2023届高考数学二轮复习 微专题作业1 变角与变式在三角求值中的应用（含解析）

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1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋csα＝－eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))的值为________．
2．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,6)，则tanα＝________．
3．已知θ为锐角，cs(θ＋30°)＝eq \f(4,5)，则sinθ＝______．
4．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5).则
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))的值为________．
5．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).则csβ的值为________．
6．已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
7.已知向量m＝(eq \r(3)csx，－1)，n＝(sinx，cs2x)．
(1)当x＝eq \f(π,3)时，求m·n的值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且m·n＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，求cs2x
的值．
微专题1
1．答案：－eq \f(1,3).
解析：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋csα＝－eq \f(\r(3),3)，展开化简可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝
cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3).
2．答案：eq \f(7,5).
解析：tanα＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq \f(7,5).
3．答案：eq \f(3\r(3)－4,10).
解析：因为θ为锐角，cs(θ＋30°)＝eq \f(4,5)，所以sin(θ＋30°)＝eq \f(3,5)，所以sinθ＝sin[(θ＋30°)－30°]＝sin(θ＋30°)cs 30°－cs(θ＋30°)sin30°＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)－4,10).
4．答案：eq \f(4－3\r(3),10).
解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，所以θ－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝－eq \f(2\r(5),5).sinθ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝－eq \f(\r(10),10).
csθ＝－eq \r(1－sin2θ)＝
－eq \f(3\r(10),10).所以sin2θ＝2sinθ·csθ＝eq \f(3,5)，cs2θ＝1－2sin2θ＝eq \f(4,5).所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝cs 2θcseq \f(π,3)－sin2θsineq \f(π,3)＝eq \f(4－3\r(3),10).
5．答案：eq \f(9\r(10),50).
解析：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，从而－eq \f(π,2)<α－βcs[α－(α－β)]＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
6．答案：2eq \r(3)－4.
解析：由sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)－\f(π,12)))＝
3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)＋\f(π,12)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \f(π,12)＝
－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sineq \f(π,12)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2taneq \f(π,12)＝2eq \r(3)－4.
7．答案：(1)eq \f(1,2)；(2)eq \f(3\r(2)－\r(3),6).
解析：(1)当x＝eq \f(π,3)时，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，所以m·n＝eq \f(3,4)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
(2)m·n＝eq \r(3)csxsinx－cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x－eq \f(1,2)＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2)，若m·n＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(6),3)，则cs2x＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))×eq \f(\r(3),2)－
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(2)－\r(3),6).
8．答案：(1)－eq \f(3,5)；(2)eq \f(π,4).
解法1(1)由m⊥n得，2csα－sinα＝0，sinα＝2csα，代入cs 2α＋sin2α＝1，5cs2α＝1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则csα＝eq \f(\r(5),5)，sinα＝eq \f(2\r(5),5)，则cs2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(3,5).
(2)由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))得，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).因为sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，则
cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).则sinβ＝
sin[(α－(α－β)]＝sinαcs(α－β)－csαsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则β＝eq \f(π,4).
解法2(1)由m⊥n得，2csα－sinα＝0，tanα＝2，故cs2α＝cs2α－
sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－4,1＋4)＝－eq \f(3,5).
(2)由(1)知，2csα－sinα＝0，cs2α＋sin2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinα＝eq \f(2\r(5),5)，csα＝eq \f(\r(5),5)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))得，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).因为sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，则
cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).则sinβ＝
sin[(α－(a－β)]＝sinαcs(α－β)－csαsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得β＝eq \f(π,4).