河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期末考试理科数学试题

这是一份河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期末考试理科数学试题，共19页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线经过点和，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，
则，而，故，
故选：D.
2. 已知数列，则6是这个数列的（ ）
A. 第6项B. 第12项C. 第18项D. 第36项
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的通项公式求解.
【详解】数列的通项公式为，
令解得，
故选:C.
3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由题可得解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ）
A. 19B. 17C. 15D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.
【详解】
连接，因为，所以,
又因为，,所以，
所以,
故选:D.
5. “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
6. 设，向量，且，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.
【详解】向量，且，
∴，解得，
∴
∴，
∴.
故选：A．
7. 如果实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形即可求解.
【详解】表示圆心为，半径为的圆，
表示上的点与点连线的斜率.
易知直线平行轴，且
当直线为圆的切线时，，,
故，此时直线的斜率为1，
由对称性及图形可得.
故选:A.
8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，则，即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知，
所以，
当且仅当、、三点共线（之间）时取等号.
故选：B
9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ）
（参考数据：）
A. 1429B. 1472C. 1519D. 1571
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可.
【详解】由题可知，
设，
解得.
即，
故数列是首项为，公比为1.1的等比数列.
所以，
则，
所以.
故选：B.
10. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析可得点A在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的最大值.
【详解】对于直线，即，
可得直线过定点，
对于直线，即，
可得直线过定点，
∵，则直线与直线垂直，即，
∴点A在以为直径的圆上，且，
由圆的性质可知：面积的最大值为.
故选：C.
11. 已知数列满足，且，则数列的前18项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.
【详解】由，则，
即，
显然，满足公式，即，
当时，；当时，；当时，；
当时，，当时，；当时，；
则数列是以为周期的数列，由，则，
设数列的前项和为，
.
故选：D.
12. 已知是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根据三角形面积公式可得，设,,则，从而可得，，代入，结合及离心率公式即可求解.
【详解】设，因为在双曲线上，故.
由余弦定理可得
，
所以.
所以.
由题意可得与为直角三角形，所以.
因为是的中点，所以是的中点.
设,,则.
所以.
故
.
所以,解得，.
所以,可得，故.
故选：B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线与直线之间的距离为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.
【详解】直线可化为，
则直线与直线平行,
故直线与直线之间的距离为，
故答案为：.
14. 设、分别在正方体的棱、上，且，，则直线与所成角的余弦值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．
【详解】、分别在正方体的棱、上，且，，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
设直线与所成角为，
则直线与所成角的余弦值．
故答案为：．
15. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意知，直线的方程为：，
由为等腰三角形，，得，
过作垂直于轴，如图，则在中，，
故，，
所以，即，
代入直线，得，即，
所以所求的椭圆离心率为.
故答案为：.
.
16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题：
①也是等差数列；
②数列也是等差数列；
③若，则时，最大；
④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19．
其中所有真命题的序号是_____________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】对①，由等差中项性质判断；
对②，求出数列的通项公式即可判断；
对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断；
对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.
【详解】设数列的公差为d，，首项为，则，，
对①， ，∴不是等差数列，①错；
对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对；
对③，∵，，∴，
，，
∴由定义可知，时，最大，③对；
对④，由题意可设的项数为，
则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的和为，
所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和为.
两式相除得，∴数列的项数是19，④对.
故答案为：②③④.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是数列的前项和，且，，设．
（1）若是等比数列，求；
（2）若是等差数列，求的前项和，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；
（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．
【小问1详解】
解：已知是数列的前项和，且，，，
则，
又是等比数列，设公比为,则，即；
【小问2详解】
解：已知是等差数列，设公差为,
又，，则，
则，即，
则，
则，
则，
即的前项和．
18. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点．
（1）求圆M的方程；
（2）过直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；
（2）根据弦长得出点到直线l的距离，分类讨论直线l的斜率，设出方程，利用点到直线的距离列式，即可得出答案.
【小问1详解】
过点与直线垂直的直线方程为：，即
则直线过圆心，
解得，即圆心为，
则半径为，
则圆M的方程为：；
【小问2详解】
过直线l被圆M截得的弦长为，
则点到直线l的距离，
若直线l的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l的距离为1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
则，解得，
则直线l的方程为：或.
19. 如图， 和所在平面垂直，且．
（1）求证：；
（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；
（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，所以.
因为公共边，
所以，所以,所以.
因为平面，所以平面，
因为平面,所以.
【小问2详解】
当,可设,
作于点,连接，易证两两垂直，
以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，
则,
设平面的法向量为，
,
所以，
令,可得，则.
易知平面，所以平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则,
故平面和平面的夹角的余弦值为.
20. 已知直线与抛物线交于A，B两点．
（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
（2）若交AB于，求p的值．
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式即可求解；
（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，代入即可求解.
【小问1详解】
若，则抛物线，焦点为，
故直线的方程为.
设，
联立，消去，可得，
，故.
故.
【小问2详解】
设直线的方程为，，
因为交AB于，所以，且，
所以，直线的方程为.
又在直线上，所以,解得.
所以直线的方程为.
由，消去，可得，
则.
因为，
所以，
即，解得.
21. 已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2），由错位相减法即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，
两式相减得，即.
故等比数列的公比为3.
故，解得.
所以.
【小问2详解】
，
故①，
②，
①-②，得
，
所以.
22. 已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记A是椭圆的左顶点，若直线l过点且与椭圆C交于M，N两点（M，N与A均不重合），设直线AM，AN的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，定值为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；
（2）直线l的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断.
【小问1详解】
由题意得，，∴椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由题意得，直线l的斜率不为0，设为，，，
联立直线与椭圆消x得，，则，
∴
.
故是定值，为.