2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学三模试卷（含答案）

这是一份2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学三模试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 以下各数中，最大的数是( )
A. πB. |-3|C. 0D. (-2)2
2. 截止2022年11月3日10时，湖南省公务员考试报名人数共计63970人，将63970用科学记数法表示为( )
A. 0.63970×105B. 63.970×103C. 6.3970×104D. 6.3970×105
3. 下列计算正确的是( )
A. (2a4)3=6a12B. 5a-4a=1
C. (a-b)2=a2-b2D. (m+3)(m-3)=m2-9
4. “我爱中国”四个汉字里有一个是轴对称图形.下列字母中既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是( )
A. WB. AC. ZD. G
5. 不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是( )
A. 3，4，4B. 4，3，4C. 3，3，4D. 4，4，3
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(aA. 1B. 2C. 3D. 4
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD=BD，则∠ADB的度数是( )
A. 36°
B. 54°
C. 72°
D. 108°
9. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为( )
A. csθ(1+csθ)
B. csθ(1+sinθ)
C. sinθ(1+sinθ)
D. sinθ(1+csθ)
10. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积( )
A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：a2x2-a2y2= ．
12. 代数式x+2x-2有意义，则x的取值范围是 ．
13. 已知一个角的补角比它的余角的两倍多10°，则这个角的度数是 ．
14. 盒子中有3白1黑1黄五个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为白球的概率为 ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若EF=4，则CD的长为______．
16. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD.若AD=6，则CD的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：5×(-3)+|-8|-(17)0+(-1)2023．
18. (本小题6.0分)
解不等式组5x-2>3(x-1)x-12≤7-x，并把解集在数轴上表示出来．
19. (本小题6.0分)
2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射.天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD=10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”.已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离(结果精确到0.1米).(参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33)
20. (本小题8.0分)
进入11月以来，我市疫情形势严峻，全市人民齐心协力做好疫情防控工作．
(1)某社区需要从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中随机抽取2名负责该社区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是 ；
(2)某医院准备从A、B、C三位医生和D、E两名护士中选取一位医生和一名护士指导该社区预防疫情工作，用树状图(或列表法)求恰好选中医生A和护士D的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABF中，∠F=30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD=2DE，连接CB．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若DE=3，求菱形ABCD的面积．
22. (本小题9.0分)
阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
23. (本小题9.0分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．
24. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y').给出如下定义：如果y'=y(x≥0)-y(x<0)，那么称点Q为点P的“沉毅点”.例如点(1,2)的“沉毅点”为点(1,2)，点(-1,2)的“沉毅点”为点(-1,-2)．
(1)若直线y=x+3上点M的“沉毅点”是N(n,4)，求点M的坐标；
(2)若双曲线y=kx(x<0)上点P的“沉毅点”为点Q，且S△POQ=4，求k的值；
(3)若点P在函数y=-x2+4(-2≤x≤a)上，其“沉毅点”Q的纵坐标y'的取值范围是-425. (本小题10.0分)
如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，BC=AC，ED=FD，点D在AB上．

(1)如图1，点D为AB中点，连接BF，CE交于点M，CE交AB于点N．
①求证：点M在△DEF的外接圆上；
②若BC=7，DE=9，ME=10，求sin∠ABF的值；
(2)如图2，若点D与点A重合，且AC=32，DE=4，将△DEF绕点D旋转，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+23BG的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|-3|=3，(-2)2=4，
所以(-2)2>π>|-3|>0，
所以最大的数是(-2)2．
故选：D．
利用绝对值的性质和有理数的乘方分别对B、D两个选项的数进行化简即可得出四个数的大小排序，从而可得出本题的答案．
此题主要考查了有理数的乘方以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：63970=6.3970×104，
故选：C．
科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式=8a12，故A不符合题意．
B、原式=a，故B不符合题意．
C、原式=a2-2ab+b2，故C不符合题意．
D、原式=m2-9，故D符合题意．
故选：D．
根据积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：A、字母“W”是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、字母“A”是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、字母“Z”不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、字母“G”既不是中心对称图形，又不是轴对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念作出判断．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示解集有关知识，求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
【解答】
解：不等式移项得：3x>6，
解得：x>2，
表示在数轴上得：
．
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：∵这7个数据中出现次数最多的数据是3，
∴这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排为：
3，3，3，4，4，5，6，
位于中间的数据为4，
∴这组数据的中位数为4，
(3+3+3+4+4+5+6)/7=4，
∴这组数据的平均数为4．
故选：A．
这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3，中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的数据是4．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：①由函数图象可知，直线y=mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确；
②由函数图象可知，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a③由函数图象可知，直线y=mx+n与x轴的交点坐标为(2,0)，所以方程mx+n=0的解为x=2，故③正确；
④由函数图象可知，直线y=ax+b过点(0,-2)，所以当x=0时，ax+b=-2，故④错误；
故选：C．
①根据一次函数的函数的增减进行判断便可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；
③根据一次函数图象与x的交点坐标进行判断便可；
④根据一次函数图象与y轴交点坐标进行判断便可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A=∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°，
解得∠A=36°．
∴∠ADB=180°-2∠A=180°-72°=108°．
故选：D．
由题意可得BP为∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD，由AD=BD，可得∠A=∠ABD，即可得∠ABC=2∠A，由AB=AC，可得∠ABC=∠C，再结合三角形内角和定理可列出关于∠A的方程，进而可得出答案．
本题考查作图-基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ=BDOB=BD1，csθ=ODOB=OD1
∴BD=sinθ，OD=csθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
AD=AO+OD=1+csθ，
∴S△ABC=12AD⋅BC=12⋅2sinθ(1+csθ)=2sinθ(1+csθ)．
故选：D．
要使△ABC的面积S=12BC⋅h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
10.【答案】B
【解析】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分(即打平)，或为3分(有胜负)，所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故选：B．
易得小组赛的总场数为小组数×(小组数-1)÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．
本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
11.【答案】a2(x+y)(x-y)
【解析】解：原式=a2(x2-y2)
=a2(x+y)(x-y)．
故答案为：a2(x+y)(x-y)．
应先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
12.【答案】x≥-2且x≠2
【解析】解：∵代数式x+2x-2有意义，
∴x+2≥0且x-2≠0，
∴x≥-2且x≠2，
故答案为：x≥-2且x≠2．
根据二次根式及分式有意义的条件得出关于x的不等式，解不等式可得答案．
此题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
13.【答案】10°
【解析】解：设这个角的度数是x°，由题意得
180-x=2(90-x)+10，
解得x=10．
故答案为：10°．
根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
14.【答案】310
【解析】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中取出的两个球均为白球的结果有6种，
∴取出的两个球均为白球的概率620=310，
故答案为：310．
画树状图，共有20种等可能的结果，其中取出的两个球均为白球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】4
【解析】解：∵E，F分别为AC，BC的中点，EF=4，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=8．
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB=4．
故答案为：4．
先根据E，F分别为AC，BC的中点得出EF是△ABC的中位线，故可得出AB的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
16.【答案】32π
【解析】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π，
故答案为：32π．
根据角平分线的定义可知∠DBC=∠ABC，再根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，从而可知CD=AC，根据AD是⊙O的直径，AD=6，进一步可得CD的长．
本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17.【答案】解：原式=5×(-3)+|-22|-1-1
=-15+22-1-1
=-17+22．
【解析】先计算乘方和开方，再化简绝对值计算乘法，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数和负整数指数幂的意义、实数的运算顺序及绝对值的意义是解决本题的关键．
18.【答案】解：5x-2>3(x-1)①x-12≤7-x②，
解不等式①得：x>-12，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：-12在数轴上表示不等式组的解集为：
．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
19.【答案】解：由题意得：∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∠DAC=45°，
∴DC=AC⋅tan45°=AC，
在Rt△ABC中，∠BAC=53°，
∴BC=AC⋅tan53°≈1.33AC，
∵BD=10.6米，
∴BC-CD=10.6，
∴1.33AC-AC=10.6，
∴AC≈32.1米，
∴此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米．
【解析】根据题意可得：∠ACD=90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BC，CD的长，最后根据BD=10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】25
【解析】解：(1)画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中甲被抽中的结果数为8，
所以甲被抽中的概率=820=25；
故答案为：25；
(2)画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生A和护士D的结果数为1，
所以恰好选中医生A和护士D的概率=16．
(1)先画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出甲被抽中的结果数，然后根据概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出选中医生A和护士D的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
21.【答案】(1)证明：∵E，D分别是AF，BF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE//AB且2DE=AB，
∵CD=2DE，
∴AB=CD，
∵CD//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAF=90°，D是斜边BF的中点，
∴AD=12BF=DF=BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
由(1)可知，AD=DF=BD，DE//AB，
∴∠DEF=∠BAF=90°，
∴CE⊥AF，
∵∠F=30°，
∴CD=DF=2DE=23，
∴EF=DF2-DE2=(23)2-(3)2=3，
∵E是AF的中点，
∴AE=EF=3，
∴菱形ABCD的面积=CD⋅AE=23×3=63．
【解析】(1)由三角形中位线定理得DE//AB且2DE=AB，再证AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，然后证AD=12BF=BD，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AD=CD，再证CD=DF=2DE=23，然后由勾股定理得EF=3，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：7200x-96002x=4，
解得：x=600，
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
则2x=2×600=1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
(2)设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600(7200600-y)+1200y≥17700，
解得：y≥1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
【解析】(1)设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
(2)设把y亩B块试验田改种杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC//AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由(1)知，∠CBE+∠CAD=90°，
∴∠CBE=90°-∠CAD=60°=∠DAB，
∴BC//OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
由①知，∠COD=60°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=23，
∴AD，AC与CD围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
=12S△ACD+S扇形COD
=12×12×2×23+60π×22360
=3+23π.
【解析】(1)先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
(2)①先判断出OC//AB，再判断出BC//OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC//OA是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=x+3上点M的“沉毅点”是N(n,4)，
∴点M的坐标为(n,n+3)，
当n≥0时，根据“沉毅点”的定义可得：n+3=4，
解得：n=1，
此时点M的坐标为(1,4)，
当n<0时，根据“沉毅点”的定义可得：n+3=-4，
解得：n=-7，
此时点M的坐标为(-7,-4)，
综上所述，点M的坐标为：(1,4)或(-7,-4)；
(2)由题意可设点P(m,km)，且m<0，
根据“沉毅点”的定义可得点Q的坐标为(m,-km)，
∴PQ=|2km|，
∴S△POQ=12⋅|m|⋅|2km|=|k|，
∵S△POQ=4，
∴|k|=4，
∴k=±4；
(3)如图为“沉毅点”函数图象：

从函数图象看，“沉毅点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4而-2≤x≤a，
当x=-2时，y=0，
当y=0时，x=2或-2，
当y=-4时，-4=-a2+4，解得：a=±22(舍去负值)，
观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a<22．
【解析】(1)先根据题中条件写出点M的坐标为(n,n+3)，然后根据“沉毅点”的定义分n≥0和n<0两种情况进行讨论，分别求出n的值，即可得出点M的坐标；
(2)设点P(m,km)，且m<0，根据“沉毅点”的定义可得点Q的坐标为(m,-km)，即可求得PQ=|2km|，然后利用三角形面积公式得到S△POQ=12⋅|m|⋅|2km|=|k|=4，解得k=±4；
(3)y=-4时，求出x的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
25.【答案】(1)①证明：连接CD，设DF、CE交于点P，

∵ACBBC=AC，点D为AB中点，
∴CD⊥AB，CD=12AB=BD，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠BDC+∠CDF=∠EDF+∠CDF，
∴∠BDF=∠CDF，
∵ED=FD，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴∠DEC=∠DFB，
∵∠DEC+∠DPE=90°，∠DPE=∠MPF，
∴∠DFB+∠MPF=90°，
∴∠FME=90°=∠EDF，
∴M、D、E、F四点共圆，
即点M在△DEF的外接圆上；
②解：过点C作BF平行线，过点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H，过点K作KI⊥FG；如图：

∵∠FME=90°，
∴∠MCG=90°，
∴MC⊥CG，
∵△BDF≌△CDE(SAS)，
∴BF=CE，∠ABF=∠DCE，
∵BC=7，DE=9，ME=10，
∴EF=2DE=92，
∵CG//BF，FG//BC，
∴四边形BFGC为平行四边形，
∴CE=BF=CG，∠ECG=∠FME=90°，
∴△ECG为等腰直角三角形，
∴∠CGE=45°=∠GKH，
∴△GKH为等腰直角三角形，
∴GECE=2，FGCD=BCCD=2，EFDE=2，
∴GECE=FGCD=EFDE，
∴△CDE∽△GFE，
∴∠DCE=∠FGE=∠ABF，
∴sin∠ABF=sin∠DCE=sin∠FGE；
Rt△MFE中，MF=EF2-ME2=62，
∴FK=MK-MF=ME-MF=10-62，FG=BC=7，
设∠GFH=α，∠KGI=∠DCE=β，
∴sinα=GHFG，sinβ=KIKG=NMBM，
Rt△FKI中，sinα=KIFK，
∴KI=FK⋅sinα=FK⋅GHFG，
∵GH=KG2，
∴KI=FK⋅KG2FG=FK⋅KG2FG，
∴sinβ=KIKG=FK⋅KG2FGKG=FK2FG=10-6272=52-317，
∴sin∠ABF的值为52-317；
(2)解：取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH=43，连接GH，如图：

∵G为BF的中点，O为AB中点，
∴OG是△ABF的中位线，
∴OG=12AF=12DF=12DE=2，
∵AC=32，
∴AB=2AC=6，OB=12AB=3，
∴OGOB=23，
而OHOG=432=23，
∴OGOB=OHOG，
又∠HOG=∠GOB，
∴△HOG∽△GOB，
∴HGBG=OGOB=23，
∴HG=23BG，
∴要使CG+23BG的最小，需CG+HG最小，
∴当H、G、C三点共线时，CG+23BG的最小，最小值是CH，如图：

∵∠ACB=90°，BC=AC，点O为AB的中点，
∴OC=12AB=3，
∵OH=43，
∴CH=OH2+OC2=973，
∴CG+23BG的最小值是973．
【解析】(1)①连接CD，证明△BDF≌△CDE(SAS)，根据全等三角形的性质得∠DEC=∠DFB，求出∠FME=90°，则M、D、E、F四点共圆，即点M在△DEF的外接圆上；
②过点C作BF平行线，过点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H，过点K作KI⊥FG，证明△BDF≌△CDE，由BC=7，则DE=9，ME=10，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算即可；
(2)取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH=43，连接GH，构建相似，转化线段即可得到答案．
本题是圆的综合题，考查三角形的外接圆，等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．