2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了114×107B， 下列计算正确的是， 下列说法中，正确的是， 阿基米德说等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷
1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为(    )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕.开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就.其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元.把“1140000”用科学记数法表示为(    )
A. 0.114×107 B. 1.14×106 C. 11.4×105 D. 114×104
4. 下列计算正确的是(    )
A. x2+x4=x6 B. (x+1)(x−1)=x2+1
C. (x3)2=x6 D. x6÷x3=x2
5. 下列说法中，正确的是(    )
A. 为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B. 一组数据−1，2，5，5，7，7，4的众数是7
C. 明天的降水概率为90%，则明天下雨是必然事件
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3，s乙2=0.02，则乙组数据更稳定
6. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1=55∘，则∠2=(    )
A. 55∘
B. 70∘
C. 60∘
D. 65∘


7. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠B=60∘，AB=6，则点A到BC的距离为(    )

A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是(    )


A. B.
C. D.
9. 在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少.2021年上学期每天作业平均时长为100min，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为70min.设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为(    )
A. 100(1−x2)=70 B. 70(1+x2)=100
C. 100(1−x)2=70 D. 70(1+x)2=100
10. 如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是(    )
A. DEBC=12
B. ADAB=AEAC
C. S△DOE：S△BOC=1：2
D. △ADE∽△ABC
11. 为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下：
种子总数
100
400
800
1400
3500
7000
发芽种子数
91
358
724
1264
3160
6400
发芽的频率
0.91
0.895
0.905
0.903
0.903
0.914
根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为______ (结果精确到0.1).
12. 一次函数y=mx+m2(m≠0)的图象过点(0,4)，且y随x的增大而增大，则m的值为______ .
13. 若式子 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ .
14. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______ .


15. 一个扇形的半径为5，圆心角是120∘，该扇形的弧长是______ .
16. 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是______ .
17. 计算：4cos30∘+(1− 2)0− 12+|−2|.
18. 先化简：(a−3aa+1)÷a2−4a+4a+1，然后在−2，−1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值.
19. 如图，在△ABC中，∠B=40∘，∠C=50∘.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的______ ，射线AE是∠DAC的______ ；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数.

20. 为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别
分数段(分)
频数
频率
A组
60≤x<70
30
0.1
B组
70≤x<80
90
n
C组
80≤x<90
m
0.4
D组
90≤x<100
60
0.2
(1)在表中：m=______，n=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在______组；
(4)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．

21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若DB=6，AC=8，求菱形ABCD的面积.

22. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg.设公司销售板粟的日获利为w(元).
x(元/kg)
10
11
12
y(kg)
4000
3900
3800
(1)求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
23. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为AC的中点，过D作DE//AC，交OC的延长线于点E.
(1)求证：DE是半圆O的切线.
(2)若OC=3，CE=2，求AC的长.

24. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”.
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______ ；
A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H.
①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接EH，求三角形CEH的周长；
③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长.

25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E.
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC>1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：根据相反数的意义得出：12023的相反数是−12023，
故选：D.
根据相反数的意义可得．
本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义．

2.【答案】B 
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】B 
【解析】解：1140000=1.14×106.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C 
【解析】解：∵x2和x4不是同类项，
∴x2+x4不能进行合并计算，
∴选项A不符合题意；
∵(x+1)(x−1)=x2−1，
∴选项B不符合题意；
∴选项C符合题意；
∴选项D不符合题意；
故选：C.
运用合并同类项、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算辨别．
此题考查了整式加减、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解以上运算法则．

5.【答案】D 
【解析】解：A.为了解长沙市中学生的睡眠情况实行抽样调查，故此选项不符合题意；
B.一组数据−1，2，5，5，7，7，4的众数是5和7，故此选项不符合题意；
C.明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3，s乙2=0.02，s甲2>s乙2，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D.
依据全面调查、抽样调查、众数、概率以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了全面调查、抽样调查、众数、概率以及方差的概念．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

6.【答案】B 
【解析】解：∵AD//BC，∠1=55∘，
∴∠1=∠DEF=55∘，
根据折叠的性质得，∠GEF=∠DEF=55∘，
∵∠2+∠GEF+∠DEF=180∘，
∴∠2=70∘，
故选：B.
根据平行线的性质得出∠1=∠DEF=55∘，根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=55∘，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：

∵∠B=60∘，
在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=6×sin60∘=6× 32=3 3，
∴点A到BC的距离为3 3.
故选：A.
过点A作AD⊥BC于点D，再用三角函数定义，求出AD=AB×sinB=6×sin60∘，即可得出答案．
本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．

8.【答案】B 
【解析】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1200×0.5=Fl，
即F=600l，是反比例函数，
又∵动力臂l>0，
故B选项符合题意．
故选：B.
直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：根据题意得100(1−x)2=70.
故选：C.
利用2022年下学期平均每天作业时长=2021年上学期每天作业平均时长×(1−该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，DE//BC，
∴DEBC=12，故A选项正确；
∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，故B选项正确；
∵DE//BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOES△COB=(DEBC)2=(12)2=14，故C选项错误；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，故D选项正确；
故选：C.
根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质得出相似，△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出即可．
本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

11.【答案】0.9 
【解析】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该花卉种发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得出结论．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．

12.【答案】2 
【解析】解：∵一次函数y=mx+m2(m≠0)的图象过点(0,4)，
∴4=m2，
解得：m=±2，
又∵y随x的增大而增大，
∴m=2.
故答案为：2.
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，即可确定m的值．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．

13.【答案】x≥1 
【解析】解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1，
∴实数x的取值范围是x≥1.
故答案为：x≥1.
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x−1≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．

14.【答案】40∘ 
【解析】解：正九边形的一个外角的度数为360∘÷9=40∘，
故答案为：40∘.
利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为360∘，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．

15.【答案】103π 
【解析】解：由题意得，扇形的弧长=120π×5180=103π.
故答案为：103π.
利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180.

16.【答案】3 
【解析】解：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，
∴甲手中的数可能为2，3，4，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3.
故答案为：3.
先分析甲手中的数，再推理乙手中的数字，由此能求出结果．
本题考查推理与论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查分析判断能力，是中档题．

17.【答案】解：原式=4× 32+1−2 3+2
=2 3−2 3+3
=3. 
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂等知识分别化简各数，即可得出答案．

18.【答案】解：(a−3aa+1)÷a2−4a+4a+1
=a(a+1)−3aa+1⋅a+1(a−2)2
=a2−2aa+1⋅a+1(a−2)2
=a(a−2)(a−2)2
=aa−2，
∵要使分式有意义，故a+1≠0且a−2≠0，
∴a≠−1且a≠2，
∴当a=−2时，
原式=−2−2−2=12. 
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

19.【答案】(1)垂直平分线；  角平分线
(2)解：
∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=40∘，
∵∠B=40∘，∠C=50∘，
∴∠BAC=90∘，
∴∠CAD=50∘，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=25∘. 
【解析】解：(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．
(2)见答案

(1)根据作图痕迹判断即可．
(2)想办法求出∠CAD，可得结论．
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】(1)1200.3
(2)补全频数分布直方图如下：

(3)C
(4)画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，
∴抽中A﹑C两组同学的概率为P=212=16. 
【解析】
【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
(1)先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；
(2)根据(1)中所求结果即可补全频数分布直方图；
(3)根据中位数的定义即可求解；
(4)画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
【解答】
解：(1)∵本次调查的总人数为30÷0.1=300(人)，
∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，
故答案为：120，0.3；

(2)见答案

(3)由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为：C；


(4)见答案  
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90∘，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90∘，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，DB=6，AC=8，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×6×8=24. 
【解析】(1)先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90∘，即可得出结论；
(2)根据菱形的面积公式解答即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．

22.【答案】解：(1)根据题意可设y=kx+b(k≠0)，且6≤x≤32，
把(10,4000)和(11,3900)代入得：10k+b=400011k+b=3900，
解得：k=−100b=5000，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y=−100x+5000(6≤x≤32)；
(2)根据题意可得：w=(−100x+5000)(x−6)
=−100x2+5600x−30000
=−100(x−28)2+48400，
∵−100<0，且6≤x≤32，
∴当x=28时，w有最大值，最大值为48400，
答：当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元． 
【解析】(1)根据题意设出函数关系式，然后把表中的数据代入两组即可得出；
(2)根据题中条件写出w的函数关系式，然后配成顶点式即可得出最大值．
本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是把w的函数表达式配成顶点式．

23.【答案】(1)证明：连结OD交AC于点F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE//AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；
(2)解：∵OC=3，CE=2，
∴OE=5，OD=OC=3，
在Rt△ODE中，DE= OE2−OD2=4，
∴cosE=DEOE=45，
∵AC//DE，
∴∠FCO=∠E，
∴cos∠FCO=45，
∴FC=OC⋅cos∠FOC=125，
∵OD⊥AC，
∴AC=2FC=245. 
【解析】(1)连接OA、OD，由OA=OC，点D是AC的中点，推出OD⊥AC，又DE//AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)通过证得△ABC∽△DOE，根据相似三角形的性质求得AB，然后根据勾股定理即可求得AC.
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理以及勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

24.【答案】C 
【解析】解：(1)在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故答案为：C；

(2)①四边形AFHB是否为“等补四边形”，理由：
如图，连接CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45∘，
又∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵HF⊥AE，
∴∠AFH=∠ABH=90∘，
∴∠BAF+∠BHF=180∘，
∵∠BHF+∠FHC=180∘，
∴∠FHC=∠BAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴AF=FH；

②连接AH，由①知，△AFH为等腰直角三角形，则∠HAF=45∘，
将△ABH围绕点A逆时针旋转到△ADL的位置，点H对应点L，则AL=AH，LD=BH，

则∠LAE=∠LAD+∠DAE=∠DAE+∠BAH=90∘−∠HAF=45∘=∠HAF，
∵AH=AL，AE=AE，
∴△ALE≌△AHE(SAS)，
∴HE=LE=LD+DE=BH+DE，
则△CHE的周长=HE+CH+CE=BH+DE+CH+CE=BC+CD=2a；

③∵四边形ECHF是“等补四边形”，∠EFH+∠C=180∘，
则存在FH=EF、FE=CE、EC=CH、CH=FH四种情况，
当FH=CH时，
由(1)知，FH=AF，
则FH=AF=CF=CH，则△FCH为等边三角形，如下图：

则∠FCB=60∘=∠FAB，则∠DAE=30∘，
在Rt△ADE中，DE=ADtan30∘= 33a，
则CE=CD−AD=a− 33a=3− 33a；
当CE=EF时，
∵HE=HE，
∴Rt△EHF≌△Rt△EHC(HL)，
∴FH=HC，
而FH=FC，
∴△FCH为等边三角形，
故该情况同FH=CH的情况；
当CH=EC时，
由②知，△CEH的周长为2a，
设CH=EC=x，则HE= 2x，
则x+x+ 2x=2a，
解得：CE=x=(2− 2)a；
当EF=HF时，则AF=EF，
而当点F是BD的中点时，才存在AF=EF，
故该种情况不存在，
综上，CE的长度为：(2− 2)a或=3− 33a.
(1)根据新定义即可求解；
(2)①证明△ABF≌△CBF(SAS)和∠FHC=∠FCH，即可求解；
②将△ABH围绕点A逆时针旋转到△ADL的位置，点H对应点L，则AL=AH，LD=BH，证明△ALE≌△AHE(SAS)，则△CHE的周长=HE+CH+CE=BH+DE+CH+CE=BC+CD=2a；
③四边形ECHF是“等补四边形”，∠EFH+∠C=180∘，则存在FH=EF、FE=CE、EC=CH、CH=FH四种情况，当FH=CH时，证明△FCH为等边三角形，进而求解；当CE=EF时，证明△FCH为等边三角形，进而求解；当CH=EC时，由②知，△CEH的周长为2a，进而求解；当EF=HF时，则AF=EF，而当点F是BD的中点时，才存在AF=EF，故该种情况不存在，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，新定义“等补四边形”，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确理解新定义“等补四边形”和分类求解是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1b=2，
∴该抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)①∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线顶点M(1,4)，
令x=0，得y=3，
∴C(0,3)，
又B(3,0)，
∴OB=OC=3，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴∠BCO=45∘，BC= 2OB=3 2，
如图，过点M作MF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥BC于点G，连接EM，

则∠MFC=∠CGE=∠BGE=90∘，
∵CF=MF=1，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠MCF=45∘，CM= 2CF= 2，
∴∠BCM=180∘−∠MCF−∠BCO=180∘−45∘−45∘=90∘，
∴BM为△CBM的外接圆的直径，
在Rt△CBM中，BM= CM2+BC2= ( 2)2+(3 2)2=2 5，
设E(0,y)，则OE=y，EF=4−y，
在Rt△BEO中，BE2=OE2+OB2=y2+9
在Rt△EMF中，EM2=FM2+EF2=1+(4−y)2，
∵∠BEM=90∘，
∴BE2+EM2=BM2，即y2+9+1+(4−y)2=(2 5)2，
解得：y1=1，y2=3(舍去)，
∴E(0,1)，
∴CE=3−1=2，
∵∠CGE=90∘，∠ECG=45∘，
∴CG=EG= 22CE= 22×2= 2，
∴BG=BC−CG=3 2− 2=2 2，
∴tan∠CBE=EGBG= 22 2=12；
②存在．
在Rt△ACO中，AC= OA2+OC2= 12+32= 10，
在Rt△EBO中，BE= OB2+OE2= 32+12= 10，
当∠CAN=∠CBE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，

则APAC=BEBC或ACAP=BEBC，
若APAC=BEBC，即AP 10= 103 2，
∴AP=5 23，
在△ACO和△EBO中，
OA=OE∠AOC=∠EOBOC=OB，
∴△ACO≌△EBO(SAS)，
∴∠CAO=∠BEO，
即∠CAN+∠NAO=∠CBE+∠BCO，
∵∠CAN=∠CBE，
∴∠NAO=∠BCO=45∘，
∵∠EAO=45∘，
∴射线AN经过点E，
设AN的解析式为y=kx+d，则−k+d=0d=1，
解得：k=1d=1，
∴AN的解析式为y=x+1，
设P(t,t+1)，
则 2(t+1)=5 23，
解得：t=23，
∴P(23,53)；
若ACAP=BEBC，即 10AP= 103 2，
∴AP=3 2，
同理可得P(2,3)；
当∠CAN=∠BCE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，设AN交y轴于点F，

则APAC=CEBC或APAC=BCCE，
即AP 10=23 2或AP 10=3 22，
∴AP=2 53或3 5，
∵∠CAN+∠NAO=∠CBE+∠BCE，
∴∠NAO=∠CBE，
∴tan∠NAO=tan∠CBE=12，
∴OFOA=12，
∴OF=12OA=12，
∴F(0,12)，
设AN的解析式为y=k′x+d′，则−k′+d′=0d′=12，
解得：k′=12d′=12，
∴AN的解析式为y=12x+12，
设P(t,12t+12)，则AP= (t+1)2+(12t+12)2= 52(t+1)，
∴ 52(t+1)=2 53或 52(t+1)=3 5，
解得：t=13或5，
当t=13时，12t+12=12×13+12=23，
∴P(13,23)；
当t=5时，12t+12=12×5+12=3，
∴P(5,3)；
∵∠BEC>90∘，当点N是第一象限内抛物线上时，∠CAN<90∘，
∴∠CAN≠∠BEC，
综上所述，点P的坐标为(23,53)或P(2,3)或(13,23)或(5,3)；
(3)如图，作△ABC的外接圆⊙O′，交抛物线的对称轴直线x=1于点F、G，

∵AC=AC，
∴∠AFC=∠AGC=∠ABC=45∘，
∵点A、B关于直线x=1对称，
∴圆心O′在直线x=1上，
设O′(1,c)，F(1,m)，G(1,n)，
∵∠AO′C=2∠ABC=90∘，O′A=O′C，
∴△O′AC是等腰直角三角形，
∴O′A= 22AC= 22× 10= 5，
∴22+c2=5，
解得：c=1或c=−1(舍去)，
∴O′(1,1)，
∵O′F=O′G= 5，
∴1−m= 5，n−1= 5，
解得：m=1− 5，n=1+ 5，
∴F(1,1− 5)，G(1,1+ 5)，
∵点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC>1，
∴锐角∠AQC>45∘，
设点Q的纵坐标为yQ，
∴1− 5 【解析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
(2)①利用配方法可得抛物线顶点M(1,4)，过点M作MF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥BC于点G，连接EM，由△BCO和△MCF是等腰直角三角形，可推出∠BCM=90∘，得出BM是△CBM的外接圆的直径，由勾股定理可得BM=2 5，设E(0,y)，利用BE2+EM2=BM2，建立方程求解即可得出y=1，即E(0,1)，再运用三角函数定义即可求得答案；
②由于点N是第一象限内抛物线上时，∠CAN<90∘，而∠BEC>90∘，故∠CAN≠∠BEC，分两种情况：当∠CAN=∠CBE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，当∠CAN=∠BCE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，分别求出点P的坐标即可；
(3)作△ABC的外接圆⊙O′，交抛物线的对称轴直线x=1于点F、G，由点A、B关于直线x=1对称，可知圆心O′在直线x=1上，设O′(1,c)，F(1,m)，G(1,n)，运用勾股定理可求得O′(1,1)，圆的半径为 5，进而得出F(1,1− 5)，G(1,1+ 5)，再运用三角函数定义即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外接圆，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质圆的性质，圆周角定理等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．