高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课文课件ppt

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1. 掌握平面向量数量积的坐标表示．2. 掌握向量垂直的坐标表示．
1. 两个非零平面向量a与b垂直的等价条件：
活动一 掌握平面向量数量积的坐标表示
2. 设x轴上单位向量为i，y轴上单位向量为j，则i·i＝________，j·j＝________，i·j＝j·i＝________.
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．(1) 将a，b用向量i和j表示；
【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b；
【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.
(3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b.
【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
4. 平面向量数量积的坐标表示．(1) 平面向量数量积的坐标表示：根据上述探究，如果两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么平面两向量数量积的坐标表示为：
【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2，
特别地，设a＝(x，y)，则a·a的几何意义是什么？你能得到什么结论？(|a|2＝？，即|a|＝？)
【解析】 a·a的几何意义是向量a在向量a上的投影向量与向量a的数量积．
(3) 两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)：①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角是θ，根据向量数量积的定义，如何用向量a和b的坐标来表示它们夹角的余弦？②特别地，若a⊥b，则向量a和b的坐标满足什么条件？③反之，向量a和b的坐标满足上述条件，则a⊥b成立吗？由此得出：a⊥b ⇔ a·b＝0 ⇔ ________________________.
例1　若点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
活动二 掌握平面向量数量积的坐标表示的应用
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC是直角三角形，证明如下：
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标． 
例2　已知a＝(3，－1)，b＝(1,2)，求满足x·a＝9与x·b＝4的向量x.
【解析】 设x＝(m，n)，
已知a＝(4,3)，则与a垂直的单位向量的坐标是___________________.
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系，从而解决一些相关问题．
(1) 求证：|a|＝2|b|，且a⊥b；(2) 设向量x＝a＋(t＋4)b，y＝a＋tb，且x⊥y，求实数t的值．
1. (2022·郴州期末)若向量a＝(1，x)，b＝(1－x,2)，且a⊥(a－b)，则x的值为(　　)A. －1 B. 0C. 1 D. 0或1
【解析】 a－b＝(1，x)－(1－x,2)＝(x，x－2)．由a⊥(a－b)，得x＋x2－2x＝0，即x2－x＝0，解得x＝0或x＝1.
2. 已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
4. 已知点A(7,5)，B(2,3)，C(6，－7)，那么△ABC的形状为________.
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)．(1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值；(2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，即2(m－1)＋(－2)×(－4)＝0，解得m＝－3.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即－m－8<0，解得m>－8.当a与b共线时，2m＝4，解得m＝2，此时a和b反向，不满足题意，故m的取值范围为(－8,2)∪(2，＋∞)．