河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题

河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（）

A．1 B． C． D．2

3．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（    ）

A．54 B．71 C．81 D．80

4．已知随机变量，且，则（    ）

A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.9

5．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若在轴正方向上的投影为，则的面积为（    ）

A． B． C． D．6

6．的展开式中x项的系数为（    ）

A．568 B．－160 C．400 D．120

7．已知某圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，过圆锥轴的中点作与底面平行的截面，则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（    ）

A．64π B．96π C．112π D．144π

8．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

9．已知数列满足，且，则数列的前18项和为（    ）

A． B． C． D．

10．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ）

A． B．0 C．2 D．4

12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（    ）

①；

②若，则双曲线的离心率；

③；

④.

A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④

二、填空题

13．已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.

14．已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.

15．已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且恒有，若存在成立，则的取值范围为__________．

16．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.

三、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

(1)求；

(2)若，，求的面积的最大值.

18．课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.

(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；

(2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望.

19．如图，在三棱台中，，平面，平面平面.

(1)求证：；

(2)若，的面积为4，求二面角的余弦值.

20．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：

①为定值；

②点M在定直线上.

21．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)，若函数有两个零点，且，求证：.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，曲线与曲线交于A，B两点，求的值.

23．已知正数a，b，c满足．

(1)求证：；

(2)求证：．

参考答案：

1．A

【分析】解对数不等式化简集合，再由交集运算即可求解.

【详解】由得，所以，所以，

故选：A.

2．B

【分析】把已知等式变形，解法一利用复数积的模等于模的积求解，解法二利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算.

【详解】解法一由已知得，∴，即，∴.

解法二由已知得，∴，∴.

故选：B

3．C

【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.

【详解】∵是等差数列，，

∴，得，

∴.

故选：C.

4．A

【分析】先根据，求，再根据正态密度曲线的对称性求的值.

【详解】因为，所以，

所以，

故选:A.

5．B

【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可得，即可求出，从而求出三角形面积.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

因为在轴正方向上的投影为，则点在第一象限内，且，

则，所以，

所以.

故选：B.

6．D

【分析】先写出的展开式的通项，再求出满足x的次幂为1的项，代入求和即可得解．

【详解】因为，

又的展开式的通项为，且，，

所以的展开式的通项为且，，

令，得或或或，则x项的系数为，

故选：D．

7．C

【分析】作出圆锥的轴截面，知截面与底面之间的几何体为圆台，然后求出圆台的高与底面半径，讨论球心在圆台两底面之间与圆台两底面在球心同侧这两种情况，利用勾股定理建立方程求出球的半径，从而由球的表面积公式求得结果．

【详解】第一步：确定截面与底面之间的几何体的结构特征如图，

等腰三角形SAB是圆锥的轴截面，SE是圆锥的轴，截面圆、底面圆的半径之比为1：2．

设截面圆、底面圆的半径分别为r，2r，

因为轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，且由题意知截面与底面之间的部分为圆台，

所以圆台的高为，，．

第二步：求外接球的半径

易知球心在直线SE上，设圆台外接球的半径为R，球心到圆台下底面的距离为x，

若球心在圆台两底面之间，如图点M的位置，则，无解；

若圆台两底面在球心同侧，则球心在如图点O的位置，，

解得，则，

第三步：求外接球的表面积

则该圆台外接球的表面积为.

故选：C．

【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据不外乎球心的两个特性：一是球心到球面上各点的距离都等于半径；二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面（球的截面圆性质），由此出发或利用一些特殊模型即可确定外接球的球心．

8．D

【分析】根据题意求得函数为偶函数，再利用导数求得函数在上单调递增，结合偶函数和单调性分析判断.

【详解】因为，可得函数为偶函数，

当时，则，可得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

可得，

即在上恒成立，故在上单调递增，

又因为，且，

所以，即.

故选：D.

9．D

【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.

【详解】由，则，

即，

显然，满足公式，即，

当时，；当时，；当时，；

当时，，当时，；当时，；

则数列是以为周期的数列，由，则，

设数列的前项和为，

.

故选：D.

10．A

【分析】根据题意垂直关系可得平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解.

【详解】连接，

由题意可得：，即为等边三角形，

且E为SC的中点，可得，

故平面，

连接，设，连接，

可得平面，

且平面，则，

，平面，所以平面，

平面，则，

在直线取一点，连接，使得，

在中，，

因为，可得，

故，

同理在棱取一点，使得，连接，则，

故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，

因为，则//，

由，可得，

所以四边形的面积.

故选：A.

11．D

【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得，再结合已知值及周期性求解作答.

【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，

又为偶函数，则，即，

于是，则，即是以为周期的周期函数，

由，得，，

，，

所以.

故选：D

12．C

【分析】对于①：根据可得，根据勾股定理分析判断；对于②：根据向量共线可得，代入双曲线方程可得离心率；对于③：根据双曲线的定义及三角形的三边关系分析判断；对于④：根据两点间距离以及A的横坐标的范围分析判断.

【详解】对于①：因为，且为的中点，则，

所以，故①正确；

对于②：由题意可知：直线，

设，则，可得，

即，

设，由，可得，

因为，则，解得，

即，由点A在双曲线上可得，

整理得，解得或（舍去），故②正确；

对于③：设直线与双曲线的右支交于点，

由双曲线的定义可得：，

在中可得，即，

所以，

即，故③错误；

对于④：设，则，可得，

则，

因为，则，可得，

所以，即，故④正确；

故选：C.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．

2．焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．

13．

【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点，解出，即可求得切线方程.

【详解】解：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，

则的方程为，又点在切线上，所以

解得，所以切线方程为：，即.

故答案为：.

14．/

【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出，即可求出夹角的余弦值.

【详解】单位向量，满足，则，

因此，所以，夹角的余弦值为.

故答案为：

15．

【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得解析式，根据题意，求得周期，可得值，根据，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得的范围，可得的最值，结合题意，分析即可得b的范围.

【详解】由题设，，，

由相邻两个对称轴之间的距离为，故，

又，即，

故，解得．

，

当时，，此时的最大值为，最小值为，

若存在，，使成立，

则只需，

，故的取值范围为

16．

【分析】先利用同构法将题给不等式转化为在上恒成立，再利用导数求得在上最小值，进而求得实数的取值范围.

【详解】，则，

则时，，单调递增.

时，恒成立，即恒成立，

则在上恒成立，

则即在上恒成立，

令，，则

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

则当时取得最小值，则

则实数的取值范围是

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角；

（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范围，即可得到的面积的最大值.

【详解】（1）由题意，

在中，，

∵，

∴,即，

∴，

∵，

∴，可得，解得：.

（2）由题意及（1）得

在中，，，，

∴为边的中点，

∴,

∴，即，

设，，则，

当且仅当时，等号成立.

∴，当且仅当时，等号成立，

∴的面积的最大值为.

18．(1)

(2)分布列见详解，3

【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解；

（2）根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望.

【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为，则，

故甲3次投篮的得分超过3分的概率.

（2）记“乙第次投篮投进”为事件，

由题意可得：的可能取值为，则有：

，

，

，

，

所以的分布列为：

故的期望.

19．(1)见解析；

(2).

【分析】（1） 取中点，连接，面面垂直的性质定理可得平面，从而得，由已知条件可得，由线面垂直的判断定理可得平面，从而即可证；

（2）以为原点，、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，平面，

所以①，

又因为平面，平面，

所以②，易知与相交③,

由①②③可得平面，

又因为平面，

所以；

（2）解：因为平面，平面，

所以，，

由(1)可知平面，平面，

所以，

所以以为原点，、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的坐标系：

因为，所以，，

又因为的面积为4，即，解得，

所以，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，

取，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，

取，

设二面角的大小为，

则有.

20．(1)

(2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．

【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；

（2）①设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，带入的表达式，即可得出为定值；

②根据①中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．

【详解】（1）依题可得，解得：，所以，

即椭圆的方程为．

（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，.

两式相除得，即．

因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．

从而．

②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.

【点睛】利用过x轴上定点斜率不为0的动直线方程设为，简化了直线方程与椭圆方程的联立运算，为后面的求解奠定了运算基础，注意依据题意选取直线方程的形式．

21．(1)极大值为，无极小值；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出的极值作答.

（2）根据函数零点的意义，转化为线与函数图象有两个交点，求出，再借助零点建立两个方程消去a，构造函数证明即可作答.

【详解】（1）当时，定义域为，

求导得，令，

求导得，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，无极小值，

所以的极大值为，无极小值.

（2）依题意，，，因为函数有两个零点，且，

而，则，

因此函数的两个零点分别是直线与函数图象的两个交点横坐标，

，当时，，当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，，

而，时，恒有，于是，即，

令，显然有，

则有，令，

求导得，即函数在上单调递增，，

即有，从而，又，

所以.

【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.

22．(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为

；

(2).

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；

（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.

【详解】（1）由，

因此曲线的普通方程为；

（2）由，

所以直线斜率为，因此该直线的倾斜角为，显然点在该直线上，

设直线的参数方程为(为参数，)，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得，

整理得，，

设点A，对应的参数分别为，.

所以，，则，一正一负，不妨设，，

所以.

23．(1)证明详见解析；

(2)证明详见解析.

【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；

（2）结合（1）的结论，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】（1）证明：∵，

当且仅当a=b=c时，等号成立，

设，∴，

即，解得，

∵a，b，c为正数，∴，

∴.

（2）∵

由（1）可得，∴

∴，

∵，当且仅当时，等号成立.

∴，当且仅当时，等号成立.