安徽省2023届4月模拟数学试题

这是一份安徽省2023届4月模拟数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省2023届4月模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．若，则（    ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致．先“立天元一为……”，相当于“设x为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过类似合并的方程．设，若，则（    ）
A．640 B．670 C．672 D．680
5．已知向量，满足，，，则（    ）
A．3 B．15 C．-3或15 D．3或15
6．设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
7．已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．已知函数为奇函数，（a为常数），且恒成立．设与的图象在y轴右侧的交点依次为，O为坐标原点，若的面积最小值为，且为钝角，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图（单位：%），则（    ）

A．东北地区的四项数据均比中部地区高
B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低
C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好
D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好
10．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（    ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，且，时，，，则（    ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
12．在三棱锥P-ABC中，，，，O为的外心，则（    ）
A．当时，PA⊥BC
B．当AC=1时，平面PAB⊥平面ABC
C．PA与平面ABC所成角的正弦值为
D．三棱锥A-PBC的高的最大值为

三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为_________．
14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有_________种．
15．直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是_________．

四、解答题
17．记为数列的前n项和．
(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
19．长征七号A运载火箭将测发周期由32天缩减到26天，进一步提高了火箭发射效率．科研人员为研究传统依次测试与合并测试是否能达到相同的效果，进行了30次传统依次测试模拟实验和50次合并测试模拟实验，对是否符合发射状态得到如下数据：

符合发射状态
不符合发射状态
传统依次测试
5m
5
合并测试
40
2m
(1)求m的值；
(2)能否有99%的把握认为发射状态与测试方式有关？
(3)为进一步分析合并测试是否是影响符合发射状态的技术原因，在50次合并测试模拟实验中，用分层抽样的方法抽取10次模拟实验，再从这10次模拟实验中随机抽取3次进行复盘分析，记抽到不符合发射状态的模拟实验的次数为X，求X的分布列及期望．
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3．

(1)证明：DE⊥平面PAF；
(2)若PE与平面ABCD所成角为，求二面角A-PB-F的余弦值．
21．已知双曲线T与椭圆共焦点，且焦点到T的渐近线的距离为．
(1)求双曲线T的渐近线方程；
(2)已知过点的直线l与双曲线T交于P，Q两点，线段PQ的中点为E，设过E，F的圆的半径为r．证明：当圆心在x轴上时，是定值．
22．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，求a的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由条件可知，，，
所以．
故选：C.
2．A
【分析】根据复数除法运算化简可得.
【详解】因为，所以．
故选：A
3．B
【分析】由三角恒等变换相关公式，进行变换判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若，则，即，
所以，所以，故，充分性不成立；
必要性：若，则，解得，
所以，必要性成立；
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
4．C
【分析】令，求出，由得，再由等差数列的前项和公式可得答案．
【详解】令，
当时，，
两式相减可得①，
当时，，满足①式，所以，
故．
故选：C.
5．D
【分析】对两边同时平方，将代入可求出的值，可求出，代入即可得出答案.
【详解】因为向量，所以，
又，
解得:或，即或，
所以当时，；
当时，，
故或15．
故选：D.
6．B
【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即可得出答案.
【详解】易知，．
令，，
则在单调递增，又，所以，
所以．又，
则，即．
综上，．
故选：B.
7．A
【分析】首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【详解】由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以，
解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
故选：A
8．D
【分析】先求，然后作与的大致图象，根据面积的最小值求的最大值，根据为钝角求的最小值，然后可得.
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
因为，所以，所以，
又（a为常数）．
且恒成立，
所以，
即，所以，．
如图，设的周期为T，在y轴右侧的第二个零点为B，易知四边形OA1BA2是平行四边形，，．

则

，
解得；
因为，所以，解得；
所以的取值范围是．
故选：D
9．CD
【分析】根据柱状图逐项分析选项的正误.
【详解】A项：东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，A错误；
B项：西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，B错误；
C项：中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，C正确；
D项：东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，D正确．
故选：CD.
10．AC
【分析】设直线：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断AB；设直线AB：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断CD.
【详解】由抛物线得，
设直线：，，，
联立消去x可得，
则，，
A项：，A正确；
B项：因为，所以，B错误；
由抛物线得准线为，则，
因为过点P的直线与抛物线交于点A，B，
所以直线AB斜率存在且不为零，
故设直线AB：，，，
联立，消去x可得，则，，
故，，，且，
C项：，C正确；
D项：，
又，所以，D错误．
故选：AC.
11．ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.

【详解】A项：因为，
当时，，令，
则，解得，A正确；
B项：任取：，
则，
因为当时，，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增，B正确；
C项：令，则，
解得或，当，且时，令，
则，
若为奇函数，则，即，
解得，与题意矛盾；
当时不为奇函数．
综上所述，函数不是奇函数，C错误；
D项：当，
则，


，
所以，易得在上单调递增，
所以时，，，
故函数的一个解析式为，D正确．
故选 :ABD
12．ABC
【分析】由条件得几何体的结构特征，分析位置关系及数量关系.
【详解】对于A项，因为，且，所以为等边三角形，
又，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，
正三棱锥的侧棱与底面相对的边互相垂直，所以PA⊥BC，A正确；
对于B项，因为O为的外心，且．
所以点P在平面ABC的射影为点O，所以PO⊥平面ABC．
又，，，所以为直角三角形，．
所以点O为AB的中点，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，B正确；
对于C项，由B项可知PO⊥平面ABC，
又平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠PAO即为直线PA与平面ABC所成的角．
设外接圆半径为r，则由正弦定理可得，
所以，所以，故，C正确；
对于D项，在中，，，
由余弦定理可得，故，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
，
所以，当且仅当时等号成立．
所以．
设三棱锥A-PBC的高为h，
因为，即，
所以．
故三棱锥A-PBC的高的最大值为，D错误．
故选：ABC
【点睛】三棱锥A-PBC的高不易直接求解，故通过等体积法间接求解，外接圆半径问题可以与正弦定理相结合，三角形中最值问题可以与余弦定理及基本不等式知识相结合.
13．
【分析】利用导数的运算求得函数得导函数，求得得到处的导数，即为切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程.
【详解】，又，所以，
所以切线方程为，即．
故答案为 : .
14．18
【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.
【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式；
再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式.
又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.
故答案为：18.
15．
【分析】球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论，画出图形，由球与侧面的交线长为，结合弧长公式去掉不合要求的情况，求出交线长.
【详解】因为底面ABC是等腰直角三角形，且，所以，
故点C到AB的距离为．
球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论．
①若，如图①所示，

设球C与，AC分别交于点D，E，
则球C与侧面的交线长为，则，
即，此时所对的弦长为，不满足题意；
②若，如图②所示，

设球C与，AC分别交于点M，N，则，所以，
所以球C与侧面的交线长为，解得，满足题意．
则球C与侧面的交线长为，与底面ABC的交线长为，
在中，，
所以球C与平面的交线长为，
所以球C与三棱柱的交线长为．
故答案为：.
16．
【分析】利用椭圆定义及对称性求出离心率的最大值，根据题设不等式利用余弦定理求离心率的最小值，即可求出答案.
【详解】设关于直线的对称点为，则
解得即．
由椭圆定义及对称性可得，
则，
当且仅当P，F，三点共线时，等号成立．
所以E的离心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，
解得，
设椭圆E的上顶点为Q，
则，
所以，解得，
所以E的离心率的取值范围是．
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）选择条件①③，由等差中项的性质证明数列是等差数列；选择条件②，由等差数列的定义证明数列是等差数列；
（2）由（1）求出，由裂项相消法求即可.
【详解】（1）选择条件①：因为，
所以，，
两式相减可得，
即，
所以，
两式相减可得，
化简可得，
所以，所以数列是等差数列．
选择条件②：设数列的首项为，公差为p，
则，故．
当时，

，
当时，，所以，
又当时，．
所以数列是等差数列．
选择条件③：因为数列是等比数列，所以，
即，所以．
所以数列是等差数列．
（2）因为数列是等差数列，且公差，
所以．
所以．
故


．
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；
（2）根据中线性质可得，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.
【详解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
19．(1)
(2)没有
(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据30次传统依次测试模拟实验，列方程求解；
（2）计算观测值与临界值比较，判断能否有99%的把握认为发射状态与测试方式有关；
（3）先应用分层抽样，再根据已知条件求概率列出分布列，再求数学期望即可.
【详解】（1）由题意，可得，解得．
（2）

符合发射状态
不符合发射状态
合计
传统依次测试
25
5
30
合并测试
40
10
50
合计
65
15
80
则．
所以没有99%的把握认为发射状态与测试方式有关．
（3）用分层抽样方法抽取10次模拟实验，则符合发射状态的有8次，不符合发射状态的有2次，
故X的可能取值为0，1，2．
则，，．
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



故．
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接AE，PF，BD，由体积比可得，即E为BC的中点，进而可得AF⊥DE，再由线面垂直的性质、判定证结论；
（2）先证PA，AB，AD两两垂直，构建空间直角坐标系，由题设易知∠PEA为PE与平面ABCD所成角，求得，进而求面PBF、面PAB的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角A-PB-F的余弦值．
【详解】（1）连接AE，PF，BD，如图①所示．
因为三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3，
所以，即．
所以E为BC的中点，则，，
故，又F为DE的中点，所以AF⊥DE．
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥DE，
又，PA、平面PAF，所以DE⊥平面PAF．

（2）因为PA⊥面ABCD，且在矩形底面ABCD内，易知：PA，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图②所示的空间直角坐标系A-xyz．
所以∠PEA为PE与平面ABCD所成角，即，则．
则，
所以，，
设面PBF的法向量为，则，令，则．
而面PAB的一个法向量为，所以．
由图知：锐二面角A-PB-F的余弦值为．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，由焦点到渐近线的距离为，得到，，得到双曲线渐近线；
（2）先考虑直线l的斜率不存在时，不合要求，再考虑直线l斜率为0和直线l斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，
【详解】（1），由椭圆方程知其左、右焦点分别为，，
设双曲线，则．
又焦点到其中一条渐近线的距离为，所以，．
所以双曲线T的渐近线方程为．
（2）由（1）可知双曲线，为双曲线的右焦点，
当直线l的斜率不存在时，点重合，不合题意．
①当直线l斜率为0时，则直线l：，点，，故圆心为，．所以．
②当直线l斜率存在且不为0时，设直线l：，
联立消去y得，
由直线l与双曲线T交于P，Q两点，可得，
设，，则，．
设过E，F的圆的圆心为C，线段EF的中点为N，
则CN⊥EF，即CN⊥PQ．故直线CN的斜率为．

设线段PQ的中点，则，
故，．
故直线，令得，
则．
所以，
由弦长公式得
．
所以．
综上，当圆心在x轴上时，为定值2．
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）对函数求导数， 根据a的取值分类讨论函数的单调性，得单调区间；
（2）将不等式转化为，证明，得，对进行放缩，得a的取值范围.
【详解】（1）．
当时，令，解得，
当，，单调递减，
当，，单调递增；
当时，，在R上单调递减；
当时，令，解得，所以当，，单调递减，
当，，单调递增；
综上，当时，单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为R，无单调递增区间；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）原不等式为，即．
因为，
所以．
令，则其在区间上单调递增，取，则；取，则，
所以存在唯一使得，
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即，．
故．
故，
所以．
当且仅当即时，等号成立，
故，即a的取值范围为．
【点睛】对于，观察变形为，考虑研究，即可对函数进行放缩.