2023届江西省上饶市高三二模数学（理）试题含解析

2023届江西省上饶市高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合B，后由交集定义可得答案.

【详解】集合，因在上单调递减，则，得

故选：B．

2．复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数乘方、除法化简复数，进而判断其对应点所在象限.

【详解】∵，

∴对应的点，位于第四象限．

故选：D

3．已知等差数列的前n项和为，，则（    ）

A．92 B．94 C．96 D．98

【答案】A

【分析】由等差数列的性质有，得，则，可求值.

【详解】等差数列中，，则，

所以.

故选：A．

4．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为1丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（    ）

A．立方尺 B．立方尺

C．立方尺 D．立方尺

【答案】D

【分析】利用圆台体积公式求体积即可.

【详解】由已知，下底半径为5尺，上底半径为尺，若分别为上下底面面积，

所以圆台的体积为：立方尺.

故选：D

5．中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（    ）

①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解，结合相关性的定义以及回归方程即可逐一判断.

【详解】由，，因为回归直线过样本中心，，，②错误；

可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③正确；

由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④错误．

故选：B．

6．已知平面向量，满足，，，记向量，的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，然后平方将向量的模转化为数量积可解.

【详解】因为，∴，

又，，

∴，

∴

故选：C．

7．在中，的角平分线交于点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先在中，由余弦定理求得，即可知为等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.

【详解】

如图所示，在中，由余弦定理得

，

∴，∴为等腰三角形，，，

又∵为角平分线，∴，

∴在中，，

由正弦定理得得，

.

故选：A．

8．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用中间值法比较的大小，然后根据程序框图的功能即可得到结果.

【详解】根据程序框图可知，执行程序输出的结果是，，三个数中的最小值，

设函数，则，当时，，

所以函数在上单调递增，所以，即，

又，所以，所以输出的值为.

故选：C.

9．已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】D

【分析】利用三次函数的性质及等比中项，结合函数值的定义即可求解.

【详解】设，则常数项为：，

因为成等比数列，

所以，

所以，即，解得，

把代入，

所以，解得．

故选：D.

10．已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】辅助角化简，由已知上恰有4个极值点和3个零点，数形结合列不等式求参数的范围.

【详解】由且，

因为，所以，

又在内恰有4个极值点和3个零点，

由正弦函数的图象知：，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：C

11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（    ）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C．P点横坐标的取值范围是 D．面积的最大值为

【答案】B

【分析】结合题意，可得到点P极坐标方程为，直角坐标系方程为..A选项，注意到当时，，即可判断选项正误；B选项，由极坐标方程可得范围；C选项，由可得，可得P点横坐标的范围；D选项，注意到，即可判断选项正误.

【详解】由题可得，

化简得：，∴点轨迹的直角坐标方程为：，

代入，得极坐标方程为：.

A选项：当时，，此时，即点P坐标可以为，

此时，故A错误；

B选项，注意到，故B正确；

C选项，

，故C错误；

D选项，：，

又注意到与有交点，即存在点P使，则面积的最大值为，故D错误．

故选：B．

12．若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.

【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，

对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，

所以切线方程分别为：，，两切线重合，

对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），

，得：，

当 时， ，是减函数，

当 时， ，是增函数，

∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；

∴，∴；

故选：D．

二、填空题

13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．

【答案】1

【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.

【详解】展开式的通项为，令解得，∴．

∴．

故答案为：1

14．过三点 的圆交x轴于两点，则______．

【答案】

【分析】作AB和AC的垂直平分线的交点求出圆心和半径，写出圆的标准方程，再令 求解.

【详解】

依题意作上图，显然 轴，点的中点坐标为 ，AB的垂直平分线方程为

，

点的中点为 ，直线AC的斜率为 ，直线的斜率为1，

直线 的垂直平分线方程为，

联立两垂直平分线方程，解得圆心坐标为，半径 ，

所以圆的标准方程为，令 ，解得与轴交于，，所以；

故答案为： .

15．已知上任取点作圆的两条切线，切点分别为、，过、的直线与轴、轴分别交于、两点，则面积的最小值为______．

【答案】

【分析】设点，求出直线的方程，可求得点、两点的坐标，再利用基本不等式可求得面积的最小值.

【详解】设点、，圆的圆心为原点，

若点不在坐标轴上，则，由切线的几何性质可知，，则，

所以，直线的方程为，即，

当点在轴上时，则，，切线方程为，满足；

当点在轴上时，则，，切线方程为，满足.

综上所述，圆在点处的切线方程为，

同理可知，圆在点处的切线方程为.

设点，将点的坐标代入直线、的方程可得，

所以，点、的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，

因为直线与轴、轴分别交于、两点，则，

在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点，

因为点在曲线上，则，

由基本不等式可得（当且仅当，即，时等号成立），

所以，，则，

当且仅当，时等号成立，故面积的最小值为.

故答案为：.

16．在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，满足MA等于M到边CD的距离.当三棱锥P－ABM的体积最小时，三棱锥P－ABM的外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】根据抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线位于矩形内的一部分，找到三棱锥P－ABM的体积最小时的点F，然后利用补体法求出外接球的半径，即可求出表面积.

【详解】由抛物线定义可知：点位于底面矩形内以点A为焦点，为准线的抛物线上，

记点的轨迹为曲线，在矩形内以点为坐标原点，为轴，过点作垂线为轴

建立如图示平面直角坐标系，

由AD=p=4知抛物线的标准方程为：，

又AB=，所以，所以，

当点位于时，面积最小，

又平面ABCD，此时三棱锥的体积最小，

三棱锥的外接球与以PA，AB，BF为长宽高的长方体的外接球相同，

由长方体外接球模型可知，三棱锥外接球球心为的中点，

此外接球的半径为：，

所以．

故答案为：

三、解答题

17．已知数列为非零数列，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据递推公式，分当时和时，进行求解即可.

(2)由（1）得到通项公式，再根据分组求和，即可求解.

【详解】（1）当时，，解得，

当时，由，

得，

两式相除得：，即，当时，也满足，

所以．

（2）由（1）可知，，所以，

所以

令，

∴，∴．

18．阳春三月，春暖花开，婺源县䇸岭景区迎来了旅游高峰，某特产超市为了解游客购买特产的情况，对2023年3月期间的100位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关，

(2)为吸引游客，该超市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元．

方案二：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．若某游客计划购买600元的特产，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由.

附：参考公式和数据：，．

附表：

【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关

(2)选择方案一，理由见解析

【分析】（1）根据统计数据完成2×2列联表，计算对照临界值进行比较作出判断.

（2）计算方案二优惠金额的分布列和期望，与方案一的优惠金额进行比较.

【详解】（1）列联表如下：

因此有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．

（2）按方案一：某游客可优惠120元．

按方案二：设优惠金额为元，可能取值为0，100，150，200．

，，

，，

所以的分布列为

所以选择方案一

19．如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为DC中点，以AE为折痕把折起，使得点D到达点P的位置，且二面角P－AE－C的余弦值为．

(1)证明：；

(2)求直线PE与平面PBC所成的角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，，交于点可得四边形为菱形，折叠后为二面角的平面角，由余弦定理求出，可得三棱锥为正四面体，所以点在底面的投影为的中心，再由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；

（2）以为坐标原点，过与平行线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）（1）在图中，连接，，其中交于点,因为，，故四边形、为平行四边形，所以，，

因为，所以，

因为，所以，

故四边形为菱形，所以，，故折叠后，，，所以为二面角的平面角，由余弦定理可知：，所以，三棱锥为正四面体，所以点在底面的投影为的中心，，平面，所以，，平面，

所以平面，因为平面，所以．

（2）在下图中，以为坐标原点，过与平行线为轴，为轴，为轴建立如图示空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则

即，所以．

设直线与平面所成角为，则

．

∴直线与平面所成的角为．

20．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.

【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．

设直线：，若，则则不满足，所以．

设，，，

由得：，，．

因为，即，则，，

所以，解得，则，即，

直线：，联立，解得，

∴，当且仅当或时等号成立

∴的最小值为5．

21．已知函数，．

(1)若是R上的减函数，求实数a的取值范围；

(2)若有两个极值点，其中，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将函数单调递减转化为恒成立问题，然后参变分离转化为函数最值问题，利用导数可解；

（2）构造割线，利用割线与交点横坐标差小于与交点横坐标差，化曲为直可证；或根据极值点偏移问题，构造可证.

【详解】（1）由题意知在上恒成立

∴恒成立，令，，则

令，得，

当，；，

所以即，

（2）方法一：（割线夹证零点差）

由有两个极值点，所以有两个不等的实数根，

由（1）可知，当x趋近于时，趋近于0，且

所以且

又过点和的直线方程为

构造函数，

，

所以．

设方程的根为，则

过点和直线方程为

设，

因为，所以在单调递增

所以则

又设方程的根为，则

∴

方法二：（借助极值点偏移进行放缩＋参数替换）

由有两个极值点，所以有两个不等的实数根，

由（1）可知且

构造，则

∵，∴，．

∴，∴．

∴是上的增函数，∴，∴，

∵，∴．

∵，∴，

∵，，是上的增函数，

∴，∴．

要证：（利用放缩）

只需证：

只需证：（参数替换）

只需证：

只需证：

∵，∴，，

∴，∴．

∴，∴得证．

【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，由极值点分布证明不等式恒成立.

利用单调性求参数范围常采用分离参数法，证明不等式恒成立常采用构造函数法、此题中搭建和思维难度大，有化曲为直的妙处.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），将曲线C向上平移1个单位长度得到曲线．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设．

(1)求曲线的普通方程和点P的直角坐标；

(2)已知直线l经过点P与曲线交于A，B两点（点A在点P右上方），且，求直线l的普通方程．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用公式可求得，结合三角变换公式可求，从而可得曲线的普通方程.

（2）设直线的参数方程为（为直线的倾斜角），利用参数的几何意义结合题设线段关系可求，故可求直线方程.

【详解】（1）的横坐标为，纵坐标为，故.

∵，，

∴，则曲线的普通方程为：．

（2）设直线的参数方程为（为直线的倾斜角）：

联立直线的参数方程与曲线的普通方程得：，

整理得到：.

设，两点对应的参数分别为，，则，

因为在的右上方，故，故，

故，

而，故，故即直线的斜率为，

∴直线的直角坐标方程为.

23．已知函数，不等式的解集为．

(1)求的值；

(2)若三个实数，，，满足．证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.

【详解】（1）∵不等式的解集为，

∴，即，∴，经检验得符合题意.

（2）∵，

∴

，

由柯西不等式可知：

，

∴，

即，

当且仅当，，时等号成立.