为：200×15%=30；
（4）600×60%=360（人）．
答：该校正此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生有360人．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
24. 如图所示，某数学小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【正确答案】13米.
【详解】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出成绩即可．
试题解析：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米．
【考点】解直角三角形的运用-仰角俯角成绩；解直角三角形的运用-坡度坡角成绩．
25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．
【正确答案】（1）y=﹣，y=﹣x+2；（2）12.
【详解】试题分析：分析题意，已知点在反比例函数的图象上，将点坐标代入反比例函数的解析式中即可得到的值，再由的长度求出点D的坐标；把两点的坐标代入函数即可求得函数的解析式.
过C作CH⊥轴于点H，根据 S△CDE=S△CAE+S△DAE,即可求出面积.
试题解析：（1）∵点在反比例图象上，
∴将代入反比例解析式得：即
∴反比例解析式为
∵点在反比例函数图象上，且即纵坐标为3，
将代入反比例解析式得：即
∴点坐标为
设直线解析式为，将与坐标代入得：
解得：
∴函数解析式为
（2）过C作CH⊥轴于点H，
对于函数令求得，故
由坐标得到
∴S△CDE=S△CAE+S△DAE
26. 如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，依次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需求阐明理由)
【正确答案】（1）见详解；（2）点O的地位满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．理由见详解
【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；
（2）根据三角形的中位线定理菱形的判定方法分析即可.
【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE＝BC．
同理，GF∥BC，GF＝BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）点O的地位满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．
连接AO，
由（1）得四边形DEFG是平行四边形，
∵点D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，
∴，，
当AO＝BC时，GF=DF，
∴四边形DGFE是菱形．
本题次要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，平行四边形的判定和性质是初中数学的，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，普通难度不大，需纯熟掌握.
27. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的上一点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）证明见解析（2）30°（3）
【详解】试题分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形类似，△ADE∽△CGE，利用类似三角形对应角相等得到sin∠ECG=sinA=，在Rt△ECG中，利用勾股定理求出CG的长，根据三角形类似得到比例式，代入数据即可得到结果．
试题解析：（1）连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=∠AOF=30°；
（3）如图2，过点C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG=BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sinA=，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵CG==12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴，
∴AD=，CG=，
∴⊙O的半径OA=2AD=．
考点：1、切线的判定；2、类似三角形的判定与性质
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动工夫为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积？值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
【正确答案】（1）A（1，4）；y=﹣x2+2x+3；（2）t=2时，S△ACG的值为1；（3）或．
【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=、点A到GE的距离为，C到GE的距离为；根据三角形的面积公式可以求得，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的值为1；
（3）由于菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．分CE是边和对角线两种情况讨论即可．
详解】解：（1）A（1，4）．
由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（1，4），C（3，0），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵点P（1，4﹣t），
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为．
∴点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为．
∴GE=（）﹣（4﹣t）=．
又点A到GE的距离为，C到GE的距离为，
∴．
∴当t=2时，S△ACG的值为1．
（3）由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），设H（）．
当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即
，
解得，或t=4（舍去，此时C，E重合）．
当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即
，
∴
解得，或（舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）．
综上所述，当或时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共11小题；每小题3分,共33分）
1. 把二次函数y=+x﹣1化为y=a（x﹣h）2+k的方式是（ ）
A. y=（x+1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2+2 D. y=（x+2）2﹣2
2. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=，则圆锥底面圆的半径是( )
A. B. C. D.
3. 若A（-，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x-5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
4. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A 1 B. 3 C. 5 D. 7
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
6. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（ ）
A. （﹣1）小时 B. （+1）小时 C. 2小时 D. 小时
7. 小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说确的是（ ）
A. 此规则有利于小玲 B. 此规则有利于小丽 C. 此规则对两人是公平 D. 无法判断
8. 一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
9. 从1.5m高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为30°，测量仪距建筑物60m，则建筑物的高大约为（ ）
A. 34.65m B. 36.14m C. 28.28m D. 29.78m
10. 如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D.
11. 在一个不透明口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相反，小明多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率波动在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（ ）
A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 绿色
二、填 空 题（共9题；共27分）
12. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
13. 如图，在程度地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．
14. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
16. 弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB=________°．
17. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
18. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=__．
19. 如图是二次函数和函数的图象，当，的取值范围是________．
20. 如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
三、解 答 题（共5题；共40分）
21. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
22. 已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．
（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？
23. 如图①所示，将直尺摆放在三角板ABC上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，量得∠CGD=42°．
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示．点H，B在直尺上的读数分别为4，13．4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90）
24. 已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共11小题；每小题3分,共33分）
1. 把二次函数y=+x﹣1化为y=a（x﹣h）2+k的方式是（ ）
A. y=（x+1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2+2 D. y=（x+2）2﹣2
【正确答案】D
【详解】试题解析：y=x2+x-1=（x2+4x+4）-1-1=（x+2）2-2．
故选D．
2. 如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=，则圆锥底面圆的半径是( )
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：如图，连接AO，∠BAC=120°，
∵BC= ，∠OAC=60°，
∴OC=，
∴AC=4，
设圆锥的底面半径为r，则2πr==，
解得：r=，
故选A．
3. 若A（-，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
【正确答案】B
【详解】解：∵y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∴对称轴是x=-2，开口向上，
∴距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，
即y2＜y1＜y3．
故选B．
4. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【正确答案】B
【详解】两圆相交时，两半径之差<圆心距<两半径之和，故选B.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
【正确答案】B
【详解】试题分析：由勾股定理得AB=5，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π.故选B．
考点：1.圆锥的计算;2.勾股定理．
6. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（ ）
A. （﹣1）小时 B. （+1）小时 C. 2小时 D. 小时
【正确答案】B
【详解】试题解析：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD=MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（-1）MD=2：+1．
故轮船灯塔M的镭射信号区的工夫为（+1）小时．
故选B．
7. 小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说确的是（ ）
A. 此规则有利于小玲 B. 此规则有利于小丽 C. 此规则对两人是公平的 D. 无法判断
【正确答案】C
【详解】试题解析：抛掷两枚均匀正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的，
故选C．
8. 一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
【正确答案】B
【详解】试题解析：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，
∴2π=，
解得n=120．
故选B．
9. 从1.5m高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为30°，测量仪距建筑物60m，则建筑物的高大约为（ ）
A. 34.65m B. 36.14m C. 28.28m D. 29.78m
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，
∵∠ACB=30°，
∴AB=BC•tan30°=20m，
∴AD=AB+BD=（20+1.5）m≈36.14m，
故选B．
10. 如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2， OC=1，则圆O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：延伸CO交AB于点D，连接OA，OB．
∵△ABC为正三角形，
∴CA=CB，∵CO=CO，OA=OB，
∴△ACO≌△BCO，
∴∠ACO=∠BCO，∵CA=CB，
∴CD⊥AB，
∵AB=2，
∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，
∴OD=2，
∴OA=，
故选D．
11. 在一个不透明的口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相反，小明多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率波动在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（ ）
A. 白色 B. 黄色 C. 红色 D. 绿色
【正确答案】C
【详解】试题解析：由于白球的概率为：；
由于黄球的概率为：＝0.2；
由于红球的概率为：＝0.3；
由于绿球的概率为：＝0.35．
故选C．
二、填 空 题（共9题；共27分）
12. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是____________cm．
【正确答案】
【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．
【详解】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，
∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，
则MN=cm，
故答案为．
此题本质考查了圆上弦的计算，需求先找出圆心角再根据弦长公式计算，纯熟掌握公式及性质是解本题的关键．
13. 如图，在程度地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．
【正确答案】8
【详解】以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）,
设抛物线解析式为y=ax2+k，
抛物线过点M和点B，
则k=5，a=﹣ ,
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；
∴当x=1时，y=；
当x=时，y= ,
∴P（1，），Q（， ）在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤m≤，
解得：7≤m≤12；
∵m为整数，
∴m的最小整数值为：8，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内,
故答案为8．
14. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．
【正确答案】15π．
【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²．
故15π．
本题考查圆锥的计算．
15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
【正确答案】0＜m＜2
【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【详解】分段函数y=的图象如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2．
本题次要考查了二次函数和反比例函数的图象．数形的方法找到满足条件的m的范围即可.
16. 弦AB将⊙O分成度数之比为1：5两段弧，则∠AOB=________°．
【正确答案】60
【详解】试题解析：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，
∴∠AOB=×360°=60°，
故答案为60．
点睛：圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
17. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
【正确答案】80°
【详解】试题分析：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
18. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=__．
【正确答案】
【详解】解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC//OA，
∴B、P、E一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE==，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
19. 如图是二次函数和函数的图象，当，的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下地位关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【详解】从图像上看出，两个交点坐标分别为
∴当有时，有-2＜x＜1，
故答案为-2＜x＜1．
此题考查了先生从图像中读取信息的数形能力．处理此类识图题，同窗们要留意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
20. 如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
【正确答案】50°
【详解】试题解析：∵OA⊥BC，
∴；
由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．
三、解 答 题（共5题；共40分）
21. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【正确答案】5 cm．
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，构造直角三角形BOC，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则AC=BC=AB，
∵AB=8cm，OC=3cm
∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm
即⊙O的半径是5cm．
此题涉及圆中求半径的成绩，此类在圆中涉及弦长、半径、弦心距的计算的成绩，常把半弦长，半径，圆心到弦距离转换到同不断角三角形中，然后直角三角形中的勾股定理求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线或连接半径．
22. 已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．
（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？
【正确答案】（1）（m，﹣m2+2m）；（2）m为0或3时
【详解】试题分析：（1）根据顶点坐标公式直接计算即可；
（2）根据点C坐标，点C在直线y=-x上，即便横纵坐标互为相反数，计算即可得出答案．
试题解析：（1）由y=2x2-4mx+m2+2m
=2（x2-2mx）+m2+2m
=2（x-m）2-m2+2m，
得顶点C的坐标为（m，-m2+2m）；
（2）点C坐标（m，2m-m2），由题意知，
点C在直线y=-x上，
则-m=2m-m2，整理得m2-3m=0，
解得m=0或m=3；
所以当m为0或3时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上．
23. 如图①所示，将直尺摆放在三角板ABC上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，量得∠CGD=42°．
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示．点H，B在直尺上的读数分别为4，13．4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90）
【正确答案】（1）∠CEF=48°；
（2）BC的长为6．96m．
【详解】试题分析：（1）由DG//EF，可知要求∠CEF的度数，需求出∠CDG的度数，而在△CDG在，∠C=90°，∠CGD＝42°，从而得解．
（2）由已知可得∠ＣＢＨ＝42°，由三角函数即可得；
试题解析：（1）∵ ∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴ ∠CDG＝90°－ 42°＝48°，∵ DG∥EF， ∴∠CEF=∠CDG=48°；
（2）∵点H，B的读数分别为4，13．4，∴HB=13．4-4=9．4，∴BC=HBcos42°≈9．4×0．74≈6．96（m），答：BC的长为6．96m．
考点：1．直角三角形的性质；2．三角函数的运用．
24. 已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
【正确答案】（1）；（2）x>0
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．
（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数y随x的增大而增大．
试题解析：（1）把点（-2，-3）和点（1，6）代入y=ax2+b得
,
解得,
所以这个函数的关系式为y=-3x2+9；
（2）∵这个函数的关系式为y=-3x2+9；
∴对称轴x=0，
∵a=-3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
【正确答案】（1）①，D（0，4）；②36；（2）证明见解析，（0，1）．
【详解】试题分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标.
②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值.
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、类似三角形求解．
试题解析：解：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），
∴可设抛物线解析式为.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，﹣4），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为：，即.
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．
由勾股定理得：AC=，BC=．
∵AC2+BC2=AB2=100，
∴∠ACB=90°.∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．
②设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵B（8，0），D（0，4），∴，解得.∴直线BD解析式为：．
设M（x，），
如答图2，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，）．
∴ME=．
∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME.
∴S△BDM=
∴当x=2时，△BDM的面积有值为36.
（2）证明：如答图3，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB.∴.
设A（x1，0），B（x2，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=﹣c，x1x2=c.
∴.∴.
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．
考点：1.二次函数综合题；2.单动点成绩；3.待定系数法的运用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理和逆定理；6.二次函数的性质；7.圆周角定理和垂径定理；8.类似三角形的判定和性质；9.一元二次方程根与系数的关系．.
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
2. 如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （m2）3=m5 C. a2•a3=a5 D. （x+y）2=x2+y2
5. 下列命题中的假命题是（ ）
A 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
8. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则ta为（ ）
A. B. C. D.
9. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说确的是（ ）
A. b2﹣4ac＜0 B. abc＜0 C. D. a﹣b+c＜0
10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点中止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点中止运动．设P点运动工夫为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
11. 分解因式：=______．
12. 函数中自变量取值范围是______________
13. 分式方程的解是_____________ .
14. 如图，在中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形的面积之和（即暗影部分）为_____cm2（结果保留π）
15. 计算： = ．
16. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝_____．
17. 在临桂新区建设中，需求修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所形成的影响，实践工作效率比原计划进步了20%，结果提早8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程_____．
18. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
三、解 答 题：
19. 计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°+ ．
20. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值.
21. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B的路径的长．
22. 有三张卡片（外形、大小、颜色、质地都相反），正面分别写上整式x2+1，-x2-2，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式一切可能的结果；
（2）求代数式恰好是分式的概率．
23. 某校课外小组为了解同窗们对学校“阳光跑操”的喜欢程度，抽取部分先生进行调查．被调查的每个先生按（非常喜欢）、（比较喜欢）、（普通）、（不喜欢）四个等级对评价．图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图．经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不残缺．请你根据统计图提供的信息，解答下列成绩：
（1）此次调查先生人数为 ；
（2）条形统计图中存在错误的是 （填、、中的一个），并在图中加以改正；
（3）在图2中补画条形统计图中不残缺的部分；
（4）如果该校有600名先生，那么对此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生共有多少人？
24. 如图所示，某数学小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与函数解析式；
（2）求△CDE的面积．
26. 如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，依次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样数量关系？(直接写出答案，不需求阐明理由)
27. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的上一点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动工夫为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积？值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
【专项打破】甘肃省张掖市2021-2022学年中考数学模仿试卷（三模）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
【正确答案】D
【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵=3，
∴平方根是±．
故选：D．
此题考查了平方根，以及算术平方根，处理本题的关键是先求得的值.
2. 如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：根据主视图是从正面看到的图形，
可得它的主视图为：，
故选A．
3. 据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
【正确答案】D
【详解】试题分析：1亿是，原数=40570×=4.0570××=4.0570×，故选D.
考点：用科学记数法计数.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （m2）3=m5 C. a2•a3=a5 D. （x+y）2=x2+y2
【正确答案】C
【详解】A、=3，本选项错误；
B、（m2）3=m6，本选项错误；
C、a2•a3=a5，本选项正确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，本选项错误，
故选C
5. 下列命题中的假命题是（ ）
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
【正确答案】D
【分析】直接利用正方形的判定定理、菱形的判定定理以及矩形的判定定理求解即可求得答案．留意掌握排除法在选一选中的运用．
【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项正确；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项正确；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，该选项正确；
D、一组对边平行且相等且有一个角是直角的四边形是矩形，该选项错误．
故选D．
此题考查了正方形的判定、菱形的判定以及矩形的判定．此题难度不大，留意熟记定理是解此题的关键．
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，
由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，
∴数轴表示的正确方法为C．
故选：C．
考核知识点：解不等式组.
7. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
【正确答案】C
【分析】连接，即，又，故，所以；又由于为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选C．
本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
8. 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则ta为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先设出点和点的坐标分别为：，、，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，然后根据，得到，然后利用正切的定义进行化简求值即可．
【详解】解：设点的坐标为，，点的坐标为，，
设线段所在直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，
则，，
，
整理得：，
．
本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出、两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．
9. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说确的是（ ）
A. b2﹣4ac＜0 B. abc＜0 C. D. a﹣b+c＜0
【正确答案】C
【详解】抛物线开口向下，所以，对称轴在-1的左侧，所以，抛物线与横轴有两个交点，阐明b2﹣4ac大于0，C正确，故选C
10. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点中止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点中止运动．设P点运动工夫为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
可得y=•3x•x=；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
可得y=•x•3=；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
可得y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．
故选C．
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
11. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）．
【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
12. 函数中自变量取值范围是______________
【正确答案】x≤2且x≠1
【详解】解：根据题意得：
且x−1≠0，
解得：且
故答案为且
13. 分式方程的解是_____________ .
【正确答案】x=2
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故x=2．
考点：解分式方程．
14. 如图，在中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形的面积之和（即暗影部分）为_____cm2（结果保留π）
【正确答案】.
【分析】图中暗影部分的面积就是两个扇形的面积,圆A，B的半径为2cm，则根据扇形面积公式可得暗影面积．
【详解】（cm2）.
故答案为.
考点：1、扇形的面积公式；2、两圆相外切的性质.
15. 计算： = ．
【正确答案】a.
【详解】试题解析：原式
故答案为
16. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝_____．
【正确答案】35°．
【详解】试题解析：
故答案为
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
17. 在临桂新区建设中，需求修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所形成的影响，实践工作效率比原计划进步了20%，结果提早8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程_____．
【正确答案】.
【详解】试题解析：∵原计划用的工夫为：
实践用工夫为：
∴可列方程为：
故答案为
18. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
【正确答案】15.5
【详解】∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21-2；
AC==，AD==2，∴S△ACD==1=22-2
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n-2．∴S△AEF=24-2=4，S△AFG=25-2=8，
由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15.5．故答案为15.5．
三、解 答 题：
19. 计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°+ ．
【正确答案】5.
【详解】试题分析：首先计算乘方、开方，然后计算乘法，从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
试题分析：原式
20. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值.
【正确答案】2.
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解的定义得则再化简原式得到然后利用全体思想进行计算．
试题解析：把x=1代入得：
∴
∴原式
21. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B的路径的长．
【正确答案】（1）A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；（2） ．
【详解】试题分析：（1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转90°后的对应点的地位，然后依次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
试题解析：（1）如图，
（2）由可得：
22. 有三张卡片（外形、大小、颜色、质地都相反），正面分别写上整式x2+1，-x2-2，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式一切可能的结果；
（2）求代数式恰好是分式的概率．
【正确答案】（1）见解析；（2）；
【详解】试题分析：（1）经过画树状图可知有6种情况；
（2）符合条件的有4种，从而可得概率．
试题解析：（1）画树状图：
（2）代数式一切可能的结果共有6种，其中代数式是分式的有4种：，，，， 所以P
考点：概率
23. 某校课外小组为了解同窗们对学校“阳光跑操”的喜欢程度，抽取部分先生进行调查．被调查的每个先生按（非常喜欢）、（比较喜欢）、（普通）、（不喜欢）四个等级对评价．图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图．经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不残缺．请你根据统计图提供的信息，解答下列成绩：
（1）此次调查的先生人数为 ；
（2）条形统计图中存在错误的是 （填、、中的一个），并在图中加以改正；
（3）在图2中补画条形统计图中不残缺的部分；
（4）如果该校有600名先生，那么对此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生共有多少人？
【正确答案】（1）200；（2）C （3）D的人数为30人；（4）360人.
【分析】（1）根据A、B的人数和所占的百分比求出抽取的先生人数，并判断出条形统计图A、B长方形是正确的；
（2）根据（1）的计算判断出C的条形高度错误，用调查的先生人数乘以C所占的百分比计算即可得解；
（3）求出D的人数，然后补全统计图即可；
（4）用总人数乘以A、B所占的百分比计算即可得解．
【详解】解：（1）∵40÷20%=200，
80÷40%=200，
∴此次调查的先生人数为200；
（2）由（1）可知C条形高度错误，
应为：200×（1﹣20%﹣40%﹣15%）=200×25%=50，
即C的条形高度改为50；
故答案为200；C；
（3）D的人数为：200×15%=30；
（4）600×60%=360（人）．
答：该校正此“非常喜欢”和“比较喜欢”的先生有360人．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
24. 如图所示，某数学小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【正确答案】13米.
【详解】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出成绩即可．
试题解析：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米．
【考点】解直角三角形的运用-仰角俯角成绩；解直角三角形的运用-坡度坡角成绩．
25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．
【正确答案】（1）y=﹣，y=﹣x+2；（2）12.
【详解】试题分析：分析题意，已知点在反比例函数的图象上，将点坐标代入反比例函数的解析式中即可得到的值，再由的长度求出点D的坐标；把两点的坐标代入函数即可求得函数的解析式.
过C作CH⊥轴于点H，根据 S△CDE=S△CAE+S△DAE,即可求出面积.
试题解析：（1）∵点在反比例图象上，
∴将代入反比例解析式得：即
∴反比例解析式为
∵点在反比例函数图象上，且即纵坐标为3，
将代入反比例解析式得：即
∴点坐标为
设直线解析式为，将与坐标代入得：
解得：
∴函数解析式为
（2）过C作CH⊥轴于点H，
对于函数令求得，故
由坐标得到
∴S△CDE=S△CAE+S△DAE
26. 如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，依次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需求阐明理由)
【正确答案】（1）见详解；（2）点O的地位满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．理由见详解
【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；
（2）根据三角形的中位线定理菱形的判定方法分析即可.
【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE＝BC．
同理，GF∥BC，GF＝BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）点O的地位满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．
连接AO，
由（1）得四边形DEFG是平行四边形，
∵点D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，
∴，，
当AO＝BC时，GF=DF，
∴四边形DGFE是菱形．
本题次要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，平行四边形的判定和性质是初中数学的，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，普通难度不大，需纯熟掌握.
27. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的上一点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）证明见解析（2）30°（3）
【详解】试题分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形类似，△ADE∽△CGE，利用类似三角形对应角相等得到sin∠ECG=sinA=，在Rt△ECG中，利用勾股定理求出CG的长，根据三角形类似得到比例式，代入数据即可得到结果．
试题解析：（1）连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=∠AOF=30°；
（3）如图2，过点C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG=BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sinA=，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵CG==12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴，
∴AD=，CG=，
∴⊙O的半径OA=2AD=．
考点：1、切线的判定；2、类似三角形的判定与性质
28. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动工夫为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积？值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
【正确答案】（1）A（1，4）；y=﹣x2+2x+3；（2）t=2时，S△ACG的值为1；（3）或．
【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=、点A到GE的距离为，C到GE的距离为；根据三角形的面积公式可以求得，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的值为1；
（3）由于菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．分CE是边和对角线两种情况讨论即可．
详解】解：（1）A（1，4）．
由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（1，4），C（3，0），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵点P（1，4﹣t），
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为．
∴点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为．
∴GE=（）﹣（4﹣t）=．
又点A到GE的距离为，C到GE的距离为，
∴．
∴当t=2时，S△ACG的值为1．
（3）由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），设H（）．
当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即
，
解得，或t=4（舍去，此时C，E重合）．
当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即
，
∴
解得，或（舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）．
综上所述，当或时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形．
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