图形与几何——小学数学六年级下册苏教版小升初专项突破学案

小升初七大专题：图形与几何（专项突破）-小学数学六年级下册苏教版

一、选择题

1．在同一个平面内，由大小不同的两个圆组成的图形可能（    ）。

A．有一条对称轴 B．有两条对称轴

C．有一条或无数条对称轴 D．没有对称轴

2．下列说法中正确的是（    ）。

A．若甲数比乙数大10%，则乙数比甲数小10% B．三个圆心角都是120°的扇形，可以拼成一个圆

C．圆的周长总是它直径的3.14倍 D．两个圆的周长相等，它们的面积也一定相等

3．图中线段AF代表一个圆的周长，那么这个圆的直径可能和线段（    ）长度相等。

A．AB B．AC C．AD D．AE

4．图中正方形的边长是4cm，阴影部分的面积是（    ）。

A．16 B．12.56 C． D．3.44

5．把一个高6分米的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加31.4平方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。

A．94.2 B．942 C．188.4 D．1884

6．把一张圆形纸片对折三次，得到一个扇形，这个扇形的圆心角是（    ）。

A．45° B．60° C．120° D．105°

7．如图，学校在小红家（    ）方向上。

A．北偏东30° B．北偏东60° C．东偏北60° D．北偏西60°

8．如图，计算阴影部分面积，下面列式正确的是（    ）。（图中每个小正方形格的边长是1）

A． B． C． D．

二、填空题

9．下图中，已知：∠1＝30°，则：∠2＝(        )，∠3＝(        )。

10．下图正方形的边长为10cm，则圆的周长是(        )cm，圆的面积是(        )cm2。

11．下图中正方形的面积是25平方厘米，圆的面积是(          )平方厘米。

12．把一个长2厘米、宽3厘米的长方形按4∶1的比放大，得到的图形的面积是(        )平方厘米。

13．如图，大圆和小圆的面积比是(        )，如果小圆的面积是12cm2，则大圆的面积是(        )。

14．将一个高为10分米的圆柱的高减少2分米，表面积减少12.56平方分米。这个圆柱的的体积是(        )立方分米。

15．一个底面积是400平方厘米的长方体容器中加入部分水，放入等底等高的圆柱和圆锥各一个，此时水面上升2厘米（水未溢出）。圆柱的体积是(        )立方厘米，圆锥的体积是(        )立方厘米。

16．一个圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的(        )倍；一个圆柱的底面半径不变，高缩小到原来的，体积缩小到原来的(        )；如果一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的(        )倍。

三、判断题

17．一个棱长是2分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加8平方分米。(        )

18．如果两个圆的周长相等，那么它们的面积也相等；半圆的周长就是它所在圆周长的一半。(        )

19．小雅家在学校东偏北30°方向500米处，那么学校在小雅家西偏南30°方向500米处。(        )

20．圆的半径由3cm增加到6cm，圆的面积增加了。(        )

21．底面积和高都相等的长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积相等。(        )

四、图形计算

22．求下面各图形的体积。（单位：cm）

23．计算下面图形的表面积。（单位：cm）

24．已知涂色部分的面积是12cm2，求圆环的面积。

五、解答题

25．挖一个长方体水池，水池的长16米，宽8米，高2米。在水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？这个水池最多能存水多少立方米？

26．乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？

27．“节能低碳，绿色出行”，李老师骑自行车上班，他家到学校的路程是4.5千米，自行车车轮儿的外直径约是0.75米（28型自行车），平均每分钟转100圈。照这样的速度，李老师到学校需要骑这辆自行车约多少分钟？（取3）

28．一个长方体木块长、宽、高分别是5厘米，4厘米，3厘米。如果用它锯成一个最大的正方体，正方体体积是多少？比原来减少百分之几？

29．一个圆柱形水池直径20米，深5米。  

（1）这个水池的占地面积是多少平方米？

（2）挖成这个水池，共需挖土多少立方米？  

（3）在水池的侧面和池底抹一层水泥，水泥面的面积是多少平方米？

30．把一个棱长是10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？

解答这道题时，乐乐列出了下面的综合算式：

10×10×10÷［3.14×（20÷2）2］

老师却认为是错误的，乐乐的方法错在了哪里？请用正确的方法重新列式，不计算。

参考答案：

1．C

【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答。

【详解】如图所示，由两个大小不同的圆组成的图形，大约有以下几种情况：

所以在同一个平面内，由两个大小不同的圆组成的图形可能有1条或者无数条对称轴。

故答案为：C

【点睛】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征，借助画图，更容易解答。

2．D

【分析】逐项分析如下：A选项，甲数比乙数大10%，是将乙数当作单位“1”，甲数是乙数的:1＋10%＝110%，乙数比甲数少百分之几，是将甲数当作单位“1”，即10%÷110%≈9%，据此判断即可；

选项B，用3个圆心角都是120°的扇形不一定可以拼成一个圆，因为扇形的半径不一定相等，据此判断即可；

选项C，圆的周长公式为：，则圆的周长总是直径的倍，据此判断即可；

选项D，圆的周长公式为：，可以得出两个圆周长相等，则它们的半径就相等；再根据圆的面积公式：，半径相等则面积就相等。

【详解】A．10%÷（1＋10%）＝10%÷110%≈9%，即乙数比甲数小9%，所以本选项说法错误；

B．半径没有确定，所以，用3个圆心角都是120°的扇形不一定可以拼成一个圆，所以本选项说法错误；

C．圆的周长总是直径的倍，此项说法错误；

D．两个圆的周长相等，则它们的半径相等，所以它们的面积也一定相等；此项说法正确。

故答案为：D

【点睛】本题考查知识点比较多，要认真审题，然后逐项进行判断即可。

3．B

【分析】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“”表示，大约等于3.14，也就是说明同一个圆内周长大约是直径的3.14倍，据此选择。

【详解】根据分析观察图形可知，

在线段AB、AC、AD、AE中，线段AF的长度大约是线段AC的3.14倍；

故答案为：B

【点睛】此题考查了圆的周长和它直径的关系。

4．D

【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于这个边长是4cm的正方形的面积与半径是（4÷2＝2）cm的圆的面积之差，根据正方形的面积、圆的面积计算公式即可解题。

【详解】4×4－3.14×（4÷2）2

＝4×4－3.14×22

＝16－3.14×4

＝16－12.56

＝3.44（cm2）

所以，阴影部分的面积是3.44 cm2。

故答案为：D

【点睛】此题主要考查了组合图形的面积的计算方法，一般都是转换到规则图形中利用面积公式计算解答。

5．B

【分析】根据题意知道，31.4平方厘米是圆柱的两个底面的面积，由此求出圆柱的底面积，进而根据圆柱的体积公式V＝Sh，即可求出这个圆柱的体积。

【详解】6分米＝60厘米

31.4÷2×60

＝15.7×60

＝942（立方厘米）

这个圆柱的体积是942立方厘米。

故答案为：B

【点睛】解答此题的关键是，明确31.4平方厘米是圆柱的两个底面的面积，再根据圆柱的体积公式解决问题。

6．A

【分析】对折3次之后是将360°平均分成8份，利用除法即可解答。

【详解】360°÷8＝45°

故答案为：A

【点睛】本题考查折叠图形的应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。

7．B

【分析】在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；西南和东北相对，西北和东南相对，据此解答。

【详解】由分析可得：学校在小红家北偏东60°方向上。

故答案为：B

【点睛】本题主要考查方向的辨别，注意掌握基本方位的辨别法。

8．B

【分析】由图中可得到：外面大圆的直径是6个小正方形方格，即为6；大圆中的两个白色半圆可旋转拼接为一个圆形，直径为4个小正方形方格，即为4。根据圆形面积＝πr2，阴影部分面积＝大圆面积−小圆面积，即可得出答案。

【详解】根据图中可得到阴影部分面积：

故答案为：B

【点睛】本题主要考查的是组合图形的面积，解题的关键是熟知圆面积计算公式及方格图中圆的直径，进而得出答案。

9．     150°     30°

【分析】观察图形发现，∠1与∠2组成一个平角，∠2与∠3组成一个平角，平角是180°，据此计算出∠2、∠3的度数即可。

【详解】∠2＝180°－30°＝150°

∠3＝180°－150°＝30°

【点睛】本题主要考查了有关角的计算，正确利用平角的度数，是解答此题的关键。

10．     31.4     78.5

【分析】由题意可知圆的直径等于正方形的边长10cm，再根据圆的周长＝πd，圆的面积＝2πr，代入数据计算即可。

【详解】3.14×10＝31.4（cm）

3.14×（10÷2）2

＝3.14×25

＝78.5（cm2）

这个圆的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。

【点睛】考查了圆的周长和面积的计算，在正方形中画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

11．78.5

【分析】通过观察图形可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的面积公式；S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。

【详解】3.14×25＝78.5（平方厘米）

圆的面积是78.5平方厘米。

【点睛】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

12．96

【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。

【详解】2×4＝8（厘米）

3×4＝12（厘米）

12×8＝96（平方厘米）

得到的图形的面积是96平方厘米。

【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，掌握并灵活运用长方形面积公式。

13．     4∶1     48cm2

【分析】分析题意，设大圆的半径是2r，则小圆的半径是r；接下来根据圆的面积公式S＝πr2，求出两圆的面积，进而即可求出大圆和小圆的面积比，据此解答即可。

【详解】假设大圆的半径是2r，则小圆的半径是r，

大圆和小圆的面积比是：

[3.14×（2r）2] ∶[3.14×r2]

＝12.56r2∶3.14r2

＝4∶1

12×4＝48（cm2）

大圆和小圆的面积比是4∶1；如果小圆的面积是12cm2，大圆的面积是48cm2。

【点睛】本题主要考查了圆的面积计算和比的意义，要熟练掌握。

14．31.4

【分析】将一个高为10分米的圆柱的高减少2分米，表面积减少的是高为2分米的圆柱的侧面积，用12.56平方分米除以2，求出原圆柱的底面周长，求出底面半径，再根据圆柱的体积公式解答即可。

【详解】底面周长：（分米）

底面半径：

（分米）

体积：

（立方分米）

【点睛】本题考查圆柱的表面积和体积，解答本题的关键是掌握圆柱的表面积和体积的计算公式。

15．     600     200

【分析】先用“容器的底面积×水面上升的高度”求出水面上升的那部分水的体积，即放入的圆柱和圆锥的体积和。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用等底等高的圆柱和圆锥的体积和÷（1＋3）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积×3求出圆柱的体积。

【详解】400×2÷（1＋3）

＝800÷4

＝200（立方厘米）

200×3＝600（立方厘米）

所以圆柱的体积是600立方厘米，圆锥的体积是200立方厘米。

【点睛】明确等底等高的圆柱和圆锥的体积关系是解决此题的关键。

16．     9          27

【分析】根据圆柱的体积公式：V＝，如果圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，则半径为3r，代入到公式中，体积为，除以，即可得解；如果圆柱的底面半径不变，高缩小到原来的，则圆柱的高为h，代入到公式中，体积为，则体积相当于缩小到原来的；如果圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，则半径为3r，高为3h，代入到公式中，体积为，除以，即可得解。

【详解】如果圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，则半径为3r，

＝

＝9

即圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的9倍；

如果圆柱的底面半径不变，高缩小到原来的，则圆柱的高为h，

＝

即圆柱的底面半径不变，高缩小到原来的，体积缩小到原来的。

圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，则半径为3r，高为3h，

＝

＝

＝27

即圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的27倍。

【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱的体积公式求解。

17．√

【分析】根据题意可知，把棱长是2分米的正方体切成完全一样的两个长方体，这两个长方体的表面积和比原来正方体的表面积增加了两个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出这两个切面的面积与8平方分米进行比较即可。

【详解】2×2×2

＝4×2

＝8（平方分米）

8＝8

因此，题干中的说法是正确的。

故答案为：√

【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的表面积的意义，以及正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

18．×

【分析】根据“周长公式为：”可知，如果两个圆的周长相等，那么它们的半径相等；再根据“圆的面积公式：”，可知，半径相等的两个圆的面积也相等；据此可知，如果两个圆的周长相等，那么它们的面积也相等。半圆的周长等于它所在圆周长的一半与它的直径之和。

【详解】根据分析可知：如果两个圆的周长相等，那么它们的半径相等，半径相等的两个圆的面积也相等；半圆的周长等于它所在圆周长的一半与它的直径之和。故原题干说法错误。

故答案为：×

【点睛】熟记圆的周长、面积计算公式，是解答此题的关键，本题还可以采用赋值法解题。

19．√

【分析】根据方向的相对性，东偏北对西偏南，角度和距离不变，进行分析。

【详解】根据分析可知，

小雅家在学校东偏北30°方向500米处，那么学校在小雅家西偏南30°方向500米处。

故答案为：√

【点睛】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。

20．√

【分析】根据圆的面积公式： ，先分别计算出半径是3cm和半径是6cm的圆的面积，再利用减法求出面积增加了多少。

【详解】×62－×32

＝×36－×9

＝27（cm2）

所以，圆的半径由3cm增加到6cm，圆的面积增加了27cm2。

故答案为：√

【点睛】此题主要考查的是圆的面积公式的灵活应用。

21．×

【分析】根据长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积公式，分析解题。

【详解】长方体体积＝底面积×高

正方体体积＝底面积×高

圆柱体积＝底面积×高

圆锥体积＝×底面积×高

所以，底面积和高都相等的长方体、正方体和圆柱的体积相等，但和底面积、高相等的圆锥的体积不相等。

故答案为：×

【点睛】本题考查了立体图形的体积，掌握长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。

22．25.12 cm3；113.04cm3；15.7cm3

【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可；

（2）图形是圆柱的一半，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱体积，再除以2即可；

（3）组合图形是由圆柱和圆锥组成，分别计算出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。

【详解】（1）×3.14×22×6

＝3.14×8

＝25.12（cm3）

（2）3.14×（6÷2）2×8÷2

＝3.14×9×8÷2

＝3.14×36

＝113.04（cm3）

（3）3.14×（2÷2）2×4＋×3.14×（2÷2）2×3

＝3.14×4＋3.14×1

＝12.56＋3.14

＝15.7（cm3）

23．3113cm2

【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，长方体的表面积＋圆柱的侧面积即为这个组合图形的表面积，据此解答。

【详解】（20×30＋20×5＋30×5）×2＋3.14×15×30

＝850×2＋1413

＝1700＋1413

＝3113（cm2）

24．37.68平方厘米

【分析】通过观察图形可知，大正方形的边长等于外圆的半径，小正方形的边长等于内圆的半径，根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，也就是外圆半径与内圆半径平方的差，再根据环形面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），把数据代入公式解答。

【详解】3.14×12＝37.68（平方厘米）

25．224平方米；256立方米

【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由于游泳池无盖，所以抹水泥的部分是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据容积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。

【详解】

（平方米）

（立方米）

答：抹水泥的面积是224平方米。这个水池最多能存水256立方米。

【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。

26．1.14平方米

【分析】根据“圆的面积公式：”，即可求出这张圆桌的面积，正方形被分成了2个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形，根据三角形的面积公式求出一个三角形的面积，再乘上2求出正方形的面积，然后用圆的面积减去圆内最大正方形的面积，即可求出折叠部分的面积。

【详解】半径：2÷1＝1（米）

圆的面积：3.14×12

＝3.14×1

＝3.14（平方米）

圆内最大正方形的面积：

2×1÷2×2

＝2÷2×2

＝1×2

＝2（平方米）

折叠部分的面积：

3.14－2＝1.14（平方米）

答：可折叠部分的面积是1.14平方米。

【点睛】此题也可以根据圆内最大正方形和圆的面积比是3.14∶2，求出圆内最大正方形的面积，进而求出折叠部分的面积。

27．20分钟

【分析】首先根据圆的周长公式： ，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，求出每分钟骑行的速度；然后根据“时间＝路程÷速度”，列式解答即可。

【详解】4.5千米＝4500米

4500÷（0.75×3×100）

＝4500÷（2.25×100）

＝4500÷225

＝20（分钟）

答：李老师到学校需要骑这辆自行车约20分钟。

【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。

28．27立方厘米；55%

【分析】用长方体割最大的正方体，要用长方体长、宽、高中最小的那个长度作为正方体的棱长； 根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”，求出正方体的体积即可；

根据“长方体体积＝长×宽×高”，求出长方体的体积，再求正方体体积占原体积的百分比，再用1－正方体体积所占的百分比，就等于正方体体积比原来长方体体积减少的百分比。

【详解】3×3×3

＝9×3

＝27（立方厘米）

27÷（5×4×3）

＝27÷60

＝0.45

＝45%

1－45%＝55%

答：正方体体积是27平方厘米，比原来减少55%。

【点睛】本题考查用长方体分割最大的正方体的条件和百分数计算；熟记长方体、正方体的计算公式，是解答此题的关键。

29．（1）314平方米

（2）1570立方米

（3）628平方米

【分析】（1）要求这个水池占地面积是多少，就是求这个圆柱的底面积，利用圆的面积＝πr2计算即可解答；

（2）要求共需挖土多少立方米，就是求这个圆柱的体积，利用圆柱的体积＝πr2h计算即可；

（3）在水池的侧面和池底抹一层水泥，要求水泥面的面积是多少平方米，就是求这个水池的表面积（只有一个底面），据此利用表面积＝侧面积＋底面积计算即可解答问题。

【详解】（1）20÷2＝10（米）

3.14×102

＝3.14×100

＝314（平方米）

答：水池的占地面积是314平方米。

（2）3.14×102×5

＝3.14×100×5

＝1570（立方米）

答：需要挖土1570立方米。

（3）3.14×20×5＋314

＝314＋314

＝628（平方米）

答：水泥面的面积是628平方米。

【点睛】根据题意，认真分析要求的问题，然后再根据题意进一步解答即可。

30．见详解；10×10×10÷÷[3.14×（20÷2）2]

【分析】根据题意，把正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，形状变了，但体积不变；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积，也是圆锥的体积；

然后根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝V÷÷S，其中S＝πr2，代入数据即可求解。

【详解】10×10×10÷÷[3.14×（20÷2）2]

＝10×10×10×3÷[3.14×100]

＝3000÷314

≈10（厘米）

这个圆锥形铁块的高约是10厘米。

答：乐乐的方法错在计算圆锥的高时忘记用圆锥的体积除以。

正确列式为：10×10×10÷÷[3.14×（20÷2）2]。（答案不唯一）

【点睛】本题考查正方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住等积变形中“体积不变”进行解答。