2022-2023学年变式题 2022年高考北京数学高考真题变式题库 （解析版）

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 2022年高考北京数学高考真题变式题库
【原卷 1 题】 知识点 补集的概念及运算

【正确答案】
D
【试题解析】


1-1（基础） 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

1-2（基础） 若全集，，则（ ）
A.或 B.或
C. D.或
【正确答案】 D

1-3（基础） 设全集，集合，那么（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-4（基础） 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-5（巩固） 已知全集，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

1-6（巩固） 已知全集，集合，则=（ ）
A.或 B.或
C. D.
【正确答案】 D

1-7（巩固） 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-8（巩固） 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

1-9（提升） 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

1-10（提升） 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

1-11（提升） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

1-12（提升） 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 2 题】 知识点 求复数的模,复数的除法运算

【正确答案】
B
【试题解析】


2-1（基础） 已知复数(i是虚数单位)，则( )
A. B.2 C.1 D.
【正确答案】 A

2-2（基础） 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

2-3（基础） 已知是虚数单位，则复数的模长是（ ）
A. B. C.2 D.
【正确答案】 D

2-4（基础） 若复数，则（ ）
A.1 B.3 C. D.
【正确答案】 A

2-5（巩固） 已知复数满足，则复数的模为（ ）
A. B.2 C. D.
【正确答案】 A

2-6（巩固） 已知复数，那么（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-7（巩固） 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-8（巩固） 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.2
【正确答案】 C

2-9（提升） 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

2-10（提升） 若复数z满足，则（ ）．
A. B. C.2 D.
【正确答案】 A

2-11（提升） 已知复数满足，则（ ）
A. B. C.2 D.5
【正确答案】 B

2-12（提升） 设，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
【正确答案】 A

【原卷 3 题】 知识点 由标准方程确定圆心和半径

【正确答案】
A
【试题解析】


3-1（基础） 若直线平分圆，则的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【正确答案】 A

3-2（基础） 若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ ）
A. B.-1 C.2 D.1
【正确答案】 D

3-3（基础） 若直线经过圆的圆心，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】 A

3-4（基础） 已知圆关于直线对称，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
【正确答案】 C

3-5（巩固） 圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　）
A.－1 B.±1 C.－2 D.±2
【正确答案】 D

3-6（巩固） 已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数a的值为（ ）．
A.11 B. C.1 D.4
【正确答案】 C

3-7（巩固） 已知直线，若圆上存在两点，关于直线对称，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

3-8（巩固） 若直线始终平分圆，则（ ）
A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6
【正确答案】 A

3-9（提升） 若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.
【正确答案】 D

3-10（提升） 当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A. B.-1 C.1 D.
【正确答案】 C

3-11（提升） 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-12（提升） 已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为（ ）
A.(2，4)∪(6，8) B.(2，4]∪[6，8) C.(2，4) D.(6，8)
【正确答案】 A

【原卷 4 题】 知识点 指数幂的化简、求值,指数函数的判定与求值

【正确答案】
C
【试题解析】


4-1（基础） 已知函数，则（ ）
A.是奇函数，且在上是增函数
B.是偶函数，且在上是增函数
C.是奇函数，且在上是减函数
D.是偶函数，且在上是减函数
【正确答案】 A

4-2（基础） 已知函数为奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C.4 D.
【正确答案】 B

4-3（基础） 若函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.10 C.4 D.2
【正确答案】 B

4-4（巩固） 已知函数的定义域为，当时，；当时，，当时，.则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

4-5（巩固） 设函数，则（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是偶函数 D.是奇函数
【正确答案】 D

4-6（巩固） 已知函数，则（ ）
A. B. C.7 D.
【正确答案】 B

4-7（巩固） 定义在上的函数满足，当时，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.4
【正确答案】 A

4-8（提升） 已知，则
A.2018 B. C.2019 D.
【正确答案】 B

4-9（提升） 已知函数，则（ ）
A. B.
C.4 D.4042
【正确答案】 C

4-10（提升） 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

4-11（提升） 已知函数是奇函数，则实数a＝（ ）
A.1 B.2 C. D.
【正确答案】 A

【原卷 5 题】 知识点 求cosx型三角函数的单调性,二倍角的余弦公式

【正确答案】
C
【试题解析】


5-1（基础） 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.在内单调递增 B.在内单调递减
C.在内单调递增 D.在内单调递减
【正确答案】 B

5-2（基础） 函数的单调递减区间是（ ）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
【正确答案】 A

5-3（基础） 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-4（基础） 函数在上的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-5（巩固） 若函数在区间D上单调递减，则D可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-6（巩固） 函数f（x）cos2sinx（x∈[0,π]）的单调递增区间为（ ）
A.[0,] B.[0,] C.[,π] D.[,π]
【正确答案】 C

5-7（巩固） 下列区间中，使得函数与函数都单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

5-8（巩固） 下列函数中最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-9（提升） 设函数（，）图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与x轴的交点B，若B是的图象与x轴的所有交点中距离点A最近的点，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

5-10（提升） 已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

5-11（提升） 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

5-12（提升） 将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

【原卷 6 题】 知识点 探求命题为真的充要条件,等差数列的单调性

【正确答案】
C
【试题解析】


6-1（基础） 等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 A

6-2（基础） 已知等比数列满足，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 A

6-3（基础） 已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 C

6-4（基础） 设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 C

6-5（巩固） 设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 C

6-6（巩固） 已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
【正确答案】 A

6-7（巩固） 已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 A

6-8（巩固） 设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【正确答案】 A

6-9（提升） 等差数列的公差为d，前n项和为，设甲：；乙：是递减数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【正确答案】 D

6-10（提升） 已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【正确答案】 B

6-11（提升） 等比数列中，公比为q，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【正确答案】 D

6-12（提升） 设正项等比数列的公比为q，且，则“为递增数列”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
【正确答案】 A

【原卷 7 题】 知识点 对数的运算,根据折线统计图解决实际问题

【正确答案】
D
【试题解析】


7-1（基础） 朗伯比尔定律（Lambert-Beerlaw）是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为，b为吸收层厚度，单位为.保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-2（基础） 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据：，）
A.2.9 B.3.4 C.3.9 D.4.4
【正确答案】 B

7-3（基础） 瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-4（基础） 某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（）（ ）
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
【正确答案】 D

7-5（巩固） 科学家曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.若物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间后物体的温度将满足，其中k为正的常数.在这个函数模型中，下列说法正确的是(注：)（ ）
A.设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
B.设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
C.某物体的温度从下降到所需时间比从下降到所需时间长
D.某物体的温度从下降到所需时间和从下降到所需时间相同
【正确答案】 A

7-6（巩固） 国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（ ）
（参考数据：，）

A.5 B.6 C.7 D.8
【正确答案】 B

7-7（巩固） 2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平，叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-8（巩固） 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：

A.宋 B.唐 C.汉 D.战国
【正确答案】 D

7-9（巩固） 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：

①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【正确答案】 C

7-10（提升） 某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度与过滤时间之间的关系式为（，k为常数），且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除的污染物.现有如下说法：①；②经过1个小时的过滤后，能够消除的污染物；③经过5个小时的过滤后，废气中剩余的污染物低于原来的.则其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【正确答案】 B

7-11（提升） 在经济学中，供应和需求是一对矛盾．考虑某种商品的市场，当该商品的价格上升时，商家的供应量会增加，而消费者的需求量会减小．反之，如果价格降低，则供应量减小，需求量增加．习惯上以纵轴t表示商品的价格（单位：元/件），横轴s表示商品的量（单位：件），则供应量、需求量与价格的关系可以在同一坐标系中用两条曲线表示，分别称为供应曲线、需求曲线．为刺激经济，政府给消费者发放消费券，或者给商家提供一定的金额进行补贴．在商品价格不变的情况下，给消费者发放补贴会增加需求量，给商家发放补贴会增加供应量．如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.P是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位
B.P是需求曲线，当政府给消费者补贴a元/件时，需求曲线向上平移a个单位
C.Q是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位
D.Q是需求曲线，当政府给消费者补贴a元件时，需求曲线向上平移a个单位
【正确答案】 D

7-12（提升） 首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A.存款金额的首位数字是1的概率约为
B.存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C.存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D.存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【正确答案】 D

7-13（提升） 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
【正确答案】 B

【原卷 8 题】 知识点 奇次项与偶次项的系数和

【正确答案】
B
【试题解析】


8-1（基础） 若，则( )
A.27 B.－27 C.54 D.－54
【正确答案】 B

8-2（基础） 若，则的值是（ ）
A. B. C.2 D.1
【正确答案】 A

8-3（基础） 已知，则（ ）
A.256 B.255 C.512 D.511
【正确答案】 D

8-4（基础） 若，则（ ）
A.121 B.-122 C.-121 D.122
【正确答案】 B

8-5（巩固） 若，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
【正确答案】 C

8-6（巩固） 已知，若，则（ ）
A.992 B.－32 C.－33 D.496
【正确答案】 D

8-7（巩固） 已知，则的值为（ ）
A.24 B. C. D.72
【正确答案】 B

8-8（巩固） 设，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

8-9（提升） 若，则=（ ）
A.244 B.1 C. D.
【正确答案】 D

8-10（提升） 已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（ ）
A.1 B.243 C.121 D.122
【正确答案】 B

8-11（提升） 已知，求的值是（ ）
A. B. C.1 D.－1
【正确答案】 D

8-12（提升） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 9 题】 知识点 描述法表示集合,球的截面的性质及计算,立体几何中的轨迹问题

【正确答案】
B
【试题解析】


9-1（基础） 已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

9-2（基础） 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点P在ABCD内,且到直线AA1，BB1的距离之和等于,则△PAB的面积最大值是（　　　　）
A. B.1 C. D.2
【正确答案】 C

9-3（基础） 已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

9-4（基础） 已知过平面外一点A的斜线l与平面所成角为，斜线l交平面于点B，若点A与平面的距离为1，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

9-5（巩固） 在棱长为的正方体中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，若|PQ|＝2，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是
A. B. C.3 D.4π
【正确答案】 B

9-6（巩固） 如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点N在正方体的底面内运动，则的中点P的轨迹的面积是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

9-7（巩固） 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）

A.8 B.4 C. D.
【正确答案】 D

9-8（巩固） 已知正方体的棱长为，M为的中点，点N在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）
A. B. C.5 D.25
【正确答案】 B

9-9（提升） 在正四面体中，分别是棱的中点，分别是直线上的动点，且满足，是的中点，则点的轨迹围成的区域的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

9-10（提升） 已知棱长为3的正四面体的底面确定的平面为，是内的动点，且满足，则动点的集合构成的图形的面积为（ ）

A.3 B.
C. D.无穷大
【正确答案】 B

9-11（提升） 已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若．则面积的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.5
【正确答案】 B

9-12（提升） 已知棱长为3的正四面体，是空间内的任一动点，且满足，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的图形的面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
【正确答案】 C

【原卷 10 题】 知识点 求含sinx(型)函数的值域和最值,辅助角公式,数量积的坐标表示

【正确答案】
D
【试题解析】


10-1（基础） 如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为2的正方形的边和上移动，则的最大值是（ ）

A.4 B. C. D.2
【正确答案】 D

10-2（基础） 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

10-3（基础） 在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
\
A. B. C. D.
【正确答案】 B

10-4（基础） 如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（ ）

A. B. C.0 D.2
【正确答案】 B

10-5（巩固） 的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】 C

10-6（巩固） 如图，在，，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

10-7（巩固） 已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

10-8（巩固） 正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

10-9（巩固） 已知边长为1的正方形中，点P是对角线上的动点，点Q在以D为圆心以1为半径的圆上运动，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

10-10（巩固） 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且，则的最小值为（ ）

A. B.15 C.16 D.17
【正确答案】 B

10-11（巩固） 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）

A.24 B. C. D.
【正确答案】 B

10-12（提升） 在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

10-13（提升） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

10-14（提升） 如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

10-15（提升） 在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

【原卷 11 题】 知识点 具体函数的定义域

【正确答案】

【试题解析】


11-1（基础） 函数的定义域是________
【正确答案】

11-2（基础） 函数的定义域是__________．
【正确答案】 或

11-3（基础） 函数的定义域为______．
【正确答案】 且

11-4（基础） 函数的定义域是___________.
【正确答案】

11-5（巩固） 函数的定义域是___________.
【正确答案】

11-6（巩固） 函数的定义域为___________.
【正确答案】

11-7（巩固） 函数的定义域为______．
【正确答案】

11-8（巩固） 函数的定义域为___________.
【正确答案】

11-9（提升） 函数的定义域是_________
【正确答案】

11-10（提升） 函数的定义域为___________.
【正确答案】

11-11（提升） 函数的定义域是_______．
【正确答案】

11-12（提升） 函数的定义域为______.
【正确答案】

【原卷 12 题】 知识点 根据双曲线的渐近线求标准方程

【正确答案】
-3
【试题解析】


12-1（基础） 已知双曲线的渐近线方程为，则______．
【正确答案】

12-2（基础） 已知双曲线的一条渐近线为，则 __________.
【正确答案】 1

12-3（基础） 若双曲线的渐近线方程为，则___________.
【正确答案】

12-4（基础） 已知双曲线，的一条渐近线方程为，则______．
【正确答案】 或0.5

12-5（巩固） 能说明“若，则方程表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为的双曲线”的一组m，n的值是___________.
【正确答案】 （答案不唯一）

12-6（巩固） 双曲线的渐近线方程为，则________．
【正确答案】 或 0.25

12-7（巩固） 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则=_________．
【正确答案】 或

12-8（巩固） 已知双曲线的渐近线方程为，则________.
【正确答案】

12-9（提升） 若双曲线（，）的一个焦点，一条渐近线的斜率为，则________.
【正确答案】 4

12-10（提升） 若双曲线的渐近线方程为且一个焦点为，则______.
【正确答案】 4

12-11（提升） 已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．
【正确答案】 2

12-12（提升） 已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则______．
【正确答案】

【原卷 13 题】 知识点 辅助角公式,根据零点求函数解析式中的参数

【正确答案】

【试题解析】


13-1（基础） 已知函数相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则______；______.
【正确答案】 2 1

13-2（基础） 若函数有两个零点,则实数m的取值范围为________,两个零点之和为________.
【正确答案】

13-3（基础） 已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为__________，的取值范围是__________．
【正确答案】 1

13-4（基础） 已知，则___________，___________.
【正确答案】 ； .

13-5（巩固） 已知x1＝，x2＝是函数相邻的两个零点，则φ＝__；若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是__.
【正确答案】 （﹣，]

13-6（巩固） 已知函数.
①若，则函数的对称轴方程为________；
②若函数在区间上有且仅有三个零点，则的值是____________.
【正确答案】

13-7（巩固） 已知函数，且图象的相邻对称中心之间的距离为，，则________；若在上有2个零点，则实数m的取值范围为________.
【正确答案】

13-8（提升） 若函数与有相同的零点，其中，且在上有且只有一个零点，则的值为____________，实数的最小值为____________.
【正确答案】 或60°或 或15°或

13-9（提升） 已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________．
【正确答案】 1

13-10（提升） 已知函数f（x）=cos（2x+）（-<<0）
①函数f（x）的最小正周期为_______；
②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则的值是_______
【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 分段函数的性质及应用,根据分段函数的单调性求参数,根据分段函数的值域（最值）求参数

【正确答案】
①. 0（答案不唯一）    ②. 1
【试题解析】


14-1（基础） 设函数.①若，则的最大值为___________.②若无最大值，则实数的取值范围是___________.
【正确答案】 0

14-2（基础） 若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.
【正确答案】

14-3（基础） 函数.
（1）当时的值城为___________.
（2）若的值域为，则实数a的取值范围为___________.
【正确答案】 或

14-4（基础） 设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【正确答案】 2

14-5（巩固） 已知函数，若，则的值域是___________；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
【正确答案】

14-6（巩固） 若函数（且），当时，________；若该函数的值域是，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】 5

14-7（巩固） 已知函数，若，则的值域是______；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
【正确答案】 ； ；

14-8（巩固） 已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
【正确答案】

14-9（提升） 设函数，则_______；当 时，函数的值域为 ，则的取值范围是____________.
【正确答案】 ；

14-10（提升） 设函数．若a＝－1，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________．
【正确答案】 0

14-11（提升） 定义：已知函数，其中，．若，则实数的取值范围为______；若的最大值为2，则______．
【正确答案】 2

14-12（提升） 已知函数．
（1）若函数在有且只有一个极值点，则实数a的取值范围____________；
（2）若函数的最大值为1，则_______．
【正确答案】 .

【原卷 15 题】 知识点 判断数列的增减性,根据数列递推公式写出数列的项,等比数列的定义,利用an与sn关系求通项或项

【正确答案】
①③④
【试题解析】


15-1（基础） 设是数列的前项和，且，，，则①；②；③是等比数列；④不是等比数列，其中所有正确结论的序号是____________.
【正确答案】 ①②④

15-2（基础） 已知数列的首项，对任意都有，且函数为上的奇函数，给出下列结论：①；②数列是等比数列；③若为数列的前项之和，则时，取得最小值，没有最大值.其中正确的结论是________.（填序号）
【正确答案】 ①②③

15-3（基础） 如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列.
其中所有正确结论的序号是___________.
【正确答案】 ①③④

15-4（巩固） 已知数列和正项数列，其中，且满足，数列满足，其中.对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③数列单调递减；④数列单调递增.其中正确命题的序号为___________.
【正确答案】 ①②④

15-5（巩固） 在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
【正确答案】 ②③④

15-6（巩固） 已知数列的前n项和为，，若存在两项，，使得，则下列结论正确的是___________.（填写所有正确的序号）
①数列为等差数列；
②数列为等比数列；
③为定值；
④设数列的前n项和为，，则数列为等差数列.
【正确答案】 ②③④

15-7（巩固） 已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：
①时，；
②；
③当时，数列是递增数列；
④对任意，存在，使得数列成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
【正确答案】 ①②④

15-8（提升） 已知数列满足，下列说法正确的是________．
①；
②都是整数；
③成等差数列；
④．
【正确答案】 ②③

15-9（提升） 已知首项为的无穷数列满足，并且()，为数列的前项和，对于给定的正整数，给出下面四个结论：
①当为奇数时，有种可能的取值；
②当为偶数时，可能是等差数列；
③当为奇数时，的最大值是；
④当为偶数时，的最大值是.
其中所有正确结论的序号是__________.
【正确答案】 ②④

15-10（提升） 已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．
【正确答案】 ①②③

15-11（提升） 已知数列满足，设，则下列结论正确的是__________．
①；②；③；
④若等差数列满足，其前n项和为，则，使得
【正确答案】 ①③④

【原卷 16 题】 知识点 二倍角的正弦公式,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
1、求角C的值；
2、若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
【正确答案】 1、 2、6或

16-2（基础） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
1、求B；
2、若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
【正确答案】 1、； 2、.

16-3（基础） 在中，角的对边分别为，.
1、求角；
2、若，面积，求△的周长.
【正确答案】 1、； 2、

16-4（基础） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
1、求B；
2、若，的面积为，求的周长．
【正确答案】 1、 2、

16-5（巩固） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且
1、求A；
2、若，的面积为，求的周长．
【正确答案】 1、； 2、.

16-6（巩固） 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
1、求角的大小；
2、若，且，求的周长.
【正确答案】 1、 2、

16-7（巩固） 在中，内角、、的对边分别为、、，且.
1、求角的大小；
2、若，且的面积为，求的周长.
【正确答案】 1、 2、

16-8（巩固） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
1、求B；
2、若，面积为，求周长.
【正确答案】 1、 2、

16-9（提升） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
1、求A；
2、若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．
【正确答案】 1、 2、

16-10（提升） 在中，
1、求角A的大小
2、若BC边上的中线，且，求的周长
【正确答案】 1、； 2、.

16-11（提升） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
1、求角A的大小；
2、若AD为的平分线，且，，求的周长.
【正确答案】 1、 2、

16-12（提升） 在中，角A，，的对边分别是，，，且向量和向量互相垂直．
1、求角的大小；
2、若外接圆的半径是1，面积是，求的周长．
【正确答案】 1、 2、

【原卷 17 题】 知识点 证明线面平行,线面角的向量求法

【正确答案】
（1）见解析    （2）见解析
【试题解析】


17-1（基础） 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
1、求证：平面；
2、求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-2（基础） 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.
1、求证：平面；
2、求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-3（基础） 如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.

1、求证：平面PAD；
2、设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、.

17-4（巩固） 如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，___.

1、求证：四边形是直角梯形；
2、并求直线与平面所成角的正弦值.
从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】 1、详见解析 2、详见解析

17-5（巩固） 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.

1、求证：；
2、若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、.

17-6（巩固） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点.

1、求证：平面；
2、求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-7（巩固） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.

1、求证:平面;
2、求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-8（巩固） 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．

1、求证：平面；
2、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-9（巩固） 在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】 选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）.

17-10（提升） 已知底面为菱形的四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点.

1、从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD.
2、若.求PB与平面PDC所成角的正弦值.
【正确答案】 1、答案见解析 2、

17-11（提升） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．

从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．
1、求证：四边形ABCD是直角梯形．
2、求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
3、在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、存在，

17-12（提升） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.

（1）证明:平面;
（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）

17-13（提升） 如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，，平面平面，，.

1、从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证：平面PAB；
条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点.
2、若点M在棱PD（含端点）上运动，当为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

【原卷 18 题】 知识点 根据频率分布表解决实际问题,用频率估计概率,求离散型随机变量的均值

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
年龄/岁




80岁以上
使用过打车软件人数
41
20
11
5
1
未使用过打车软件人数
1
3
9
6
3
1、从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
2、从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
3、为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．
【正确答案】 1、 2、分布列见解析， 3、3900张

18-2（基础） 近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩





男生（人数）
2
5
8
9
1
女生（人数）
a
b
10
3
2
（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
【正确答案】 （1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）．

18-3（基础） 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记表示这3人中老年人的人数，求的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
【正确答案】 （1）老年人更倾向于选择报团游；（2）分布列见解析，；（3）建议他选择报团游．

18-4（基础） 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：）





包裹件数





公司对近天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围





包裹件数（近似处理）





天数





以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（）计算该公司未来天揽件数在之间的概率；
（）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
【正确答案】 （1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利.

18-5（巩固） 北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：
物理成绩等级



化学成绩等级









人数（名）
110
53
2
55
70
15
3
12
10
1、从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；
2、从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；
3、记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.
【正确答案】 1、 2、分布列答案见解析，数学期望为 3、不正确

18-6（巩固） 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

20以下





70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【正确答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200

18-7（巩固） 某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男职工
女职工
使用
不使用
使用
不使用
款APP
72人
48人
40人
80人
款APP
60人
60人
84人
36人
假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率､该企业女职工使用款APP的概率；
（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占%､女性占%；款APP的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男､女用户占比情况和使用款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.
【正确答案】 （1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符

18-8（巩固） 某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入(单位：百元)






调查人数
500
1000
1500
1000
500
500
赞成人数
400
800
1200
414
99
87
（1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；
（2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X,求X的分布列和数学期望；
（3）若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较与的大小关系.(直接写出结论即可)
【正确答案】 （1） ；（2）分布列见详解，数学期望为；（3）；

18-9（提升） 小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

1、随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
2、将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为，求的分布列和数学期望．
3、如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入．并说明理由．
【正确答案】 1、0.4； 2、分布列见解析，1.2；
3、186元，理由见解析.

18-10（提升） 人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“×”表示否．
人数
男生
高度近视
红绿色盲
3
√
×
√
2
√
√
×
1
√
√
√
1
×
×
√
2
×
√
×
1、分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
2、为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望；
3、假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由．
（注：）
【正确答案】 1、男生红绿色盲的发病率为，女生红绿色盲的发病率
2、的分布列见解析，数学期望为 3、

18-11（提升） 2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
上车站
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
牡丹园
///
5
6
4
2
7
24
积水潭
12
///
20
13
7
8
60
牛街
5
7
///
3
8
1
24
草桥
13
9
9
///
1
6
38
新发地
4
10
16
2
///
3
35
新宫
2
5
5
4
3
///
19
合计
36
36
56
26
21
25
200
1、在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
2、在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
3、为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.
【正确答案】 1、 2、分布列答案见解析，数学期望：1 3、

18-12（提升） 2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件）
90
100
110
120
人数
10
20
50
20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
1、若，试估计消费者购买该纪念品的概率；
2、在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
3、假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【正确答案】 1、0.9 2、分布列见详解，
3、当该纪念品的销售价格定为110元时， 达到最大值．

【原卷 19 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数

【正确答案】

【试题解析】


19-1（基础） 已知椭圆：过点，离心率为.
1、求椭圆的方程；
2、设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.
【正确答案】 1、； 2、.

19-2（基础） 已知椭圆的离心率为，上顶点为．
1、求椭圆的方程；
2、过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【正确答案】 1、 2、

19-3（基础） 已知椭圆E经过点和点.
1、求椭圆的标准方程；
2、设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【正确答案】 1、 2、或

19-4（基础） 已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
【正确答案】 （1），（2）.

19-5（巩固） 已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．
【正确答案】 （1）；（2）．

19-6（巩固） 已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.
【正确答案】 （1）;（2）.

19-7（巩固） 已知椭圆的离心率为，左顶点为.
1、求椭圆的方程；
2、设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值.
【正确答案】 1、 2、

19-8（巩固） 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值.
【正确答案】 （1）；（2）.

19-9（提升） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.
【正确答案】 （1）；（2）或.

19-10（提升） 已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．
1、求曲线C的轨迹方程；
2、直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．
【正确答案】 1、 2、

19-11（提升） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
1、求椭圆C的标准方程；
2、已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】 1、 2、不存在，理由见解析

19-12（提升） 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
【正确答案】 （1）；（2）.

【原卷 20 题】 知识点 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数证明不等式

【正确答案】

【试题解析】


20-1（基础） 设函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
（3）当时，证明：.
【正确答案】 （1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明

20-2（基础） 已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．
【正确答案】 （1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）

20-3（基础） 设函数.
1、若，求在点处的切线方程；
2、求的单调递减区间；
3、求证：不等式恒成立.
【正确答案】 1、 2、 3、证明见解析

20-4（基础） 已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
【正确答案】 （1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.

20-5（巩固） 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：
【正确答案】 （1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析.

20-6（巩固） 已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行．
1、求的值；
2、求的单调区间；
3、设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【正确答案】 1、； 2、在递增，在递减； 3、证明见解析.

20-7（巩固） 已知函数
（1）若曲线在点处的切线与轴平行.
（i）求的值；
（ii）求函数的单调区间；
（2）若，求证：.
【正确答案】 （1）（i），（ii）单增区间为，单递减区间为；（2）证明见解析.

20-8（巩固） 已知函数，g .
1、求在点处的切线方程；
2、讨论的单调性；
3、当时，求证： .
【正确答案】 1、
2、当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增； 3、证明见解析

20-9（提升） 形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）求证：恒成立.
【正确答案】 （1）；（2）的单调增区间为，无单调减区间；（3）证明见解析.

20-10（提升） 已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的实数，，，都有恒成立．
【正确答案】 （Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间是，单调递减区间是；（Ⅲ）证明见解析.

20-11（提升） 已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．
1、求，的值；
2、证明：当,,时，；
3、当时，讨论函数的单调性．
【正确答案】 1、，； 2、证明见解析； 3、在上单调递增，在上单调递减.

20-12（提升） 已知函数，为的导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）当时，求证：对任意的，，且，有．
【正确答案】 （1） ；（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值 ；（3）证明见解析 ．

【原卷 21 题】 知识点 数列新定义

【正确答案】

【试题解析】


21-1（基础） 对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
1、已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
2、已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
【正确答案】 1、①；②证明见解析 2、

21-2（基础） 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
1、若，求数列的前项和；
2、设数列的“生成数列”为，求证：；
3、若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
【正确答案】 1、； 2、证明见解析； 3、证明见解析.

21-3（基础） 从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
1、若，，写出数列前项的所有可能情况；
2、求证：数列存在无穷递增子列；
3、求证：对于任意实数，都存在，使得．
【正确答案】 1、、、、或、、、或、、、 2、证明见解析 3、证明见解析

21-4（基础） 给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.
1、若，，，，求数列；
2、若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；
3、若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.
【正确答案】 1、 2、 3、，证明见解析

21-5（巩固） 已知数列为无穷递增数列，且．定义：
数列：表示满足的所有i中最大的一个．
数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）
1、若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；
2、若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；
3、若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．
【正确答案】 1、, 2、,, 3、

21-6（巩固） 对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．
1、若，写出，并求；
2、对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
3、若数列满足，求数列A的个数．
【正确答案】 1、；； 2、不存在适合题意的数列； 3、.

21-7（巩固） 已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
1、若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
2、若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
3、若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
【正确答案】 1、，； 2、； 3、所有可能值为.

21-8（巩固） 已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列.
1、若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
2、若，求的值；
3、若，求数列的前100项和.
【正确答案】 1、； 2、； 3、.

21-9（提升） 对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．
1、若序列为1，2，3，求；
2、若序列为1，2，…，n，求；
3、若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．
【正确答案】 1、 2、 3、充分不必要条件

21-10（提升） 若数列满足，则称为E数列.记.
1、写出一个满足，且的E数列；
2、若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
3、对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.
【正确答案】 1、0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0） 2、证明见解析； 3、不存在，理由见解析.

21-11（提升） 已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.
1、判断数列和是否具有性质，请说明理由；
2、若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；
3、若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.
【正确答案】 1、满足，不满足 2、
3、共4个满足，分别是：和和和

21-12（提升） 已知数列，给出两个性质：
①对于任意的，存在，当时，都有成立；
②对于任意的，存在，当时，都有成立．
1、已知数列满足性质①，且，，试写出的值；
2、已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；
3、若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．
【正确答案】 1、 2、证明见解析 3、证明见解析


答案解析
1-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:直接由补集的概念求解即可.
详解:由题意知：.
故选：D.
1-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:直接进行补集运算即可求解.
详解:因为全集，，
所以或，
故选：D.
1-3【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:由补集的定义分析可得，即可得答案．
详解:根据题意，全集，而，
则，
故选：．
1-4【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:根据补集的定义计算可得；
详解:解：∵全集，集合，∴．
故选：B．
1-5【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:根据给定条件，用列举法求出全集，再利用补集的定义计算作答.
详解:依题意，全集，而，
所以.
故选：D
1-6【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先通过解一元二次不等式化简集合A，再求其补集.
详解:因为，
又全集，
所以.
故选：D.
1-7【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:直接求出.
详解:因为集合，集合，所以.
故选：C.
1-8【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:根据补集的定义求解即可
详解:全集，集合，则
故选：A
点睛:本题主要考查了补集的运算，属于基础题
1-9【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:由指数函数性质得集合，然后由补集定义得结论．
详解:因为，所以，即.所以.
故选：B.
1-10【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:求出集合、，利用补集的定义可求得结果.
详解:因为，
或，
因此，.
故选：B.
1-11【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据函数的性质化简集合，，根据补集的定义求解.
详解:因为函数的值域为，
所以，
函数在上的值域为，
所以，
所以，
故选：D.
1-12【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:根据条件先求，再求补集即可.
详解:由已知可得，则.
故选：B.
2-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:根据复数的除法运算和模的概念即可计算．
详解:
方法一：
，
．
方法二：．
故选：A﹒
2-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
详解:解：，
所以.
故选：B.
2-3【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:先计算出，再求模长即可.
详解:，则.
故选：D.
2-4【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:利用复数的模运算律求解即可.
详解:由题意得，.
故选：A
2-5【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
求出复数后可求其模，从而可得正确的选项.
详解:
，故，
故选：A.
2-6【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:由复数除法运算可求得，根据复数模长运算可计算得到结果.
详解:，.
故选：A.
2-7【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
详解:由已知可得
，因此，.
故选：D.
2-8【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:先求得复数z再去求其模
详解:由，可得

则
故选：C
2-9【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:利用复数运算可求得，根据复数模长的求法可求得结果.
详解:由得：，
，.
故选：B.
2-10【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的运算求出复数的代数形式，再由复数的模的公式求.
详解:因为，所以
所以，
所以．
故选：A.
2-11【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:由题意，根据复数的除法运算，求得，再由复数模的运算，即可求解.
详解:由题意，复数满足，
则.
故选：B.
2-12【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:化简复数，求共轭复数，进而可得，即得．
详解:因为，所以，
所以，
∴.
故选：A.
3-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.
详解:圆，即，圆心坐标为
由题可知：直线过圆心，所以
故选：A
3-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可求出的值
详解:由，得，所以圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，
所以，得，
故选：D
3-3【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:由圆一般方程求得圆心坐标，代入直线方程后可得参数值．
详解:由已知圆心坐标为，
所以，解得．
故选：A．
3-4【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:由题得圆心的坐标为，解方程即得解.
详解:解：由题得圆心的坐标为，
因为已知圆关于直线对称，
所以.
故选：C
3-5【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:根据圆心到y轴的距离建立方程求解.
详解:因为圆心坐标为，
所以，解得.
故选：D
3-6【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:首先求出圆的圆心、半径、圆心到直线的距离，然后由条件可得，即可求出答案.
详解:
圆的标准方程是，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离．
因为圆上仅有一点到直线的距离为1，
所以圆的半径，解得．
故选：C．
3-7【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据圆上存在两点，关于直线对称，可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
详解:解：因为圆，
所以圆C的圆心坐标为，
又因为圆上存在两点，关于直线对称，
所以直线过圆心，
则，解得.
故选：D.
3-8【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项.
详解:解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
3-9【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.
详解:由可得，所以圆的圆心为，半径为，
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
因为两圆相外切，所以，解得，
故选：D
3-10【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:由题意只需直线过圆心，所截得的弦为直径最长，将圆心坐标代入方程求参数即可.
详解:要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心，
所以，可得.
故选：C
3-11【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:由圆的圆心为，半径为，又直线被圆所截得的弦长为4，可得直线过圆心，则，然后利用基本不等式中“1”的灵活运用即可求解.
详解:解：圆是以为圆心，以为半径的圆，
又直线被圆所截得的弦长为，
直线过圆心，，
，当且仅当时等号成立，
的最小值为，
故选：C．
3-12【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先根据圆的标准方程写出圆心半径，再根据圆心到直线的距离满足的关系列出不等式，求解即可.
详解:由题意，圆的标准方程为，所以圆心坐标，半径为，有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，
故圆心到直线的距离，即，化简得，
解得或.
故选：A.
4-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:根据函数的单调性与奇偶性的定义判断.
详解:定义域为，且
，
是上的奇函数，
又是上的增函数，是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
故选：A.
4-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由奇函数的性质有，结合的函数解析式即可求值.
详解:由题设知：.
故选：B
4-3【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:首先得到的周期，再根据函数的周期性计算可得；
详解:解：由，得，
∴函数是周期函数，且4是它的一个周期，
又当时，，
∴；
故选：B.
4-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据时，，得到函数的周期为1的函数，然后由，然后再由求解.
详解:因为时，，
所以，
所以函数的周期为1的函数，

又当时，；当时，，
所以，
故选：B
4-5【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:根据函数的奇偶性的定义及判定方法，得到函数为奇函数，又由函数是上的奇函数，结合函数奇偶性的性质，即可求解.
详解:
由题意，函数的定义域为，且，
由，所以为奇函数，
可得为偶函数，
又由函数是上的奇函数，所以是奇函数，
显然、、均不正确.故选：D.
4-6【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先利用解析式计算，再计算和式即可得到结果.
详解:因为，
所以，.
故
故选：B.
点睛:本题解题关键是通过指数式运算计算，再配对求和即解决问题.
4-7【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由已知得函数为奇函数，由奇函数性质计算．
详解:
∵，即，∴是奇函数，
∴，．
∴．
故选：A．
4-8【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由题意知：，进而便可得出答案.
详解:由于，所以
，从而
.
故选：B.
点睛:本题主要考查函数的对称的应用，属于基础题目.
4-9【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:直接代入解析式化简可得答案.
详解:因为，
所以



.
故选：C
4-10【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用函数为奇函数，为偶函数和的函数值可得答案.
详解:取得①，取得
，
即②，①-②得，
所以.
故选：C.
4-11【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:本题先根据奇函数建立方程，再根据方程求解即可.
详解:因为为奇函数，所以，
则，
所以，即，故.
故选：A.
点睛:本题考察借奇函数求参数，是基础题.
5-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据二倍角公式，结合余弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可.
详解:，
因为该函数最小正周期为，，
所以有，即，
当时，即当时，函数单调递减，因此选项A不正确，选项B正确；
当时，即当时，函数单调递增，因此选项C不正确，选项D不正确，
故选：B
5-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:根据余弦函数单调性，解得到答案.
详解:
解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；
故选：A.
5-3【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可.
详解:
，
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递减，不符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意；
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递增，符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意，
故选：C
5-4【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可.
详解:
由题设，，
令，可得，，
∴在上的单调递减区间是.
故选：C.
5-5【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由的范围求出整体的范围，再得到的正负及单调性，依次判断4个选项即可.
详解:
对于A，当时，，且单调递增，单调递增，错误；
对于B，当时，，且单调递减，单调递增，错误；
对于C，当时，，且单调递增，单调递减，正确；
对于D，当时，，且单调递增，单调递增，错误.
故选：C.
5-6【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用余弦的倍角公式，以及辅助角公式，将函数整理为余弦型函数的标准型，再求解其单调区间即可.
详解:因为



令，
解得’
令，解得，
与[0，π]取交集可得
故选：C.
点睛:本题考查余弦型函数单调区间的求解，涉及余弦的倍角公式，以及辅助角公式，属综合中档题.
5-7【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先将函数化为的形式，再利用正弦函数、余弦函数的图象与性质求解即可．
详解:
，在区间中，当时，函数单调递减，即，
当或时，函数单调递减，即递减区间是和，因此选项中使得函数与函数都单调递减的区间是．
故选：B．
5-8【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:把复杂的函数化简后，确定周期和单调性.
详解:，周期为，时，，此函数在上递增，的周期是，的周期是，在上递减，只有A正确.
故选A.
点睛:本题考查三角函数的周期性和单调性，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，，然后利用正弦函数或余弦函数的性质求解.
5-9【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:先根据周期求出，由最小值求出，得到函数的解析式，求出函数的减区间，对照四个选项，即可得到答案.
详解:因为函数图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与x轴的交点B，
所以，所以，而，解得：.所以.
又函数图象经过点，所以，解得：.
所以
要求函数的一个增区间，只需,解得：.
对照四个选项，当k=-1时，.
故选：D
5-10【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据余弦函数的对称轴方程求得，解得，结合在区间上有且仅有两条对称轴，求得，由此依次取 求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选项中区间的关系，即可判断答案.
详解:
令，即，所以，，
所以，;分别取，得，
所以，得;
当时，得对称轴方程为，且；
当时，得对称轴方程为，且,,
故不是函数的单调区间，C错误；
当时，得对称轴方程为，且，，
故不是函数的单调区间，B错误；
当时，得对称轴方程为，且，，故A错误，
由以上分析可以看到，介于 和 时的相邻的对称轴之间，
故在区间上一定单调，
故选：D
5-11【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由对恒成立，结合函数最值的定义，易得在处取得最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据余弦型函数单调区间的求法，即可得到答案.
详解:解：因为对恒成立，
所以在处取得最大值或最小值，
因此 , 即
又因为,
即,
所以 .
此时 ,
即 .
由
得
即，
所以的单调递减区间是.
故选:A.
5-12【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.
详解:
.
因为函数是偶函数，所以，
因为，所以，所以，
因为函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
所以，
当时，函数单调递减，
即当时，函数单调递减，
当时，函数在时单调递减.
故选：C
6-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可.
详解:因为，
所以，
若，则关于n的函数单调递增，
所以数列为递增数列；
若为递增数列，则，
即，解得.
所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.故选：A
6-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.
详解:设等比数列的公比为，
由，即，又，则，即
则当时，由，此时
即由“”可得到“”成立.
由，即，即，即或

若时，，成立
若时，，则不成立
所以若“”则“”不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：A
6-3【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.
详解:若，则，即，此时，数列为单调递增数列，
即“”“数列为单调递增数列”；
若等差数列为单调递增数列，则，
即“”“数列为单调递增数列”.
因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.
6-4【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可.
详解:充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
6-5【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由得出，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
详解:，
由是公差大于零的等差数列，且，可得，即；
反之，若，则当时，，即．
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
点睛:本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.
6-6【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由公比且可得充分性不成立，必要性显然成立，由此可得答案.
详解:当公比且时，，
，此时，，不递增，充分性不成立，
当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立.
综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件.故选：A
6-7【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
详解:∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
点睛:本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
6-8【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可
详解:若，且，
则，
所以，
反之，若，则，
所以，且或，且，
所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件.
故选：A
6-9【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:取特殊值说明不满足充分性，由，即，取成立可得不满足必要性即可求解.
详解:若，取，易知，即，不是递减数列，故甲推不出乙；
若是递减数列，则时，有，即对任意成立，
则也满足是递减数列，即乙不能推出甲，
故甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.故选：D.
6-10【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断
详解:当时，则
，则数列为递减数列，
当是递增数列时，，因为，所以，则可得，
所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
6-11【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由等比数列的性质判断与的推出关系，结合充分、必要性的定义即可得答案.
详解:由，
所以或，故不一定有，充分性不成立；
当时，，当则，当则，必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D
6-12【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
结合数列的单调性、等比数列的性质、复合函数单调性，以及充分、必要条件的知识确定正确选项.
详解:依题意，则.
在上递减.
结合复合函数单调性同增异减可知：
是递增数列是递减数列，
所以“为递增数列”是“”的充要条件.
故选：A
7-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据题中所给公式用表示增加前的，然后再求出增加后的，从而可得出答案.
详解:解：由，
得，所以，
当保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，
则，
所以，
所以，
所以透光度由原来的T变为.
故选：B.
7-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可.
详解:由，有，
又，有，即，
则，解得，
故选：B.
7-3【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先由题意表示出和，再由指数运算求出，最后由对数运算求解即可.
详解:由题意知：
，，则.
故选：A.
7-4【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.
详解:由题意知：，整理得，解得，又，故.故选：D.
7-5【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由得，分别根据四个选中的数据进行计算可得答案.
详解:由得，
当，室温时，某物体的温度从下降到所需要的时间
min，
故A正确，B不正确；
设某物体的温度从下降到所需时间为，从下降到所需时间所需要的时间为，
则
，
由且得，即，
所以，所以，又，
所以，即.
所以物体的温度从下降到所需时间比从下降到所需时间短，
故C D不正确.故选：A
7-6【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.
详解:由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，
所以所求，
由，即，
所以，即，
所以，
因为，所以最小为，
所以至少经过小时才可以驾车，故选：B.
7-7【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
运用所给的公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
详解:
当人交谈时的声强级约为，，
即人交谈时的声强为，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，
所以火箭发射时的声强为：，
因此火箭发射时的声强级为，故选：B
7-8【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.
详解:依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，
则有，解得，于是得，
当时，，于是得：，解得，
由得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
7-9【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
详解:因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为
对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；
对于②：当时，，故②正确；
对于③：第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，故③错误；
对于④：由题，所以，所以，故④正确；
故选：C
7-10【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用时来求得的值，进而判断出三个说法的正确性.
详解:初始状态下，，，即废气中的污染物浓度为，
则时，，则，解得，故①错误；
当时，，此时消除的污染物为原来的，故②错误；
当时，，故③正确.故选：B
7-11【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先判断出P为供应曲线.，Q应为需求曲线，然后根据政府给消费者补贴a元/件，判断出B、D；根据政府给商家补贴a元/件，判断出A、C.
详解:对于A：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，表明商品的价格与供应之间呈正比，因此P为供应曲线.当政府给商家提供一定金额的补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的供应量，因此，当政府给商家补贴a元时，供应曲线P应该向下平移a个单位，而不是向上平移，向上平移意味着供应的减少，故A项错误；
对于B：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，因此商品的价格与需求之间呈反比，而曲线P表示商品的价格与商品的量呈正比，因此曲线P应为供应曲线，而不是需求曲线，故B项错误；
对于C：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，因此商品的价格与供应之间呈正比，而曲线Q表示商品的价格与商品的量呈反比，因此曲线Q应为需求曲线，而不是供应曲线，故C项错误；
对于D：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，表明商的价格与需求之间呈反比，因此曲线Q应为需求曲线.当政府给消费者发放补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的需求量，因此，当政府给肖费者补贴a元时，需求曲线会向上平移a个单位，表示商品需求量的增加，故D项正确.
故选：D
7-12【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:根据对数的运算性质及参考数据逐项计算后可得正确的选项.
详解:因此存款金额用十进制计算，故，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
，
故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，
存款金额的首位数字是7的概率为，
因为，故，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，
存款金额的首位数字是9的概率为，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为，
故D正确.故选：D.
7-13【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误．
详解:解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，故选：B．
8-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
采用赋值法，令和得到不同的系数和，两个系数和相加即可求．
详解:，
令可得，
令可得，
两式相加可得，∴．
故选：B．
8-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
二项式定理，第一步赋值求解偶数项的和，第二步所有系数和，方程联立即可.
详解:令，
令，令得
整理得，两式作差得 .
故选：A.
8-3【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
令，求得，再分别令和，两式相加，从而可得出答案.
详解:解：令，①，
令，②，
①+②得：，
∴，
令，，
∴.
故选：D．
8-4【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:赋值法分别令，，联立可求得的值.
详解:令可得， ①
令可得， ②
由②－①可得，则；故选：B
8-5【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用赋值法分别赋值和求系数和，即得.
详解:∵，
令，则，即，
令，则，即，
，即.
故选：C.
8-6【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:先由求得，再通过赋值法令和求得即可.
详解:由题意知：，则
，解得；令，则，
令，则，两式相加得，则.
故选：D.
8-7【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
分别令，代入已知关系式，然后两式作差即可求解．
详解:令，可得①
令，则②
所以②①可得：，
所以，
故选：．
8-8【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
令与，即可得到，，再两式相加即可得解；
详解:解：令，得①.
令，得②.
①②得.
故选：
8-9【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.
详解:根据
，
令时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得，，所以.故选：D.
8-10【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
运用赋值法建立方程组，解之可得选项.
详解:
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
故选：B.
点睛:方法点睛：对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
8-11【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
在二项展开式中分别令和，可得展开式中奇数项系数和与偶数项系数和的和与差，然后由因式分解思想求值．
详解:
在中，
令得，
令得，


．
故选：D．
8-12【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:令，则
，
令，得；令，可得；令，可得，进而可得结果.
详解:令，则，
令，则．
令，则，
令，则，
所以，
所以．
故选：D.
9-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系．
详解:

如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），
易知，，∴，．
故选A．
点睛:本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．
9-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先确定动点P的轨迹方程,根据动点P的轨迹方程可知：△PAB的AB边上的高，当PA=PB时最大，这时PA=PB=，即可求出△PAB的面积最大值．
详解:解：∵AA1和BB1都⊥面ABCD,
∴P到直线AA1，BB1的距离就是PA和PB,
∴PA+PB=2,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,由椭圆的性质可知：
∵△PAB的AB边上的高,当PA=PB时最大,这时PA=PB=,
最大的高==,
∴最大面积=×2×=．
故选C．
点睛:本题考查△PAB的面积最大值,考查点到直线距离的计算,属于中档题．
9-3【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:过点M做平面的平行截面，再求四边形面积即可.
详解:

如图所示 E、F、G、M分别是、、、的中点，
则，，所以平面，平面，且，
所以平面 平面，故点P的轨迹为矩形.
，所以，所以.
故选：A
点睛:本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.
9-4【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:先得出射影形成的图形为半径为的圆面，进而求得面积.
详解:如图，过点作平面的垂线，垂足为，连接，所以线段为线段在平面上的射影，为斜线与平面所成的角，则，又，所以，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积显然为．
故选：A.

9-5【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据正方体的几何特征和球的几何特征可得：M的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的八分之一，进而得到答案．
详解:∵P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，
故PQ的中点M的轨迹所形成图形是一个球面的八分之一，
由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，|PQ|＝2，
故M的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的八分之一，
其面积S＝＝，
故选：B．
点睛:本题考查的知识点是点的轨迹，分析出M点的轨迹所形成图形的形状，是解答的关键，属于中档题．
9-6【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
连接、，根据直角三角形性质可知点的轨迹为球面，且在正方体内部的部分为个球面，利用球的表面积公式，即可求得的轨迹面积.
详解:
连接，则为直角三角形，在中，，为的中点，连接，则

所以点在以D为球心,半径的球面上
又因为点只能落在正方体上或其内部
所以点的轨迹的面积等于该球面面积的
故所求面积.
故选：D.
点睛:本题考查了动点在空间几何体中的运动轨迹问题，考查了三角形几何性质的应用，球表面积公式的求法，属于中档题.
9-7【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.
详解:以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则 ，，，，
设 ，则 ，，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
易知，且平面，平面
故，故
所以的最小值为．
故选：D.
9-8【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
取的中点，连接，可得，取中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而得∥，由已知条件可得在上，求出到最小距离，进而可求出面积的最小值
详解:解：取的中点，连接，如图所示，
由，可得≌，
所以,
所以，所以
取中点，连接，可得四边形为平行四边形，
所以∥,
因为点N在侧面内，且，
所以在上，且到最小距离为，
所以面积的最小值为，
故选：B.

点睛:关键点点睛：此题考查正方体模型中异面直线问题，解题的关键是取的中点，连接，可得，再取中点，连接，可得∥，从而可得在上，然后进行计算，属于中档题
9-9【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先由对称性找到、的中点在中截面上运动，利用向量的加减运算，得到，设在中截面上的投影分别为,分析证明动点的轨迹就是边长为的正方形，即得解.
详解:如图所示，

正四面体中，取、、、的中点、、、，
因为、分别是棱，的中点，所以的中点也为定点；
由对称性知，和的中点都在中截面（正方形）上；
由，
所以,
设在中截面上的投影分别为,
所以，
所以点是线段的中点，

作，则，
因为，所以
取，所以，
两式相减得，
过点作，
所以，所以,
所以的中点在上，同理的中点在上，
因为，
即动点的轨迹就是边长为的正方形，
所以其轨迹围成的区域的面积是
故选：B
点睛:关键点睛：解答本题的关键在于找到动点的轨迹，求动点的轨迹常用的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
9-10【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
构建空间直角坐标系，确定A、D的坐标，设，利用两点距离公式得到、，根据可得，即可知P的集合，进而可求面积.
详解:如下图，构建以D为原点，分别以平面内垂直于的、、垂直于面的为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，

由题意，由A到的距离为，则，，设，
∴，，又，
∴，整理得，
∴，即P的集合是半径为的圆(含圆内部)，
∴图形的面积为.
故选：B
点睛:关键点点睛：构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，利用两点距离公式及已知条件列不等式，即可得P集合的代数表达式.
9-11【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
取的中点为E，的中点，证明，即，得到点的轨迹为线段，且为直角三角形，当时，取最小值此时面积最小.
详解:如图，取的中点为E，易知．
取的中点，则在正方形中，,
则，则可得，即，所以点的轨迹为线段．
因为平面，平面，则，
所以为直角三角形，当时，取最小值为，
此时面积最小，最小值为．
故选：B

点睛:本题考查三角形面积的最小值，考查空间中线线，线面位置关系的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
9-12【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设的外心为，过点作的平行线，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，根据，求得点的轨迹方程，分别延长到点，使得，得到平面平面，过点作，可得证得平面，即为点到平面的距离，结合球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，即可求解.
详解:设的外心为，过点作的平行线，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
如图所示，因为，所以，，
则，设，
由，可得，
整理得，
所以动点的轨迹为以为球心，半径为的球及球的内部，
分别延长到点，使得，
可得，可证得平面，平面，
又由，所以平面平面，即平面为平面，
如图（1）所示，过点作，可得证得平面，
即为点到平面的距离，
连接，根据面面平行的性质，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，即截面圆的半径为，
所以球与平面的截面表示半径为的圆面，其面积为.故选：C.

10-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.
详解:建立如图所示的直角坐标系：
令，由于，故，，
如图，，
故，
故
同理可求得，
即，
，
当时，有最大值2．故选：D

10-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.
详解:
由题意可知，为等边三角形，则有，，
在中， ,；
如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则有，，由于，故可设P点坐标为,且，
所以，，
所以，
因为，当时，取得最小值 ，当 时，取得最大值为0，
所以，故选：C.
10-3【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为坐标原点可建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标运算可表示出，结合范围可求得的取值范围.
详解:以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，，
，
，，即的取值范围为.故选：B.
10-4【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据题意，建立直角坐标系，求得的坐标，并设，则，求出向量的数量积，结合三角函数的性质，即可求解.
详解:
立如图所示的平面直角坐标系，
则，即，
设(其中)，
则，
所以

，
因为，则，可得，
所以当时，即时，取的最小值，最小值为.
故选：B.

10-5【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
以为原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用向量数量积的坐标运算求得，结合三角函数的取值范围求得的取值范围.
详解:依题意，的外接圆的半径等于，，
以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，，
圆心到，也即轴的距离为，
故圆心，半径，所以圆的标准方程为.
设，与不重合.
所以，由于，所以.
故选：C

10-6【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以点B为坐标原点，直线AB为x轴建立坐标系，借助向量数量积的坐标表示求解作答.
详解:
以点B为圆心，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

则，设，因此，，，
于是得，其中锐角由确定，
而，则当，即，时，取最小值-1，
所以的最大值为.
故选：B
10-7【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
详解:
法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以




，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，
∴
∵
∴

故选：D.
10-8【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
详解:
以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．

10-9【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
以AB,AD为x，y轴，建立平面直角坐标系，写出向量，坐标，根据数量积的坐标表示求，再求其取值范围.
详解:
如图以AB,AD为x，y轴，建立平面直角坐标系，设，，
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为.
故答案为：D.

10-10【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为原点，建立适当的直角坐标系，设，根据的长度得到的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最小值.
详解:以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设，
则
，
即，其中．
时取“=”，所以的最小值为15，故答案为：15.
10-11【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．
详解:
骑行过程中，相对不动，只有点绕点作圆周运动．
如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，，
圆方程为，设，
则，，
，
易知当时，取得最大值．
故选：B．

10-12【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
详解:
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
10-13【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.
详解:
解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，所以，，，设，，
则，，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，
故选：C.
10-14【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
令，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．
详解:
解：如图令，，由于，故，，

如图，，故，，
故，同理可求得，即，
∴，
∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，故选：C．
10-15【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．
详解:
在中，，即，取中点D，即，则
又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，
，
则，
由，则，所以.
故选：C．
11-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意可知，由此即可求出结果.
详解:
由题意可知，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11-2【基础】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:根据函数的表达式可得，解不等式即可得结果.
详解:要使函数有意义，需满足，解得，
即函数的定义域为，
故答案为：.
11-3【基础】 【正确答案】 且
【试题解析】 分析:根据分式的分母不为零进行求解即可.
详解:要使函数有意义，必须使，即，所以且，即且．
所求函数的定义域为且
故答案为：且
11-4【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:写出使函数有意义的表达式，求定义域．
详解:的定义域需满足
，
所以函数的定义域．
故答案为：
11-5【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域
详解:由题意可得解得，即的定义域是.
故答案为：
11-6【巩固】 【正确答案】

【试题解析】 分析:使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零列出不等式组，结合正切函数的性质求解.
详解:由题意得：，解得.
故答案为：.
11-7【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由题意可得，解得，分别令k=-1、0、1，综合即可得答案.
详解:由题意得，解得
，
令k=-1，解得，
令k=0，解得，
令k=1，解得，
综上，定义域为.
故答案为：
11-8【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．
详解:由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此，求解可得或．
故答案为：．
11-9【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:由二次根式被开方数大于0，分母不等于0，对数函数真数大于0列出不等式组，求出定义域.
详解:由题意得：，解得：
故答案为：
11-10【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
详解:解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
11-11【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域
详解:由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
11-12【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解.
详解:由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
12-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:由双曲线标准方程得，写出渐近线方程后可得值．
详解:因为，，
所以，，渐近线方程为，
则，解得．
故答案为：1．
12-2【基础】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:根据双曲线的简单几何性质计算可得；
详解:解：双曲线的渐近线为，所以，解得；
故答案为：
12-3【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:由双曲线的性质得出的值.
详解:因为渐近线方程为，所以，解得
故答案为：
12-4【基础】 【正确答案】 或0.5
【试题解析】 分析:
双曲线的渐近线方程为，由此可得 ，从而得到的值.
详解:解：双曲线的渐近线方程为.
由双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，即
故答案为：.
12-5【巩固】 【正确答案】 （答案不唯一）
【试题解析】 分析:
依题意设双曲线的方程为，即可得到、，再取特殊值即可；
详解:
解：设焦点在y轴上且渐近线方程为的双曲线的方程为，即，所以，不妨令，所以；
故答案为：（答案不唯一）
12-6【巩固】 【正确答案】 或 0.25
【试题解析】 分析:根据方程表示双曲线可得，化为标准方程，得到，由可求出结果.
详解:由表示双曲线，可知，
化为标准方程为，
所以，，
所以，，
所以，所以.
故答案为：.
12-7【巩固】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:由两条渐近线的夹角得出渐近线的倾斜角为或，再由斜率得出的值.
详解:因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或
则或，解得或
故答案为：或
12-8【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:根据双曲线的渐近线方程得出，解该方程即可.
详解:当时，双曲线的渐近线方程为，
由题意得，解得.
故答案为.
点睛:本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，利用双曲线的标准方程得出双曲线的渐近线方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
12-9【提升】 【正确答案】 4
【试题解析】 分析:根据题意得到，，解得答案.
详解:双曲线的一个焦点，一条渐近线的斜率为，故，，故.
故答案为：.
点睛:
本题考查了双曲线的相关计算，意在考查学生对于双曲线基本知识的理解.
12-10【提升】 【正确答案】 4
【试题解析】 分析:
由双曲线的渐近线方程为，可得，再由双曲线的一个焦点为，可得，即，从而可求出的值
详解:解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以，即，
因为双曲线的一个焦点为，
所以，即，
解得，
故答案为：4
12-11【提升】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.
详解:
双曲线的的渐进线方程为，
∵一条渐近线的斜率为2，∴，即,
又∵，∴，∴,
∴,故答案为：2
12-12【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，结合双曲线渐近线方程特征、点关于点对称的性质进行求解即可.
详解:由题意知，，则双曲线的渐近线方程为，则，得．由于双曲线及其渐近线均关于坐标轴对称，因此只需研究点关于渐近线的对称点即可，设对称点的坐标为，则解得则，解得，从而．
故答案为：
点睛:
关键点睛：根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，结合点对点对称的性质进行求解是解题的关键.
13-1【基础】 【正确答案】 2 1
【试题解析】 分析:
根据题意求出函数的最小正周期,可得出的值,再利用图象的平移变换可得出解析式,进而得出结果.
详解:由于函数相邻两个零点之间的距离是,则该函数的最小正周期为,.
将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为.即,所以
故答案为：2,1.
点睛:本题考查利用图象平移求三角函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数,考查函数值的计算,属于基础题.
13-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线，根据图像可得实数m的取值范围，利用对称性可得零点之和.
详解:
解析:由得.在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线.如图所示.

由图知,当,即时,两图像有两个交点,
则原函数有两个零点,此时.
设两个零点分别为,,由于两交点关于直线对称,
所以,
.
故答案为：；
点睛:本题考查函数零点问题，将其转化为图像的交点个数问题是本题的关键，是基础题.
13-3【基础】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:
由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解.
详解:
因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点
所以必有一个零点为，所以，即
令，可得，即，即
因为有且仅有5个零点，所以，解得故答案为：1；
13-4【基础】 【正确答案】 ； .
【试题解析】 分析:根据降幂公式和辅助角公式进行求解即可.
详解:因为
，
所以，,
故答案为:；.
13-5【巩固】 【正确答案】 （﹣，]
【试题解析】 分析:
利用三角函数的性质得到ω＝2，再根据已知零点得到φ＝，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，即可得解.
详解:解：设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得，则T＝π，
所以＝π，所以ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
由题意知2×+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
又0＜φ＜，
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+），
因为函数g（x）在[﹣，m]上的最大值为1，且当x∈[﹣，m]上的最大值为1，
当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+，
所以﹣＜2m+≤，
所以﹣＜m≤.
故答案为：，（﹣，]
点睛:关键点睛：解答本题的关键是在得到当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+后，得到﹣＜2m+≤.
13-6【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:

详解:
①当时，可得，
解方程，可得，
此时，函数的对称轴方程为；
②当时，，
，则，
由于函数的最小正周期为，而区间刚好为函数的一个周期区间，
若函数在区间上恰好有个零点，则，解得.
故答案为：；.
点睛:本题考查余弦型函数对称轴方程的求解，同时也考查了利用余弦型函数在区间上的零点个数求参数值，考查计算能力，属于中等题.
13-7【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由图象的相邻对称中心之间的距离为，所以函数的最小正周期为3，可求出的值，再根据，，可求出的值，从而得到的解析式, 当时，作出的大致图象，结合函数在上的图象,可得出的图象与直线有两个交点时，实数m的取值范围，得到答案.
详解:因为图象的相邻对称中心之间的距离为，
所以函数的最小正周期为3，即，解得，则.
又，，所以，所以.
当时，的大致图象如图.

.在上有2个零点,
即的图象与直线有两个交点.
结合函数在上的图象知，当时满足条件.
则实数m的取值范围为.
故答案为：(1). (2).
点睛:本题主要考查正切函数的图象和性质、函数的零点，考查数形结合思想及学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.
13-8【提升】 【正确答案】 或60°或 或15°或
【试题解析】 分析:
根据函数零点相同得到，进而求出，分别求出与的零点，求出实数的最小值.
详解:
因为函数与有相同的零点，故两个函数的最小正周期相同，故，则的零点为，，故，；将，，代入到中，得到，解得：，，则，，因为，解得：.令
，解得：，则，，令，解得：，，因为在上有且只有一个零点，所以实数的最小值为.
故答案为：，
13-9【提升】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:利用诱导公式及二倍角的正切公式化简函数，再代入求解；
由已知得，构造函数，，
利用导数研究函数的单调性结合函数的零点存在性定理即可求解.
详解:
，
若．则．
令，，整理得．
设，若，则．
则，，求导，
当时，．
又，，，故在上存在唯一的零点，
又在上单调递增，所以在区间上零点的个数为1．
故答案为：，1
13-10【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
直接利用周期公式得到周期，根据题意得到，根据零点个数得到，计算得到答案.
详解:
，
当时，，
故，当时，满足条件
故答案为：
点睛:本题考查了三角函数周期，根据零点个数求参数，意在考查学生的综合应用能力.
14-1【基础】 【正确答案】 0
【试题解析】 分析:
根据分段函数各区间上函数的单调性、值域，判断的最大值；讨论参数a的范围，结合各区间的函数值域端点值的大小关系，判断有无最大值，即可求的取值范围.
详解:
①由已知得，易知：上递增且值域为；上递减且值域为，
∴的最大值为.
②上递增且值域为；上递减且值域为，
当时，显然，故存在最大值.
当时，显然，即无最大值.
综上，.
故答案为：0，.
14-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.
详解:当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最小值，
当时，且时，，
此时函数无最小值.
当时，且时，，
要使函数有最小值，则必须满足，解得.
故答案为：；.
14-3【基础】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
当时，，再分别求出和的值域即可，根据题意画出函数的图象，再结合图象即可得到答案.
详解:当时，，
当时，为增函数，值域为，
当时，，
在为增函数，，值域为，
综上：值域为.
在同一坐标系下画出函数和的图象，
如图所示：
，解得或，

因为的值域为，由图知：或.
故答案为：，或
14-4【基础】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点，
①当时， ，由图象可知的最大值是 ；
②由图象知当时， 有最大值；只有当 时，，无最大值，所以所求 的取值范围是．

【考点】分段函数求最值,数形结合
【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
14-5【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
当时，分别求两段函数的值域，再求并集即可求的值域，利用的单调性分别求出时，的值域为的子集，求出的范围再令的范围满足求出的范围，再求交集即可求解.
详解:当时，，
当，，
当时，在单调递减，在单调递减，
所以时，当时，此时，
所以值域为.
当时，在单调递增，此时，
是的子集，所以，解得，
当时，在单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在和单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在单调递增，此时，
当时，对称轴为，
令，可得，
令解得：或，
若的值域为则，
又因为是的子集，
所以解得，所以.
故答案为：；.
点睛:思路点睛：对于分段函数，当自变量的范围不确定时要根据定义域分成不同的子集进行分类讨论.
14-6【巩固】 【正确答案】 5
【试题解析】 分析:
第一空，代入，即得解；
第二空，分段，解不等式，当时，分，讨论，利用对数函数单调性求解即可
详解:当时，；
若函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，
若，当时，不成立；
若，函数为增函数，所以，
所以实数的取值范围.
故答案为：5，
14-7【巩固】 【正确答案】 ； ；
【试题解析】 分析:
若，分别求出在及上的最值，取并集得答案；结合图像，只需即可得到的范围．
详解:解：当时，．
当，时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
可得的最大值为，最小值为；
当，时，为增函数，．
综上所述，的值域是；
根据题意得：，
如图，当，解得：或，令，解得：
故，故实数的取值范围是

故答案为：；．
14-8【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
第一空：直接代入函数计算即可；
第二空：作出函数图像，观察图像可得结果.
详解:解：第一空：，；
第二空：的图像如下：

令，，得，
，，得，
若在既有最大值又有最小值，则
实数的取值范围为.
故答案为：；
点睛:本题考查分段函数的求值问题，考查学生数形结合的能力，关键是要作出函数图像，是一道中档题.
14-9【提升】 【正确答案】 ；
【试题解析】 分析:
第一空：根据范围，代入对应函数解析式求值即可；第二空：先求出在R上的值域，结合图象即可求出的取值范围.
详解:第一空：由题意知：，；
第二空：当时，在上为增函数，值域为；
当时，，值域为，画出图象如下：

令，解得，由图象可知，要使函数 的值域为 ，有.
故答案为：；.
14-10【提升】 【正确答案】 0
【试题解析】 分析:
分别求出函数在时和时的最小值，进而求得函数的最小值；根据是函数的最小值，则，且小于等于时函数的最小值，最后求出答案.
详解:a＝－1时，，当时，，当时，，则的最小值为0；
是函数的最小值，当时，，则，且最小值为，
当时，，
于是.
故答案为：0，.
14-11【提升】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
根据及新定义即可求得实数的取值范围；作出函数及函数的大致图象，根据的最大值为2得到，即可得到的值．
详解:
由题意得，所以，
即实数的取值范围为；
在同一坐标系中作出函数
及函数的大致图象如图所示，
令，解得或．
结合图象可知，若的最大值为2，则．

故答案为：；2.
【关键点点睛】
解决本题的关键是作出两函数的图象，根据两函数图象的位置关系及的最大值为2得到，即.
14-12【提升】 【正确答案】 .
【试题解析】 分析:
（1）由时有解可得；
（2）时，由不等式的性质知不可能得最大值1，时，由二次函数知识求解．
详解:
解：（1）时，，，若在有且只有一个极值点，则在上有解，故；
（2）时，的对称轴是，
①即时，在递增，，函数无最大值
②即时，在递增，在递减，
故，解得：或（舍）；
时，，
综上，
故答案为：，．
15-1【基础】 【正确答案】 ①②④
【试题解析】 分析:
在等式中令，解出的值，可判断①的正误；在等式中，用替代，可判断②的正误；由与作差得出，结合可判断③④的正误.
详解:
在中，令，则，，①正确；
在中，令为，则，②正确；
当时，将与相减得，
即，所以，，
因为，所以不是等比数列，④正确，③错误.
故答案为：①②④.
15-2【基础】 【正确答案】 ①②③
【试题解析】 分析:根据题中的关系式化简数列递推公式，再逐项计算验证答案.
详解:
根据题意，函数为奇函数，所以，且,
计算得，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，，①正确；
又，所以是等比数列，②正确；
由知时，时，且时，，所以③正确.
因此①②③都是正确的.
故答案为：①②③.
15-3【基础】 【正确答案】 ①③④
【试题解析】 分析:
根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否是等比差数列，即可得到答案.
详解:
①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③等比数列，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
15-4【巩固】 【正确答案】 ①②④
【试题解析】 分析:
根据得，结合，解得，得，可判断①；
根据，，得，得，可判断②；
求出，利用恒成立，可判断③；
由，得，，两式相减得，根据，结合，，可得，可判断④.
详解:
依题意有，所以，所以，
又，所以，解得，所以，即，故①正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以，即，故②正确；
因为且，所以，所以恒成立，所以数列单调递增；故③不正确；
由得，由得，
所以，
所以，
所以，
两式相减得，
所以，
由③知，递增，所以，又，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，又为正项数列，所以恒成立，
综上所述，数列单调递增.故④正确.
故答案为：①②④.
点睛:关键点点睛:判断数列的单调性时,利用平方关系式消去和得到是解题关键.
15-5【巩固】 【正确答案】 ②③④
【试题解析】 分析:
设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论即可.
详解:设与交于点，
，
，
，，共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，①错；
因为，所以，即，所以是等差数列，③正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，
所以是递减数列，②正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，④正确.
故答案为：②③④.
15-6【巩固】 【正确答案】 ②③④
【试题解析】 分析:
利用求得，可判断①②；求得数列的通项公式可判断③；
求得，利用等差数列的求和公式及等差数列的定义可判断④.
详解:对于①②，，当时，，所以；
当时，，，即，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故②正确，①错误；
对于③，由②知，若存在两项，，使得，
此时，即，故③正确；
对于④，，所以，
所以，所以.
故数列为等差数列，故④正确.
故答案为：②③④
15-7【巩固】 【正确答案】 ①②④
【试题解析】 分析:
①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；
详解:
解：①当时，，则，
即，则，
则，，
则；故①正确．
②因为，，所以，，
即，故②正确；
③当时，不妨设，
则由，，
得，
则，
则，故数列是递增数列错误；故③错误．
④设，
则，
，
，即
存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；
故答案为：①②④
15-8【提升】 【正确答案】 ②③
【试题解析】 分析:
根据，直接求得，由递推公式得，令，则有，
从而的出数列的通项，从而可判断②③④的对错.
详解:
解：，故①错误；
因为，即
则，
两式相减得：，
所以，
令，
则有，
又，，
所以，
所以，
又因均为整数，
所以都是整数，故②正确；
当n为奇数时，则为偶数，为奇数，
，即，
即，所以成等差数列，故③正确；
因为，
所以当为奇数时，，
所以当为偶数时，，
故④错误.
故答案为：②③.
15-9【提升】 【正确答案】 ②④
【试题解析】 分析:
由题可得或，据此可求、，从而判断①；
根据数列满足或，可取数列为，据此可判断②；
根据k＝1时的值即可判断③；
分别讨论和时，的范围即可判断当k为偶数时的最大值，从而判断④.
详解:由题可得，即或，
∵，∴或，
又∵，∴.
同理或，
∴只有种可能取值，不是种可能取值，故①错误；
对于②，根据满足或，
可取数列为，
此时显然满足当为偶数时，是等差数列，故②正确；
当k＝1时，，故③错误；
当时，∵，
∴，
∵，，∴；
当时，∵，∴，
∵，
∴，
综上，无论如何都有，
故.
故答案为：②④.
点睛:本题①②③关键在于根据已知条件举例判断；④的关键是分类讨论和时，的范围，当k为偶数时，通过求出的范围对进行放缩即可得答案.
15-10【提升】 【正确答案】 ①②③
【试题解析】 分析:
求得的范围判断①；求得的值判断②；判定出数列单调性判断③；由数列第三项小于第二项否定④.
详解:由，可知，则，又
则，解之得.则①判断正确；
由，可得，则，则
又由，可知，则
则由，则或（舍）
则或（舍）. 则②判断正确；
由，可知，则
若，则，
又，则，则，则
由，可得，则
又，则数列单调递增. 则③判断正确；
由，可得
由，，

则当时，，
即数列的第三项小于第二项.
则数列从第二项起单调递增的说法判断错误.故答案为：①②③
15-11【提升】 【正确答案】 ①③④
【试题解析】 分析:通过题目给的首项与通项公式，可以算出前几项，发现该数列是一个从第四项开始的周期数列，然后可以通过计算验证选项①、③，根据数列的实际取值，可以判断选项②，通过比较和的增长幅度，可以判断选项④.
详解:，，
，，，，，，，
此数列是从第四项开始的的周期数列，且满足，，故①正确；
选项②，在数列中，，，，，，是不存在，故②错误；
选项③，，故③正确；
选项④，等差数列，，，，其，
数列是从第四项开始的的周期数列，而，呈指数被的增长，无穷大，而是一个二次函数的增长形式，增长幅度相对于指数而言有限，故，使得，所以选项④正确.
故答案为：①③④
16-1【基础】 【正确答案】 1、 2、6或
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
∵，
则
∵
∴，即
∵，则
∴
∵△ABC的面积为，则
∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
16-2【基础】 【正确答案】 1、； 2、.
【试题解析】 分析:
（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.
解：由及正弦定理得，
∴，∵，∴，
∵，∴.
解：由（1）及已知得，∴，
由余弦定理知，
∴，∴，
∴△ABC的周长为.
16-3【基础】 【正确答案】 1、； 2、
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理边角互化化简计算；（2）由面积公式结合余弦定理代入求解，即可得周长.
在中，∵，
∴由正弦定理可得．
又∵，，
∴．
整理得．
∵，∴，．∴．
∵，∴，
即，
亦即．
又由余弦定理知，∴．
∴．∴．
∴的周长为．
16-4【基础】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理得到，从而求出；（2）利用面积公式求出，进而用余弦定理求出，求出周长.
由正弦定理得：，
即，
因为，
所以
因为，
所以，
故，
因为，
所以
由面积公式得：，解得：，
由余弦定理得：
将，代入，求得：，
故的周长为
16-5【巩固】 【正确答案】 1、； 2、.
【试题解析】 分析:
（1）由题意，再由正弦定理化简得，可得A；
（2）由余弦定理得，再由三角形面积公式得，即可求，进而得出的周长．
由，则，
由正弦定理得：，
在中，故，即，
因为，所以；
由余弦定理得，即，可得，
又，得，则，即，
所以的周长为
16-6【巩固】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.
解：由，
利用正弦定理可得，化为，
所以，，，.
解：，且，所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
因此，周长为.
16-7【巩固】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得结果；
（2）利用三角形的面积公式结合已知条件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.
解：因为，
由正弦定理
又，，所以，所以.
解：因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.
16-8【巩固】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据正弦定理和两角和公式即可得到结果
（2）根据三角形面积公式以及余弦定理即可得到结果
因为，由正弦定理：，
得，
又∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，即.
由题意知，∴
由余弦定理得，又∵，，
∴
∴，故，
所以的周长.
16-9【提升】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角即可；
（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.
由正弦定理得，
在中，，
化简为，又，
，又
；
依题意得，
即，
由余弦定理得，
，解得
的周长为.
16-10【提升】 【正确答案】 1、； 2、.
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小；
（2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长.
由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
由，得①，

由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
16-11【提升】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理将边化为角，结合三角恒等式的化简可得，进而可得结果；
（2）通过三角形面积公式可得，，结合余弦定理求出即可得出周长.
∵，由正弦定理可得，
即，
化简得，
又∵在中，，
∴，即，
∴，结合，可知.
∵AD为的平分线，，∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为.
16-12【提升】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据，并结合余弦定理运算求解；
（2）根据正弦定理可得，在结合面积公式和余弦定理运算处理，注意的使用．
因为，互相垂直，所以，
则．
由余弦定理得．
因为，所以．
∵，则
因为，所以．
即，则，
因此，即．
故的周长．
17-1【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据所选的条件，应用勾股定理易得，再由线面垂直的判定、面面垂直的性质证结论即可.
（2）构建为原点建立空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，再求直线的方向向量、面的法向量，进而应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.
选①②：由，，，易知：，
又，，面，则面；
选①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
由（1）知：，，又四边形是正方形，则，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，
设面的一个法向量为，则，即
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
17-2【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定即可得到结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
取中点，连接，

分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17-3【基础】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、.
【试题解析】 分析:
（1）取PD的中点E，连接EM，AE，易证ABME是平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证结论.
（2）（法一）利用线面垂直的性质及判定可得面ABME，作交AE于点N，易证面PBD，则，根据相似比求出N的位置，由线面角的定义求线面角的大小；（法二）构建空间直角坐标系，设，根据平面PBD求出参数，进而求、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
取PD的中点E，连接EM，AE，则且，
而，，则，又，
所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.

当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：
（法一）面ABCD，面ABCD，
，又，，平面PAD，
所以面PAD，而面PAD，则，
又，E是PD的中点，即，
而，面ABME，
所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N，
所以，又，面PBD，
所以面PBD，易知：，而，，
，即，而，
N为AE的中点时，面PBD.
作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角，
因为，，
，则.
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为.
（法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设，则，，.
因为平面PBD，
故，可得.
，又平面的法向量为，
设BN与平面ABCD所成角为，则.
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.
17-4【巩固】 【正确答案】 1、详见解析 2、详见解析
【试题解析】 分析:选择①.
(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由线面垂直的判定可得平面，从而得到进而得到.即四边形是直角梯形.
(2)以为坐标系原点建立空间直角坐标系.求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成的角的正弦值.
选择②。
(1) 由平面可得，由勾股定理可得.再由线面垂直的判定可得平面，从而得到，再由平面, 得，即得四边形是直角梯形.
(2)同(1)
选择①.

(1) 证明：如图所示
因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为
所以平面，所以
又因为，所以
又因为
所以四边形是直角梯形.
选择②.
因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为
所以平面，所以
又因为平面，
平面，
平面∩平面
所以，
又因为
所以四边形是直角梯形
选择①.
(2)过作的垂线交于点，由题意易知，，
故以为坐标系原点，以、、为、、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，由题意知，，，，

因为为的中点，由中点坐标公式知，
所以，
，

设平面的法向量为，则有，即，
令，得
设直线与平面所成的角为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
选择②.解法同①
17-5【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、.
【试题解析】 分析:
（1）由棱柱的性质可得，即可得到平面，再根据线面平行的性质证明即可；
（2）选①②，连接，取中点，连接，，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选②③，连接，取中点，连接，，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即得到平面，后续同①②；
选①③，取中点，连接，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到后续同①②；
在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面，
故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，，
所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17-6【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．
证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面
平面；
解：由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为．
．
直线与平面所成角的正弦值为．
17-7【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
(1)连接BD交AC于F点，连接EF，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，求出各点的坐标，易知为为平面PAB的一个法向量，利用空间向量的坐标表示求出和，结合空间向量的数量积的定义即可得出结果.
连接BD交AC于F点，连接EF，
在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC，
∴平面AEC．

由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．

则，，，
∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
17-8【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）选择①，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择②，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择③，根据直棱柱的定义及直线到平面的距离的定义，再利用线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
取的中点为，连接.
分别是，的中点, .
D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则

所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作,垂足为，
直三棱柱，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
17-9【巩固】 【正确答案】 选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）.
【试题解析】 分析:
若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
详解:方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
17-10【提升】 【正确答案】 1、答案见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD；
取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，，由线面平行的判定定理可得平面PFD；
选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件 证明①F是AB的中点；
取的中点，连接，可得，再由线面平行的性质定理可得，
所以四边形是平行四边形，，由可得答案；
选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点；
取的中点，连接，得四边形是平行四边形，，
由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得答案.
（2）取的中点，连接，可得，由平面平面ABCD，可得平面，以为原点，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.
选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD，
取的中点，连接，
所以，，
，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD.

选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点，
取的中点，连接，
所以，因为，所以，
即平面平面，
因为平面PFD，所以，
所以四边形是平行四边形，，
因为，所以
即F是AB的中点.

选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点，

取的中点，连接，
所以，
四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD，
因为平面PFD，，所以平面平面，
平面，所以平面，
平面平面，所以，
因为是的中点，所以E是PC的中点.

取的中点，连接，
因为底面为菱形，，所以，
是边长为2的等边三角形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面，以为原点，
分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设PB与平面PDC所成角的为，
所以.
所以PB与平面PDC所成角的正弦值为.
17-11【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
3、存在，
【试题解析】 分析:
选择①：
（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，进一步得到，由此能证明四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
（3）设，利用，可求出．
选择②：
（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，再由平面，得，由此能证明四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
（3）设，利用，可求出．
解：选择①：证明：平面，平面，，，
因为，，
，，，
，平面，平面，
平面，，
，，
四边形是直角梯形．
选择②：证明：平面，平面，，，
，，，
，，
，平面，平面，
平面，，
，四边形是直角梯形．
解：过作的垂线交于点，
平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
为的中点，，，，
，，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
设直线与平面所成角为，
则，．
直线与平面所成角的正弦值为．

解：设，则，，，，，
，，，
平面，，
，解得．
故存在点F，且．
17-12【提升】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）
【试题解析】 分析:
（1）连接，交于，连接，根据可证；
（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量关系可求.
详解:
（1）连接，交于，连接，

底面是菱形，为中点，
为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

底面是菱形，，，
，
则，
设平面的法向量为，
则，取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，

底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
，
则，
设平面的法向量为，
则，取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；
17-13【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，从而由面面平行的判定定理和性质定理可得结论，若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，从而由面面平行的判定定理和性质定理可得结论，
（2）取AB中点为O，连接PO，CO，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系如图，利用空间向量求解即可
若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，
所以平面∥平面，
又因为平面，所以∥平面PAB.

若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，
因为平面，平面，平面，平面，
因为，所以平面∥平面PAB，
又因为平面EFG，所以∥平面PAB.

取AB中点为O，连接PO，CO，
因为，所以，
又因为平面PAB，平面平面ABCD，平面平面
所以平面ABCD，
又因为，，，所以，
又因为，，为AB中点，所以，，
又因为，所以四边形OADC为矩形，所以，
故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间
直角坐标系如图，则，，，，所以，
又因为M在PD上，所以存在，使，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，，
设平面PAD的法向量，则，所以，取，则.
所以.
设直线CM与平面PAD所成角为，
则，
故，所以或，
又因为，所以，
即.

18-1【基础】 【正确答案】 1、 2、分布列见解析， 3、3900张
【试题解析】 分析:
（1）求出调查的100位老年人中年龄在且未使用过打车软件的人数，再利用频率估计概率，即可估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
（2）求出X的所有可能取值，并分别求出X取每个值时对应的概率，即可写出X的分布列，然后利用定义或超几何分布的期望公式得其数学期望；
（3）先求出随机抽取的100位老年人中使用过打车软件的人数，即可估计该公司至少应准备代金券的数量．
在随机抽取的100位老年人中，年龄在且未使用过打车软件的人数为，
所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率．
由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
．
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



故X的数学期望．
在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有（人），
所以估计该公司至少应准备张代金券．
18-2【基础】 【正确答案】 （1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）．
【试题解析】 分析:
（1）由表中的数据可知成绩在80分以上的有15人，其中男生10人，女生5人，先求出从15人抽2人的方法数，再求出这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出从25名男生中抽取1人成绩在80分以上的频率，从而可得从全校男生抽取1人成绩在80分以上的概率，由题意可得可取，且，然后利用二项分布的概率公式可求出分布列，进而可求出数学期望；
（3）通过方差的意义分析即可
详解:
解：（1）设“从大赛成绩在以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，
由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即．所以事件A包含21个样本点，因此．
（2）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为，
因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在以上的人数可取，且．
，，
，．
所以随机变量的分布列

0
1
2
3





数学期望
或者，所以．
（3）
（由题意可得，由于方差是衡量一组数据的离散程度，当数据越集中，方差越小，所以时，数据更集中，方差最小）
18-3【基础】 【正确答案】 （1）老年人更倾向于选择报团游；（2）分布列见解析，；（3）建议他选择报团游．
【试题解析】 分析:
（1）分别计算三种人群的频率，进行比较即可；
（2）根据题意，列出的可能取值，分别求概率，写出分布列；
（3）计算两种旅游方式的满意度，得到结论.
详解:
解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
，，，
因为，所以老年人更倾向于选择报团游；
（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2




所以；
（3）由上表可知，报团游的满意率为，
自助游的满意率为，
因为，故建议他选择报团游．
点睛:
（1）在实际问题中，通常用频率估计概率；、
（2）求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
③按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
18-4【基础】 【正确答案】 （1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利.
【试题解析】 分析:
（1）由频率估计概率即可；
（2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可
详解:
（）样本包裹件数在之间的天数为，频率，
显然未来天中，包裹件数在之间的概率为
（）（）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：）





快递费（单位：元）





包裹件数





故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元
（）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围





包裹件数近似





天数





频率





若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似





实际揽件数





频率





故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似





实际揽件数





频率





故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.
18-5【巩固】 【正确答案】 1、
2、分布列答案见解析，数学期望为 3、不正确
【试题解析】 分析:
（1）由表可知，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，即可估计该生的化学成绩等级为的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为，可知随机变量的取值范围，分别求出相应概率即可得到分布列及其数学期望；
（3）假设排名前的成绩均为分，排名后的成绩均为分，即可判断.
设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，
样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，
故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.
从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为.
由题意随机变量的取值范围是



则的分布列：

0
1
2





不正确；
举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和.
点睛:
（1）概率统计问题关键在于审题，建议大家在考试过程中审题不少于两遍，同时把重要信息标注出来，这样不容易丢掉关键信息；
（2）分布列问题类型判断是关键，建议结合做过的典型问题放在一起对比感悟；
（3）第三问这种问题是北京命题特色，围绕一些概念深入考查，具有较高的区分度，建议把一些典型的第三问加以整理并思考命题的逻辑.
18-6【巩固】 【正确答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
【试题解析】 分析:
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
详解:
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为

1
2
3




所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
点睛:本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
18-7【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符
【试题解析】 分析:
（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；
（2）先确定的取值，再计算出对应的概率，即求出的分布列及数学期望；
（3）分别计算出款，款APP的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可.
详解:解：（1）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为，
同理，女职工使用A款APP的概率约为；
（2）的可能取值为0，1，2，
；
；
.
的分布列为：

0
1
2




的数学期望；
（3）样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.
点睛:思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
18-8【巩固】 【正确答案】 （1） ；（2）分布列见详解，数学期望为；（3）；
【试题解析】 分析:
（1）首先根据题目数据求得市民赞成“楼市限购令”的频率，再估计得到市民赞成“楼市限购令”的概率；（2）根据题意得到，依次写出每个取值的概率，最后写出分布列即可；（3）根据题意判断即可；
详解:
（1）由数据可知，在抽调的5000名市民中，
有名，
由频率估计为概率，所以从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，
该市民赞成“楼市限购令”的概率为，
（2）由（1）知，市民赞成“楼市限购令”的概率为，
记赞成“楼市限购令”的人数为X，则，
则X的可能取值为0,1,2，
那么，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



则.
（3）由题意得：因为，，
.
点睛:本题主要考查二项分布的分布列，在求解过程中要明确两个值，一是独立重复试验的次数，二是每次试验成功的概率，搞清楚这两个值就可以解决本类问题.
18-9【提升】 【正确答案】 1、0.4； 2、分布列见解析，1.2； 3、186元，理由见解析.
【试题解析】 分析:
（1）根据频率分布直方图求出骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率即可估计作答.
（2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率并求出期望作答.
（3）利用频率分布直方图求出骑手每天送单的平均数即可计算作答.
由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，
所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4.
的可能值为0，1，2，3，依题意，，，
，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3

0.216
0.432
0.288
0.064
期望.
由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：，
因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）.
18-10【提升】 【正确答案】 1、男生红绿色盲的发病率为，女生红绿色盲的发病率
2、的分布列见解析，数学期望为 3、
【试题解析】 分析:
（1）根据表中的数据计算即可，
（2）由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，然后求出各自对应的概率，从而可得分布和数学期望，
（3）根据表中的数据结合所给公式计算，然后进行比较
设该校男生红绿色盲为事件，女生红绿色盲为事件，
则
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，则
,
,
所以的分布列为

1
2



所以
由题意得，
，
所以
18-11【提升】 【正确答案】 1、
2、分布列答案见解析，数学期望：1
3、
【试题解析】 分析:
（1）用频率估计概率即可；
（2）服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望
（3）根据两点分布方差公式可得答案.
设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件，
由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，
所以.
由题意可知，
；
；
；
.
随机变量的分布列为










所以随机变量的数学期望为
.
.
（两点分布：）
18-12【提升】 【正确答案】 1、0.9 2、分布列见详解，
3、当该纪念品的销售价格定为110元时， 达到最大值．
【试题解析】 分析:
（1）由调查表直接可得；
（2）由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；
（3）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．
时，消费者购买该纪念品的概率
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：

0
1
2
3
4






.
由（2）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望达到最大值．
19-1【基础】 【正确答案】 1、；
2、.
【试题解析】 分析:
(1)根据给定条件可得椭圆长半轴长a，由离心率求出半焦距c即可计算作答.
(2)联立直线与椭圆方程，结合弦长公式计算作答.
依题意得，因离心率为，则椭圆半焦距，于是得，
所以椭圆E的方程为.
设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)，
由消去y并整理得：， 解得，
依题意，即，
整理得：，即，解得，即，
所以的值是.
19-2【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．
由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
19-3【基础】 【正确答案】 1、
2、或
【试题解析】 分析:
（1）由于不确定椭圆焦点的位置，故设椭圆方程为，（t，且），将已知的两点坐标代入，求得答案；
（2）设直线方程，根据与圆相切，求得参数间的关系，再将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用弦长公式得到关于参数的方程，解方程组，可得答案.
设椭圆E方程为，（t，且）
将点代入椭圆方程得到,
解得，
所以椭圆的标准方程为.
不妨设直线l的方程为,
因为该直线与圆相切，所以，
所以，
将直线方程代入椭圆方程并消去x得
，则,，
所以，
联立，解得，
即或，
则直线l的方程为或.
19-4【基础】 【正确答案】 （1），（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由条件可得，然后由椭圆的定义可求出答案；
（2）设，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出，然后利用求出的值即可.
详解:

（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为
所以，所以
所以方程为
（2）设
联立可得
所以由得

因为
所以可解得
19-5【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）．
【试题解析】 分析:
（1）设椭圆的方程为，焦距为，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设、、、，将直线的方程分别与椭圆、联立，列出韦达定理，分析得出，可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.
详解:
（1）设椭圆的方程为，焦距为，
将代入的方程可得，解得.
由题意得，解得，因此的方程为；
（2）设、、、，

由，得（或），
与、相交，只需当时，，
解得.
当时，，
由韦达定理可得，所以，与的中点相同，
所以，，
即，
整理可得，解得，满足条件.
点睛:
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19-6【巩固】 【正确答案】 （1）;（2）.
【试题解析】 分析:
（1）选①：由点在椭圆上并代入椭圆方程求出椭圆参数，进而写出椭圆方程；选②：由圆的性质知：△为等腰三角形，结合可得，根据椭圆的定义写出椭圆方程.
（2）设交点，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求、，由相交弦的弦长公式及短轴长列方程求m值即可..
详解:
（1）选①：由已知，将代入椭圆方程得：
故椭圆方程为：
选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，
∴，又，即，
∴，则，
∵，
∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，
∴的轨迹方程为.

（2）联立与椭圆方程可得：，且，
若交点为，则，，
∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2，
∴，解得.
19-7【巩固】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据题意求出，从而可得出答案；
（2）设直线与椭圆得另一个交点为，，易知直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，再根据两点间的距离公式求得，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，结合易知即可得出答案.
解：由题意得，
故，
所以，
所以椭圆的方程为；
解：设直线与椭圆得另一个交点为，
设，
因为，
则直线的方程为，
联立，消整理得，
则，
所以，则，
所以，
联立，消整理得，
则，
所以，
因为，
所以，
解得，
又，
所以.
19-8【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）由（1）可知直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，根据已知条件得出，求出的值，进而可求得的值.
详解:
（1）由已知，即有，由已知条件可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）由（1）得直线的方程为，联立，
消去可得，解得，则，
依题意且，
因为、、成等比数列，则，则.
当时，则有，该方程无解；
当时，则，解得，
所以，解得，
所以，当、、成等比数列时，.

19-9【提升】 【正确答案】 （1）；（2）或.
【试题解析】 分析:
(1)由椭圆离心率结合化简方程，设，由最大值为4即可作答；
(2)设直线AB斜率k，写出直线AB方程，联立直线AB与椭圆C的方程组，消去y得关于x的一元二次方程，用判别式和求出k的范围，再借助及点P在椭圆上建立起t与k的关系而得解.
详解:
（1）椭圆C的半焦距c，，即，
则椭圆方程为，即，设，
则，
当时，有最大值，即，解得， ，
故椭圆方程是；
（2）设，，，直线AB的方程为，
由，整理得，
则，解得，，，
因且，则，
于是有，化简，得，则，即，
所以，
由得，则，，
而点P在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数t的取值范围为或.
19-10【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）设，，由已知得到，将已知向量等式进行坐标化得到并代入上式即可得到答案；
（2）设点，由两点间距离公式得到，设直线的方程为，将直线的方程代入曲线C的方程，利用弦长公式求得进行计算即可.
设，，则．
设，则，．
由题意，得解得
所以，化简得，
即曲线C的方程为．
由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内），，．
设点，其中，则，，
所以．因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．
将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，
得．
设，，则，，
所以
，
所以．
因为的值与m的值无关，
所以，解得．
19-11【提升】 【正确答案】 1、
2、不存在，理由见解析
【试题解析】 分析:
（1）由题意，列的方程组，从而得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得一元二次方程，根据判别式大于零求解，写出韦达定理，从而点的坐标，表示出直线，表示出点的坐标，从而表示出，列式求解得，可判断出不存在.
由题意可得，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
设，，.
联立，整理得，
则，解得，
从而，.
因为M是线段PQ的中点，所以，
则，故.
直线的方程为，即.
令，得，则，
所以
因为，所以，解得.
因为，所以不存在满足条件的.
点睛:解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19-12【提升】 【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
详解:
解：（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，，，，
过点且斜率为的直线方程为，
联立方程，可得，
设，，
则，，
故，
又，，
，，
所以


，
整理可得，解得.
点睛:关键点睛：根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解是解题的关键.
20-1【基础】 【正确答案】 （1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明
【试题解析】 分析:
（1）先由解析式，得到函数定义域，对函数求导，根据，即可得出结果；
（2）先设切点为，根据切线方程为，得到，再对函数求导，得到，设，用导数方法研究其单调性，得到最值，即可求出结果；
（3）先对函数求导，设，用导数方法研究单调性，进而可判断出单调性，即可得出结论成立.
详解:
解：（1）函数的定义域为.
因为，所以，
所以在区间上单调递增.
（2）设切点为，则，
因为，所以，得，
所以.
设，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
因为方程仅有一解，
所以.
（3）因为，
设，则，所以在单调递增.
因为，，
所以存在，使得.
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以.
因为，所以，，
所以.
点睛:本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.
20-2【基础】 【正确答案】 （1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）
【试题解析】 分析:
（1）曲线在处的切线平行于直线，利用导数的几何意义可知，由此即可求出结果；
（2）由（1）可知，，再利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；
（3）求出函数的导数，可得，作差比较与，作差可得，再构造辅助函数，通过函数的导数，求解函数的最值，即可求出结果．
详解:
（1）的定义域为．
曲线在处的切线平行于直线，，．
（2），．
当时，是增函数；当时，是减函数．
函数的单调增区间是，单调减区间是．
（3），，．
又，

．
设，则，
在上是增函数．
令，不妨设，，，
即．又，，．
点睛:本题考查了导数的几何意义，以及导数在函数函数单调性和最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．
20-3【基础】 【正确答案】 1、
2、 3、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程；
（2）求导后，根据时，可得单调递减区间；
（3）设，将问题转化为证明；利用导数可说明，使得在上单调递减，在上单调递增，由此可得，结合基本不等式可知，由此得，由此可得结论.
当时，，，
，又，
在点处的切线方程为：，即.
由题意得：定义域为，；
令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为.
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，又，，
，使得，则，，
在上单调递减，在上单调递增，
（当且仅当时取等号），
又，，，即恒成立.
20-4【基础】 【正确答案】 （1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程；

（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；

（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.
详解:（1）当时，，
所以 ，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数；
（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，
所以，且时，，当时，，，
所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，
构造函数，则，
当时，所以，
在上单调递减，且，，
由 ，在上单调递增，
.
所以.
点睛:本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.
20-5【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；
（2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；
（3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证．
详解:
（1），，
，，
所以在点处的切线方程为，
整理得：，
（2）函数定义域为，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，得，
此时在上，单调递减，
在上，单调递增，
综上：时，在上单调递增
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证，
而，则，否则方程不成立），
所以即证，化简得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），而，
所以，
所以，得证．
点睛:关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可.
20-6【巩固】 【正确答案】 1、；
2、在递增，在递减；
3、证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）由题设求导函数，再由求参数k值.
（2）由（1）得且，构造函数，结合导数研究的符号，进而求的单调区间.
（3）由题设只需证在上恒成立，由（2）易得，再构造并应用导数判断的大小关系，即可证结论.
由题设，，，
又在,处的切线与轴平行，即，
.
由（1）得：，，
令，，
当时，，当时，，又，
时，，时，，
在递增，在递减；
由，即，，
，，
由（2），对于，，
，，
时，递增，,时，递减，
，即，
设，则，
时，递增，即，则，
综上，，故，，得证．
点睛:关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明在上恒成立，结合（2）中的单调性得到，再判断的大小关系.
20-7【巩固】 【正确答案】 （1）（i），（ii）单增区间为，单递减区间为；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）（i）计算，令可得的值；（ii）定义域为，，构造函数，利用导数判断在上单调递减，且，进而可得以及的解集，即可求解；
（2）要证明不等式可转化为，令，只需证明，利用导数判断的单调性，证明即可.
详解:
（1）（i）定义域为，由
可得，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，可得：，
（ii）当时，，，
令，则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，；当时，，；
所以单增区间为，单递减区间为；
（2）要证明，即证，
等价于
令，只需证明，
，，
由得有异号的两根，
令其正根为，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
所以，，可得，
所以，即.
点睛:利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
20-8【巩固】 【正确答案】 1、
2、当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增； 3、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）求导后，求出，进而用点斜式求出切线方程；（2）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出的单调性；（3）对不等式进行放缩，证明出，问题转化为证明，构造函数，利用导函数进行研究其单调性和最值，二次求导得到结论.
定义域为，，则，所以在点处的切线方程为：，即
定义域为R，，
当时，恒成立，在R上单调递增，
当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
令，，
，当时，，单调递减，故，即，故，
令，，其中，
则，
令，则，令，解得：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由于，故，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以，证毕.
点睛:利用导函数证明不等式，要根据不等式特点进行适当放缩，本题当中，同时出现了指数函数与对数函数，要么使用同构转化，要么进行放缩，本题中使用了在时，的常用放缩.
20-9【提升】 【正确答案】 （1）；（2）的单调增区间为，无单调减区间；（3）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）根据题中所给幂指函数的导数公式，求得，结合，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）由幂指函数的导数公式求得，再利用导数的计算公式，求得，判断导函数的正负，即可得到函数的单调性；
（3）构造函数，对该函数进行二次求导，利用导数判断的单调性，从而求得其最小值，即可证明.
详解:
（1）由幂指函数导数公式得，
所以，又，
所以，曲线在处的切线方程为.
（2），
则

，
所以的单调增区间为，无单调减区间.
（3）构造，，
则，
令，
所以，
因为与同号，所以，所以，
又，所以，
所以即为上增函数，
又因为，
所以，当时，；
当时，.
所以，为上减函数，为上增函数，
所以，，
即，
因此，恒成立，即证.
点睛:
本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，以及利用导数研究函数的单调性，以及研究不等式恒成立问题，属综合困难题.
20-10【提升】 【正确答案】 （Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间是，单调递减区间是；（Ⅲ）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（Ⅰ）由导数的几何意义，先求切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求曲线的切线方程；
（Ⅱ）先求出函数的导数，然后分别由和可求出函数的单调区间；
（Ⅲ）将等价转化为，然后构造函数，再构造函数并且利用导数证明在上恒成立即可．
详解:（Ⅰ）由题意可知，，，
所以，
所以在处的切线方程为，即．
（Ⅱ）
，
当时，；
当时，；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（Ⅲ）证明：不等式
可化为．
设，
即证函数在上是增函数，
即证在上恒成立，
即证在上恒成立．
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以，即．
因为，所以，
所以要证成立，
只需证．
令，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以，
即在上恒成立，即证．
点睛:关键点睛：通过不等式的形式构造函数，利用导数的性质，经过多次求导判断单调性进行求解.
20-11【提升】 【正确答案】 1、，；
2、证明见解析； 3、在上单调递增，在上单调递减.
【试题解析】 分析:
（1）设切点分别为,、,，可得，写出切线方程，列方程求参数，即可得，的值；
（2）构造并应用导数研究单调性，证明恒成立即可证结论.
（3）应用二阶导数研究的单调性，结合零点存在性定理判断的符号，进而确定的单调区间.
设与和的切点分别为,、,；
，
，，
，可得，
切线方程分别为即，或即，
，解得，
，；
令，,,，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，则，
故,,时，即；
，则，故，
在上单调递减，而，，
由（2）中的单调性，可得：，
由（2）及可得：，
使得，即时，时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
20-12【提升】 【正确答案】 （1） ；（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值 ；（3）证明见解析 ．
【试题解析】 分析:
（1）求出导数后可得切线斜率，从而得切线方程；
（2）求出导函数，求出的解，确定的正负，得的单调区间，极值．
（3）求出，设，不等式变形为，
而，
设令，．利用导数证明，这样由已知条件可得
．结合（2）可证得结论成立．
详解:
解：（1）当时，，．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）依题意，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．
当x变化时，的变化情况如下表：
x




-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
（3）证明：由，得．
对任意的，，且，令，则



． ①
令，．
当时，，
由此可得在单调递增，
所以当时，，即．
因为，，，
所以
． ②
由（2）可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，且，有．
点睛:
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式．解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证．
21-1【基础】 【正确答案】 1、①；②证明见解析
2、
【试题解析】 分析:
（1）①根据基本不等式可求得的取值范围；
②利用数学归纳法证明出：，，然后利用不等式的性质可证得，即可证得结论成立；
（2）由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，利用参变量分离法结合数列的单调性即可得出结果.
解：①因为，，且，，，
所以，的取值范围是；
②由题意可得，
则，即，
假设当时，，
则当时，，即，
所以，对任意的，，
所以，，，
即存在，使得，
所以，数列是“拟等比数列”.
解：因为，，，
即，所以，
即，且有，
因为，则，所以，，
又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.
①当时，此时，
所以，，
因为，则，
因为数列在时单调递减，故，
而；
②当时，，则，
由，则，
因为数列在时单调递减，故.
由①②可得，即的取值范围是.
点睛:结论点睛：利用参变量分离法求解数列不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
21-2【基础】 【正确答案】 1、；
2、证明见解析； 3、证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）利用差比法判断数列的单调性，结合等比数列的定义和前项和公式进行求解即可；
（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义运用累加法进行证明即可；
（3）结合（2）的结论，根据等比数列的定义分类讨论进行证明即可.
因为，所以．
所以，
所以， ，
所以，
因为，
所以数列是等比数列，
所以数列的前项和为：；
由题意可知，，
所以，
所以．所以 ，
所以，
由“生成数列”的定义可得，
所以．
累加可得.
由题意知．由（Ⅱ）可知．
① 当时，得，即，
所以，
所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾,
所以，即.
取，当时，
，显然是等比数列,
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
点睛:关键点睛：根据数列的单调性是解题的关键.
21-3【基础】 【正确答案】 1、、、、或、、、或、、、
2、证明见解析 3、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）根据数列的递推公式以及求出、的值，即可写出数列前项的所有可能情况；
（2）分析可得由或，即或，分析数列的单调性，设集合，、，且，取，可得出结论；
（3）考察数列和．①当或时，显然成立；②当时，设，推导出，可得出，解得，取可证得结论成立.
解：由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或.
因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、.
证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列．
证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有．
所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．
又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得．
点睛:
关键点点睛：本题考查数列的新定义，解决第三问的关键在于推导出，结合叠加法得出，通过解不等式可找到符合条件的整数，即可解决问题.
21-4【基础】 【正确答案】 1、
2、 3、，证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）利用已知条件先求出，将，，，代入：，，，即可求解；
（2）由，得到，进而有，再由得到即可；
（3）证明见解析.
由题意时，，，，由，知，所以，，，，
故.
记数列的所有项和为S，
因为，且，所以，
则，故.
当，或，时取到等号，
所以当，或，时，S取到最大值，为.
“数列为常数列”的充要条件是（）证明如下：
先证充分性：
当（）时，，所以为常数列；
再证必要性：
当为常数列时，记，
设中有x个，则必有个，将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数，所以，
所以，由得：，所以，
所以.
点睛:
数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的含义；
（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移
（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.
21-5【巩固】 【正确答案】 1、,
2、,, 3、
【试题解析】 分析:
（1）根据数列,的定义以及是斐波那契数列,即可求解.
（2）数列是公比为整数的等比数列,可对公比进行检验,根据,的定义以及的特征,可检验出公比的值.
（3）根据数列,的公差是正整数,以及数列,的定义,可列出不等式,求解公差的范围,进而得解.
数列是斐波那契数列,则的项分别是
当时,则;当时,则,当时,则;当时,则
以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以
因为数列是公比为整数的等比数列,故公比
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个
，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,
由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,
设数列,的公差分别为,则
则,
当时,满足
由于是任意正整数,故可知
同理可知当时,满足
由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,所以可以是任意一个正整数.故
21-6【巩固】 【正确答案】 1、；； 2、不存在适合题意的数列； 3、.
【试题解析】 分析:
（1）利用变换的定义即；
（2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得；
（3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
由，
可得，
，
∴；
∵，
由数列A为数列，所以，
对于数列，，…，中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有个，有个，则，
因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列；
首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴，
故，
其次，由数列为数列可知，，
解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，
所以数列的个数为个.
点睛:数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
21-7【巩固】 【正确答案】 1、，；
2、； 3、所有可能值为.
【试题解析】 分析:
（1）根据函数定义写出，即可.
（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设定义判断，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定的值；
（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证对应所有可能值均可取到，即可得结果.
由题设，，，，则，
，，，则，
所以，.
若数列任意两项均不相等，
当时；
当且时，，
又，，
此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则，
当，则，不合要求；
当，则，满足题设；
综上，.
由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理，
所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故，
综上，.
点睛:
关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.
21-8【巩固】 【正确答案】 1、； 2、； 3、.
【试题解析】 分析:
（1）根据数列的新定义即得；
（2）由题可得或，分情况讨论，进而可得；
（3）由题可得，进而猜想数列：1，2，4，5，7，8，，然后利用数学归纳法证明，再利用数列求和公式即得.
；
因为，
所以，所以或.
因此.
当时，
且同时成立，
此时.
当时，
且同时成立，此时矛盾.
综上，.
因为，
所以.
所以.
由知，.
事实上，当时，
与同时成立，
所以，从而.
猜想数列：1，2，4，5，7，8，，
即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A：的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当时结论成立.
②假设时结论成立，则当时，
当时，此时，
由于；
；

上面各式均成立，此时有.
当时，此时，
由于；
；

上面各式均成立，此时有.
综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列的前100项和为：.
点睛:
数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
21-9【提升】 【正确答案】 1、
2、 3、充分不必要条件
【试题解析】 分析:
（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
解：序列为1，2，3，，，，即8，．
解：时，
时，．
时，，
时，，
，
取时，，
取时，①，
则②，
①②得，


所以．
由序列为1，2，，，可得．
解：序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．
例如取序列为：，，，2，1，满足．
因此是的充分不必要条件．
21-10【提升】 【正确答案】 1、0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）
2、证明见解析； 3、不存在，理由见解析.
【试题解析】 分析:
(1)根据与和可考虑写出交替的数列.
(2)先证必要性，根据数列是递减数列，可得，进而求得.再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可.
(3)设,则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可.
（或 ）
必要性：因为数列是递减数列，
所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以，
所以数列是递减数列.
综上，结论得证．
令，
则．
因为，，……,，
所以


因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或．
当时，
数列的项满足，，时，
有，；
当时，
数列的项满足，，，时，
有，．
当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
点睛:关键点点睛：在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.
21-11【提升】 【正确答案】 1、满足，不满足 2、
3、共4个满足，分别是：和和和
【试题解析】 分析:
（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质；
（2）等比数列具有性质等价于对任意的恒成立，就分类讨论后可得的取值范围.
（3）设，先考虑均不存在具有性质的数列，再分别考虑时具有性质的数列，从而得到所求的数列.
对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.
由题意可得，
两边平方得：
整理得：
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以，
所以或者，所以取.
当时，得， 此时关于恒成立，
所以等价于时，所以，
所以，所以取.
当时，得.
当为奇数的时候，得，因为，故显然成立
当为偶数的时候，得，因为，故显然不成立，
故当时，矛盾，舍去.
当时，得.
当为奇数的时候，得，显然成立，
当为偶数的时候，要使恒成立，
所以等价于时，所以，
所以或者，所以取.
综上可得，.
设，，
因为， 故，
所以可以取或者，
若，，则，
故或（舍，因为），
所以（舍，因为）.
若，，则，
故（舍，因为），或
所以（舍，因为）.
所以均不能同时使，都具有性质.
当时，即有，
故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且，故，
故有数列：满足题意.
当时，，
故，故，
故有数列：满足题意.
当时，则且，
故，
故有数列：满足题意.
故满足题意的数列只有上面四种.
点睛:
本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定时均不存在具有性质的数列是关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题.
21-12【提升】 【正确答案】 1、
2、证明见解析 3、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）由性质①，可求出且，所以，同理可求得的值；
（2）由，验证性质①，即可证明；
（3）数列满足性质①②，带入验证，即可得：当时，，即可证明满足条件的数列是等差数列.
因为数列满足性质①，且，所以，所以，又因为，即，所以，同理可得：.
因为数列的通项公式为，
所以，对于任意的，令，则，
.
又，则，即.
又，所以，
即对于任意的.
所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，
所以，数列满足性质①.
由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,
即对于任意的，存在，当时，都有成立，
所以，当时，，
即.
对于任意的,有，
对于任意的,有,
，
又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,
所以，当时，,
所以，满足条件的数列是等差数列.
点睛:
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.