山东省济南市市中区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年山东省济南市市中区七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示此数正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，由，能得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度与下滑的时间的关系如下表：

以下结论错误的是(    )

A. 当时，约秒
B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C. 估计当时，一定小于秒
D. 支撑物高度每增加了，时间就会减少秒

5.  一个三角形三个内角的度数之比为：：，这个三角形一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

6.  下列给出的线段长度不能与，构成三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列命题中，真命题有(    )
在同一平面内，两边分别平行的两角相等
两条直线被第三条直线所截，内错角相等
三角形的三条高线所在直线交于一点
如果，那么
过一点有且只有一条直线与已知直线平行

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，已知直线，直线与，分别相交于点，，把一块含角的直角三角尺按如图位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是(    )
长方形的较长边为；
阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
当时，阴影和阴影的面积和为定值．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共22.0分）

11.  若，，则______．

12.  如果是一个完全平方式，那么______．

13.  一个角比它的补角的少，这个角等于______ ．

14.  太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出图中如果，，则 ______ ， ______ ．

15.  如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙，则的大小为______
 

16.  已知动点以每秒的速度沿图的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间秒之间的关系如图中的图象所示其中， ______ ，当 ______ 时，的面积是．
 

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
．
先化简，再求值：，其中，．

19.  本小题分
完成下面的推理过程已知：如图，与互补，，求证：．
证明：与互补即______ ，
______
______
又，已知．
，即______
______ ______ ______
______

20.  本小题分
如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
若的面积为，，求的长；
若，，求的大小．

21.  本小题分
某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度米与操控无人机的时间分钟之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
图中的自变量是______，因变量是______；
无人机在米高的上空停留的时间是______分钟；
在上升或下降过程中，无人机的速度为______米分；
图中表示的数是______；表示的数是______；
图中点表示______．

22.  本小题分
“五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：人以内含人，每人元；超过人时，超过部分每人元．
写出应收门票费元与游览人数人之间的关系式；
若小明一家所在的旅游团购门票花了元，则该旅游团共有多少人．

23.  本小题分
阅读下列材料，完成相应的任务：

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为______．
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：__________________，请补全等式并说明它的正确性．

24.  本小题分
有两个正方形，，边长分别为，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．

用，表示图甲阴影部分面积：______；用，表示图乙阴影部分面积：______．
若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为______．
在的条件下，三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求阴影部分的面积．

25.  本小题分
以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角角板的直角顶点放在处，即．

如图，若直角三角板的一边放在射线上，则 ______ ；
如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
若恰好平分，则 ______ ；
若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；
将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止的过程中，恰好有，求此时的度数．

26.  本小题分
珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，如图，所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒度，灯转动的速度是每秒度．
填空： ______ ；
若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
如图，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据，能得到，故本选项不符合题意；
B.如图，根据，能得到，再根据对顶角相等，可得，于是，故本选项符合题意；

C.根据，不能得到，故本选项不符合题意；
D.根据，不能得到，故本选项不符合题意；
故选：．
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，据此进行判断即可．
本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可得，当时，下滑的时间为秒，因此选项A不符合题意；
B.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化情况可知，随支撑物高度增加，下滑时间越来越短，因此选项B不符合题意；
C.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化趋势可知，当时，一定小于秒，因此选项C不符合题意；
D.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可知，支撑物高度每增加了，时间不都减少秒，因此选项D符合题意；
故选：．
根据表格中下滑时间随支撑物高度的变化规律逐项进行判断即可．
本题考查函数的表示方法，理解表格中下滑时间随支撑物高度的变化关系是正确判断的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设最小角的度数为，则两位两角的度数分别为，，
根据题意得：，
解得：，
，
这个三角形一定是直角三角形．
故选：．
设最小角的度数为，则两位两角的度数分别为，，利用三角形内角和是，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设与，能构成三角形，
则，
即，
故不能与，构成三角形．
故选：．
直接利用三角形三边关系进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边取值范围是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：作的是边上的高，作的不是三角形的高，作的是边上的高，所以都不是的边上的高，而作的是过顶点且与垂直的线，是边上的高线，符合题意．
故选：．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形的高的定义，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
三角形的三条高线所在直线交于一点，正确，是真命题，符合题意；
如果，那么或，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有个，
故选：．
利用平行线的性质及判定，实数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定，实数的性质等知识，属于基础性知识，比较简单．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：

对顶角相等，
，
两直线平行，同旁内角互补．
．
．
故选：．
先由对顶角求出，再根据两直线平行同旁内角互补求出，进而求出．
本题考查平行线的性质和对顶角的性质，解题关键是结合图形利用对顶角性质和平行线的性质对角进行转化和计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：大长方形的长为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，说法正确；
大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
阴影的较短边为，阴影的较短边为，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法错误；
阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的周长为，阴影的周长为，
阴影和阴影的周长之和为，
若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法正确；
阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的面积为，阴影的面积为，
阴影和阴影的面积之和为，
当时，，说法错误．
综上所述，正确的说法有．
故选：．
观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法正确；
由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法错误；
由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，结合为定值可得出说法正确；
由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法错误．
本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当，时，



．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
 

12.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
所以，
所以，即；
，
所以，
即．
故答案为：或．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这个角为，则它的补角为，由题意得，
，
解得，
故答案为：．
根据补角的意义，设未知数列方程求解即可．
本题考查互为补角的意义，用方程求解是常用的方法．
 

14.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：；．
根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，根据翻折不变性可知，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】  或 

【解析】解：动点在上运动时，对应的时间为到秒，
，
，
动点在上运动时，对应的时间为到秒，
；
动点在上运动时，对应的时间为到秒，
，
故图甲中的长是，，
，
，
或，
解得或．
故答案为：，或．
根据题意得：动点在上运动的时间是秒，又由动点的速度，可得、的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：


；




，
当，时，
原式

． 

【解析】先算完全平方，多项式乘多项式，再去括号，最后合并同类项即可；
利用整式的相应的运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】  同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，内错角相等  等式的性质      内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等． 

【解析】证明：与互补，
即已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
，即等式的性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；、；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
首先判断，然后根据平行线的性质，以及平行线的判定方法证明，根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质以及平行线的判定方法，正确证明是关键．
 

20.【答案】解：因为是的中线，，
所以，
因为是的高，的面积为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
因为是的高，
所以．
所以． 

【解析】利用面积法求解即可．
求出，再根据求解即可．
本题考查三角形内角和定理、邻补角定义、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
 

21.【答案】时间或，高度或；
；
；
，；
在第分钟时，无人机的飞行高度为米． 

【解析】

解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间或，因变量是高度或；
无人机在米高的上空停留的时间是分钟；
在上升或下降过程中，无人机的速度米分；
图中表示的数是分钟；表示的数是分钟；
图中点表示在第分钟时，无人机的飞行高度为米；
故答案为：时间或；高度或；；；；；在第分钟时，无人机的飞行高度为米．
【分析】
根据图象信息得出自变量和因变量即可；
根据图象信息得出无人机在米高的上空停留的时间分钟即可；
根据速度路程时间，计算即可；
根据无人机的速度和高度即可；
根据点的实际意义解答即可．
此题考查图象问题，从图象中获取信息，要结合题意熟练掌握．  

22.【答案】解：根据题意可得，
；
因为，所以旅游团人数超过人，
把代入中，
得：，
解得：．
该旅游团共有人． 

【解析】解答：见答案。
分析：
根据题意当人数小于等于人时，可得，当人数超过人时，可得，计算即可得出答案；
因为，所以旅游团人数超过人，把代入中，计算即可得出答案．
本题主要考查了函数关系式，根据题意写出函数关系式进行求解是解决本题的关键．
 

23.【答案】
   
证明：左边
右边
故等式成立． 

【解析】解：由题意得：第个“三角形数”是，第个“三角形数”是，
所以第个“三角形数”与第个“三角形数”的和为，
故答案为：；
第个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律为：，
证明：
，
故答案为：，，．
根据题意得出第个“三角形数”和第个“三角形数”，计算即可；
根据题意总结规律，根据完全平方公式证明结论．
本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

24.【答案】，  ；
 ；
由知：，，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以图丙阴影部分面积为：． 

【解析】解：图甲阴影部分面积为：；
图乙阴影部分面积为：．
故答案为：；．
根据题意，得：，，
所以，
所以正方形，的面积之和为．
故答案为：．
由知：，，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以图丙阴影部分面积为：．
利用正方形面积公式即可得出答案；
根据题意，建立方程并利用乘法公式即可解决问题；
由面积和差公式可求解．
本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】   

【解析】解：由题意得，
，
，
故答案为；
，，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
，，
，
，
，
，
即与数量关系为：．
当在的内部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
；
当在的外部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
利用余角的定义可求解；
由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
由，，结合的度数可求解；
可分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，根据角的和差可求解．
本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】解：；
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
，
，
，
，
，
解得 ；
当时，如图，
，
，
，
，
解得  ，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
．
理由：设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
：：，
即． 

【解析】解：，，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据，：：，即可得到的度数；
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得；
设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出：：，据此可得和关系不会变化．
本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．