2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中一定相等的是(    )

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

3.  年合肥市约亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶，亿用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，两条直线，中，，，顶点、分别在和上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点，则该函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程的解的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，则下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

10.  如图，在中，，，过点作，连接交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是______ ．

13.  如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴垂足分别为点，若，则的值为______ ．

14.  如图，在中，是边上的中线，，．
当时， ______ ；
当面积最大时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
．

16.  本小题分
已知：三个顶点的坐标分别为，，．
以点为位似中心，在第一象限将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
若点是内任意一点，点在内的对应点为，则点的坐标为______ ；
请用无刻度直尺将线段三等分．

17.  本小题分
从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择方式：打车从南北一号高架，全程，交通比较拥堵；方式：乘坐轨道交通号线，路程，平均速度是方式的倍，用时比方式少分钟，求按方式从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？

18.  本小题分
细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．其中表示图中第个三角形的面积
用含有是正整数的式子表示：______，______；
若一个三角形的面积是，请通过计算说明这是第几个三角形：
求出的值．

19.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，在中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点．
求证：；
求的长．

21.  本小题分
某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图图都不完整．

请根据以上信息，解答下列问题：
请把这幅条形统计图补充完整画图后请标注相应的数据；
在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访______次；
若该市有名教师，则近两周家访不少于次的教师约有______人．

22.  本小题分
年月日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每千克成本为元市场调查发现，在一段时间内，销售量千克随销售单价元千克的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克设这种中草药在这段时间内的销售利润为元：
求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
如果该药店想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？

23.  本小题分
综合与实践
问题解决：
已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角三角形，，连接如图，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
如图，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
将绕点旋转一周，当时，若，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故选：．
根据去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则计算，即可判断出答案．
此题考查了去括号法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和单项式乘单项式法则，关键是掌握这些运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据立体图可知该左视图是底层有个小正方形，第二层左边有个小正方形．
故选：．
根据三视图的定义即可判断．
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
首先再利用等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，进而利用平行线的性质解答，解答即可．
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，根据它们的性质解答是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．把的坐标代入，求出的值，从而求得解析式即可判断．
【解答】
解：函数的图象过点，
，解得，
，
直线交轴的正半轴，且过点，
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程的解的结果有，，共种，
摸出的小球上的数都是方程的解的概率为．
故选：．
先求出一元二次方程的解，再画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的小球上的数都是方程的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、解一元二次方程因式分解法，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由余角的性质可证，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为或，
故选：．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，如图，
，，，
．
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
四边形为正方形，
，．
∽，
，
．
，
．
故选：．
过点作于点，连接，利用等腰直角三角形的性质得到，利用正方形的判定得到四边形为正方形，利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，则结论可得．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，过点作于点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【解答】
解：

故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，由圆周角定理得到，即可求出的度数．
本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，关键是掌握圆周角定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
则的面积，而矩形的面积为，
则，
解得：舍去或，
故答案为：．
分别求出矩形与的面积，即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形与的面积是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
，是边上的中线，
，
故答案为：；
是边上的中线，，
，
当的值取的最大值时，面积最大，
当时，的值最大，
垂直平分，
，
由知，当时，是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
根据已知条件得到，当的值取的最大值时，面积最大，当时，的值最大，求得，由知，当时，是等腰直角三角形，于是得到结论．
本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，判断是等腰直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
由题意得，点的坐标为．
故答案为：．
如图，点，将线段三等分．
根据位似的性质作图即可．
根据位似的性质可得答案．
取格点，，，，连接，，分别交于点，，此时，，即点，将线段三等分．
本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设方式的速度为，则设方式的速度为，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
分钟，
答：按方式从合肥火车站到高铁南站需要分钟． 

【解析】设方式的速度为，则设方式的速度为，依题意得：，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
，，，，
所以．
．
故答案为：，．
当时，有：，
解之得：，
即它是第个三角形．


．
由勾股定理及直角三角形的面积求解；
利用的规律代入，求出即可；
算出第一到第十个三角形的面积后求和即可．
本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
 

19.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
，，
，
是直径，
，即，
，
，，
是的中位线，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
而，
；
解：连接，
在中，根据勾股定理得，，
点是中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用已知条件证明，即可得到，最后利用同角的余角相等即可求解；
连接，先利用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，利用面积法即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

21.【答案】被调查的总人数为人，
则家访次的人数为人，
补全图形如下：

在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访次，
故答案为：；
近两周家访不少于次的教师约有人，
故答案为：． 

【解析】由次的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数减去其它次数的人数求得次的人数即可得；
根据加权平均数的公式计算可得；
用总人数乘以样本中次、次及次人数和占被调查人数的比例即可得．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：由题意可得，
，
当时，取得最大值，
答：与的关系式是，当时，的值最大；
当时，，
解得，，
物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克，
，
答：如果该药店想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为每千克元． 

【解析】根据题意，可以写出与的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到取何值时，的值最大；
将代入中的函数，求出的值即可，注意价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：，，
理由：如图，延长交于点，
四边形是正方形，点在上，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
．
证明：如图，在上截取，连接，
，，，
≌，
，
，
≌，
，，
，
，
，
．
解：当，且点在直线右侧时，如图，
，，
，
，
点在上，点与点重合，
作于点，则，
，，
，
，
，
；
当，且点在直线左侧时，如图，设与交于点，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
点在上，点与点重合，
作于点，则，
，，
，
，
综上所述，线段的长为或． 

【解析】延长交于点，由正方形的性质得，，因为，，所以，可证明≌，得，，则，即可证明；
在上截取，连接，先证明≌，得，再证明≌，得，，可推导出，则，所以；
分两种情况，一是，且点在直线右侧，可证明点在上，点与点重合，作于点，则，，所以，则；二是，且点在直线左侧，可证明≌，得，，进而证明，则，所以点在上，点与点重合，作于点，可求得，，则．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．