山东省济南市市中区舜耕中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

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2022-2023学年山东省济南市市中区舜耕中学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  观察下列图形，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列代数式是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，等腰中，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，，旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  若能用完全平方公式因式分解，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  若解分式方程产生增根，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，为的中点，，垂足为过点作交的延长线于点，连接，现有如下结论：；；平分；；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知，，那么代数式的值______ ．

12.  使得分式值为零的的值是______．

13.  如图，已知函数和的图象交于点，则不等式的解集为______．

14.  如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为______．

15.  已知，，则的值等于______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式，得，
则，
，，
解得，，
另一个因式为，的值为．
依照以上方法解答下面问题：
若二次三项式可分解为，则______．
若二次三项式可分解为，则______．
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
因式分解：
 

19.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足．，求证：．

21.  本小题分
计算：
；
．

22.  本小题分
如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，在图中画出第二次平移后的图形；
将绕点按逆时针方向旋转，在图画出旋转后的图形；
我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______．
 

23.  本小题分
某中学为落实“山西新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个排球的价格比每个足球的价格贵元，用元购买足球的数量与用元购买排球的数量相同．
分别求出足球和排球的单价．
若学校计划用不超过元的经费购进足球、排球共个，那么最多可以购进排球多少个？

24.  本小题分
如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
试问出发几秒后，为等边三角形？
试问出发几秒后，为直角三角形？

25.  本小题分
阅读理解
材料：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：

从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式如：．
根据上述材料完成下列问题：
当时，随着的增大，的值______ 增大或减小；
当时，随着的增大，的值______ 增大或减小；
当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
当时，求代数式值的范围．

26.  本小题分
在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．
如图，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；
如图，当点落在线段不含边界上时，与交于点，请问中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
在的条件下，若，当为何值时，为等腰三角形．直接写出答案

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题主要考查中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由不等式的基本性质可知A正确；
B、由不等式的基本性质可知B正确；
C、由不等式的性质可知C正确；
D、不符合不等式的基本性质，故D错误．
故选：．
依据不等式的基本性质解答即可．
本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是分式，故此选项符合题意；
B、是整式，故此选项不符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是整式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用分式定义进行解答即可．
此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
利用因式分解的定义判断即可．
【解答】
解：根据题意得：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：处是空心圆点，且折线向右，
这个不等式可能是．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
又边的垂直平分线交于点，
，
，
．
故选：．
由于，，根据等边对等角可以得到，又边的垂直平分线交于点，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和求出即可求出的度数．
此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
首先在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得的度数，然后在直角中利用三角形内角和定理求解．
本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．
【解答】
解：，
，
在直角中，．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】
解：能用完全平方公式因式分解，
，
，
解得：或．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
，
原方程增根为，
把代入整式方程，得，
故选：．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：正确．易证是等腰直角三角形，故BF．
正确．，，，
≌，
，
，
，
．
错误．，
是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
正确．在中，，易证．
正确．≌，
，
，
，
．
故选：．
正确．易证是等腰直角三角形，故BF．
正确．由≌，推出，由，推出，即．
错误．由，推出是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
正确．在中，，易证．
正确．由≌，推出，推出，由，即可推出．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，



．
故答案为：．
利用平方差公式可得，然后把已知条件代入求值即可．
本题主要考查平方差公式：两个两项式相乘；有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
故答案为：
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意及图象得：不等式的解集为，
故答案为：
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，，，
，即阴影部分的面积，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据平移的性质得到，，进而得出阴影部分的面积，根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查的是平移的性质、梯形的面积计算，掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据，，将所求式子通分，即可求得所求式子的值．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
，
将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的正半轴上，
点的坐标是
故答案为：
根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
 

17.【答案】解：；
；
  设另一个因式为，得，
则，
，，
解得，，
另一个因式为，的值为． 

【解析】

解：，
，
解得：；
故答案为：；
，
．
故答案为：；
见答案．
【分析】
将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值；
展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值；
设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．  

18.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】根据提公因式，平方差公式，可得答案
根据提公因式，完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，一提，二套，三检查，分解要彻底．
 

19.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以这个不等式组的解集，
在数轴上表示解集为：
． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
 

20.【答案】证明：如图，在和中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】先利用定理证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得．
本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把分解因式，然后约分即可；
先通分，然后进行同分母的减法运算即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是．
故答案为．
利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可；
确定的中点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

23.【答案】解：设每个足球的进价为元，则每个排球的进价为元，
根据题意得．
解得．
经检验是原分式方程的解．
元．
篮球的进价为元，排球的进价为元．
答：足球的单价为元，排球的单价为元；
设该学校可以购进排球个，则购进足球个，
根据题意，得．
解得．
是整数，
，
答：最多可以购进排球个． 

【解析】设每个足球的单价为元，则每个排球的单价为元，根据“用元购买足球的数量与用元购买排球的数量相同”得到方程，即可解得结果；
设该学校可以购进排球个，则购进足球个，根据题意得不等式组即可得到结果．
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找准数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：出发秒后，为等边三角形，则、，
，
，
当时，为等边三角形，
，
解得，
即出发秒后，为等边三角形；
设经过秒，是直角三角形，
当时，
，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，
，即，
解得：，
综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 

【解析】设时间为，表示出、、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
分两种情况：时，即可知，依据列方程求解可得；时，知，依据列方程求解可得．
本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】减小  减小 

【解析】解：当时随着的增大而减小，
随着的增大，的值减小；
当时随着的增大而减小，
，
随着的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小．
，
当时，的值无限接近，
的值无限接近．
，
又，
，
．
由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
由，即可求解；
由，再结合的取值范围即可求解．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图中，

，，
，
，
，
在 和 中，
，
≌，
，，
，
；
中的结论成立．
证明：如图中，

，，
．
，
．
在 和 中，
，
≌，
，．
．
即．
，
．

落在线段不含边界，
只有两种情形：．
当时，如图中，

，
，
，，
，，
，
．
当时，如图中，

，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】利用定理证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；
结论成立，同的证明方法相同；
由题意落在线段不含边界，推出只有两种情形：分别利用等腰三角形的判定和性质解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．