2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试题及答案

这是一份2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数为无理数的是（　　）A． B．0.8 C．﹣6 D．2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（　　）A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab33．计算的结果是（　　）A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a4．如图立体图形中，三视图都相同的是（　　）A． B． C． D．5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（　　）A．5 B．4 C．3 D．26．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（　　）A．86 B．95 C．77 D．947．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　）A．38° B．76° C．80° D．60°8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）A．米 B．200tan50°米 C．200sin50°米 D．米9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）A． B． C． D．10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　）A．汽车共行驶了120千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时 C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．如果|x|＝2023，那么x＝　   　．12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 　   　．13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 　   　．14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 　   　．15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 　   　．16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 　   　万人观看了春晚．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 　   　；A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有 　   　名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 　   　度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2）　   　；②（） 　   　；③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3）　   　．（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．
 参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数为无理数的是（　　）A． B．0.8 C．﹣6 D．【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答．解：A．分数为有理数，A不符合题意；B．有限小数是有理数，B不符合题意；C．整数是有理数，C不符合题意；D．是无理数，D符合题意．故选：D．【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（　　）A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，即可确定答案．解：根据同类项的定义可知，﹣2a2b3的同类项是2a2b3，故选：B．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．3．计算的结果是（　　）A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．解：＝＝﹣＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．4．如图立体图形中，三视图都相同的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；B、三棱柱的主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△DEF，DE＝5，∴AB＝DE＝5，∵AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（　　）A．86 B．95 C．77 D．94【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个的平均数即可．解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，∴这组数据的中位数是是（93+95）÷2＝94，故选：D．【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　）A．38° B．76° C．80° D．60°【分析】根据圆周角定理求解即可．解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，∴∠AOB＝76°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）A．米 B．200tan50°米 C．200sin50°米 D．米【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，∴∠PTQ＝50°，∴tan50°＝，∴PT＝＝，即河宽米，故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的增减性可得a＜0，进一步可知y＝ax﹣4的图象经过的象限，即可判断．解：∵一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，∴a＜0，∵b＝﹣4＜0，∴y＝ax﹣4经过第二、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　）A．汽车共行驶了120千米 B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时 C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．解：∵汽车共行驶了：120×2＝240（千米），∴选项A不符合题意； ∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，∴选项B不符合题意； ∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120÷3＝40（千米/时），∴选项C符合题意； ∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．如果|x|＝2023，那么x＝　±2023　．【分析】根据绝对值的定义解答即可．解：∵|x|＝2023，∴x＝±2023，故答案为：±2023．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 　8　．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入原式计算即可求出值．解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，∴a+b＝5，ab＝﹣3，则a﹣ab+b＝（a+b）﹣ab＝5﹣（﹣3）＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 　　．【分析】直接由概率公式求解即可．解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 　（﹣，﹣2）　．【分析】根据位似变换的性质解答即可．解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B′的坐标为（2，6），∴点B的坐标为（2÷（﹣3），6÷（﹣3）），∴点B'的坐标为（﹣，﹣2），故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 　300πcm2　．【分析】根据扇形面积公式计算即可．解：∵＝300π（cm2），∴该扇形纸扇的面积为300πcm2，故答案为：300πcm2．【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 　615　万人观看了春晚．【分析】首先计算出调查的人中观看了今年的春晚的人所占百分比，可推算出长沙市观看了今年的春晚的人数所占百分比，再用长沙市人数×百分比即可．解：1025×（×100%）＝615（万）．故答案为：615．【点评】此题主要考查了用样本估计总体，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝3×﹣2﹣（﹣1）+1＝﹣2﹣+1+1＝0．【点评】本题主要考查了实数运算，掌握实数的运算法则是关键．18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．解：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）＝a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2+2ab＝4ab，当a＝2，b＝﹣时，原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 　D　；A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线．（2）由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠EBF＝30°，则∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，可得BC＝＝4，在Rt△BCE中，可得CE＝BC•tan30°＝．解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线.故答案为：D．（2）设MN与AB 交于点F，∵∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴∠CBA＝60°，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∴∠A＝∠EBF＝30°，∴∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝＝4，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴CE＝BC•tan30°＝＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有 　120　名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 　75　度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360°乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；（2）补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），则选修“厨艺”的人数为120×15%＝18（名），则选修“手工”的人数为120﹣30﹣20﹣18﹣27＝25（名），则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝75°，故答案为：120，75；（2）补全条形统计图如下：（3）把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为＝．【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．【分析】（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE＝90°，则可得出结论；（2）连接OC，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCE＝∠ADC，∴∠OCE＝90°，∵OC是半径，∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图1，连接OC，∵AD∥OC，∴△COE∽△DAE，∴，∴，∴AD＝．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据题意得：，解得：．答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元；（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，解得：m≤60，∴m的最大值为60．答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形；（2）解：∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，∴AB•AC＝40，∵∠BAC＝90°，tan∠ABC＝＝2，设BC＝m，则AC＝2m，∴×m×2m＝40，∴m＝2（负根已经舍去），∴AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝＝10，∴BD＝BC＝5，∴菱形ADBF的周长为20．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2）　√　；②（） 　×　；③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3）　×　．（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．【分析】（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；②、③同理可解；（2）a＞0时，求出两个函数k的最小值，即可求解；（3）当t＜2时，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，即可求解；当2≤t≤3时、当t＞3时，同理可解．解：（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；②当x＝﹣3时，y＝﹣＝1，当x＝﹣时，则y＝﹣＝5，则kmin＝5﹣1＝4≠6，故错误；③当x＝3时，y＝（x﹣1）2+2＝6，当x＝2时，y＝（x﹣1）2+2＝3，则kmin＝6﹣3＝6≠6，故错误；故答案为：√，×，×； （2）∵t，故t﹣＞0，a＞0时，当x＝t+时，y＝ax+b＝a（t+）+b，当x＝t﹣时，y＝ax+b＝a（t﹣）+b，当x＝t﹣时，y＝﹣，当x＝t+时，y＝﹣，即a（t+）+b﹣a（t﹣）﹣b＝﹣+，解得：t＝；当a＜0时，列出的函数关系式和t的值和a＞0得情况完全相同，故t＝； （3）当x＝t时，y＝﹣x2+4x+t＝﹣t2+4t+t＝﹣t2+5t，同理可得：当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝2时，y＝t+4；①当t＜2时，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，解得：t＝；②当2≤t≤3时，当t≥时，当x＝2时，y＝t+4，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则t+4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝0，解得：t＝3；当t＜时，同理可得：t+4﹣（﹣t2+5t）＝0，解得：t＝4或1（均舍去）；③当t＞3时，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝﹣t，解得：t＝5；综上，t＝或3或5．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义，是本题解题的关键．25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．【分析】（1）①令y＝0，可得ax（x+3）＝0，则A点坐标可求出；②连接PC，连接BP延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠CDE，则CE＝DE；（2）①由y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+可得A（﹣3，0），B（﹣，），则OA＝3，AB＝OB＝＝3，△OAB是等边三角形，证明△BAC∽△EBA，根据相似三角形的性质可得结论；②设OE＝m，点D的坐标为（t，0），由∠CAE＝∠OBE可得∠CBO＝∠OBE，由角平分线的性质得，则m＝，即可求解．【解答】（1）①解：令y＝ax2+3ax＝0，∴ax（x+3）＝0，解得x＝0或﹣3，∴A（﹣3，0）；②证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE；（2）①证明：如图，∵a＝﹣，∴y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+，令y＝0，可得﹣x（x+3）＝0，∴x＝0或﹣3，∴A（﹣3，0），B（﹣，），∴OA＝3，AB＝OB＝＝3，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠BAE＝60°，∵∠CAE＝∠OBE，∠BAO＝∠ABO＝60°，∴∠BAO+∠CAE＝∠AEBA，BO+∠OBE＝60°，∴∠BAC＝∠EBA，∴△BAC∽△EBA，∴，∴AB2＝AC•BE；②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得：，∵BD＝＝，BE＝＝，，∴＝，∴m＝或t（舍去），∴−＝＝，∴−＝−−＝．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．