2022届江西省上饶市六校高三第一次联考数学（理）试题含解析

2022届江西省上饶市六校高三第一次联考数学（理）试题

一、单选题

1．设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“” ，且．若，则（       ）

A．或 B． C． D．或

【答案】A

【分析】利用集合交并运算分别求出，，结合集合运算的新定义求即可.

【详解】由题设，，，

所以或.

故选：A

2．已知复数，则z的共轴复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】综合应用复数的除法、乘法运算化简，进而写出其共轭复数对应的坐标，即可判断所在的象限.

【详解】，故，对应点坐标为，

所以在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

3．若，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，

故选：D

4．下列命题正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则， D．若，，则

【答案】B

【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐一判断可得选项.

【详解】解：对于A选项，若，，不能推出，故A不正确；

对于B选项，根据线面垂直的性质得：若，，则，故B正确；

对于C选项，若，则或，故C不正确；

对于D选项，若，，则或互为异面直线，故D不正确，

故选：B.

5．已知函数）的最小正周期为，且f(x)图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的对称中心为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由最小正周期求得，写出f(x)的解析式，再由图象平移过程求g(x)的解析式，根据正弦型函数的性质求对称中心即可.

【详解】由题设知：，则，故，

根据图象平移知：，

令，，则，，故g(x)的对称中心为.

故选：C

6．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”： ×是一个向量，它的模，若，则（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】由已知，现根据给的与的坐标，求解出它们的模，然后再计算其夹角，带入到给的定义中即可完成求解.

【详解】由已知可得，，，

，，

，所以，

由定义可得.

故选：A.

7．函数在区间（－∞，2）上单调递增，则实数a的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设可得，根据二次函数的性质(注意不合题设)，讨论、时对应的单调区间，结合已知区间的单调性求参数范围即可.

【详解】由题设，，且各区间上对应的二次函数的对称轴均为，

又时不合题设，所以.

当时，在上开口向下，即上递增，上递减；当上开口向上，即上递增；

当时，在上开口向上，即上递减；当上开口向下，即上递增，上递减；

综上，要使在（－∞，2）上单调递增，有，可得.

故选：B.

8．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.

【详解】由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，

由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.

当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.

当直线过时，；

综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.

故选：C

9．已知正方体的棱长为a，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到直线的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（       ）

A．双曲线 B．圆 C．直线 D．抛物线

【答案】A

【分析】作出图像，建立空间直角坐标系，求出P的轨迹方程即可判断.

【详解】如图建立空间直角坐标系，

设P(x，y，0)，

由题可知，则，即，表示双曲线.

故选：A.

10．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（       ）

A．1224 B．1800 C．1560 D．840

【答案】B

【分析】首先为奇数，则为偶数，进而根据的奇偶分布情况求排列方法数，再为偶数，则为三个奇数，求排列方法数，进而加总.

【详解】当为奇数时，为偶数：

1、一偶两奇，此时不同排列方法为种；

2、两偶一奇，此时不同排列方法为种；

3、三个偶数，此时不同排列方法为种；

当为偶数时，为奇数，此时三个奇数，不同排列方法为种；

综上，不同排列方法有1800种.

故选：B

11．已知抛物线)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列四个命题中正确的是(       )

①；

②若M(1，1)，P是抛物线上一动点，则的最小值为；

③；

④(O为坐标原点)的面积为.

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【答案】C

【分析】根据求出p﹒①验算在A和B处切线斜率是否为－1；②根据抛物线定义，数形结合即可求解；③根据抛物线焦点弦性质即可求解；④根据三角形面积公式即可计算.

【详解】∵过点且倾斜角为，∴直线的方程为，

与抛物线方程联立得：，设，，，，

则，

.

易得.

不妨设，则，

当时，，∴过点的切线斜率为，

同理过点的切线斜率为，

∴，∴①正确；

设P到准线距离为，点到准线的距离为，

若，则，当与y轴垂直时等号成立，则②正确．

，故③错误；

，故④错误；

故选：C．

12．若不等式恒成立，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.

【详解】解：由不等式恒成立，

可知对x>0恒成立.

设，则该函数为上的增函数，故，

故对任意的恒成立，

设，则，

当时，，故为上的增函数，

而当时，有，不合题意；

当时，对任意的恒成立，

当时，

若，则，当时，，

故在为减函数，在为增函数，

故，

所以

故 .

综上：的取值范围是.

故选：B

【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是对x>0恒成立.设，转化为对任意的恒成立；其二是说明当时，有.

二、填空题

13．在的展开式中，二项式系数之和为32，则展开式中项的系数为___．

【答案】1080

【分析】根据二项式系数之和求出n，求出其通项，令x次数为4计算出此时r取值.

【详解】由题可知，

则的通项为，

令，

则系数为：.

故答案为：1080.

14．设等差数列的前n项和为，且，则当n＝___时，最小．

【答案】2022

【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质判断数列正负交替的项即可.

【详解】根据等差数列的前n项和公式和性质得：

，

，

，，

前2022项为负，从2023项开始为正，故前2022项和最小.

故答案为：2022.

15．排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，则最后甲队获胜的概率是________．

【答案】

【分析】分经过局甲队获胜，经过局甲队获胜，经过局甲队获胜，三种情况讨论，注意最后一局一定为甲队获胜.

【详解】解：当经过局甲队获胜，则概率为，

当经过局甲队获胜，则概率为，

当经过局甲队获胜，则概率为，

所以最后甲队获胜的概率是.

故答案为：.

16．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．

【答案】

【分析】结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.

【详解】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．

由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．

因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，

同理．

又，

所以．

在△ADF中，由勾股定理可得，

即，化简得，

由基本不等式得，解得

（当且仅当时取等号），所以．

故答案为：

三、解答题

17．已知等比数列的前n项和为（b为常数）．

(1)求b的值和数列的通项公式；

(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；

（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：由题设，显然等比数列的公比不为1，

若的首项、公比分别为、，则，

∴且，所以，

故的通项公式为．

当时，；

(2)解：令，，解得，所以

数列在中的项的个数为，则，所以，

∵，①

∵②             

两式相减得∴．

∴

18．“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通，基础设施联道、能源资源互通，行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥，要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180）、[180，200）、[200，220）、[220，240）、[240，260），[260，280）、（280，300）分组的频率分布直方国如图．

(1)在年平均情售量为[240，260）、[260，280）、[280，300）的三组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取12家大型农宽市场，求年平均销售量在[240，260）、[260，280）、[280，300）的表贸市场中应各抽取多少家？

(2)在（1）的条件下，再从[240，260）、[260，280）、[280，300）这三组中抽取的衣贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在[240，260）组，求随机变量的分布列与期望．

【答案】(1)平均销售量为[240，260）抽取6家；平均销售量为[260，280）抽取4家，平均销售量为[280，300）抽取2家；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）首先求出抽样比，再根据应用分层抽样的等比例原则求不同平均销售量区间所抽取的数量.

（2）由题设知，应用古典概型的概率求法求对应的概率，进而得到分布列，最后根据分布列求期望即可.

【详解】(1)平均销售量为[240，260）共有家，

平均销售量为[260，280）共有家，

平均销售量为[280，300）共有家，

抽样比，

所以，平均销售量为[240，260）抽取家，

平均销售量为[260，280）抽取家，

平均销售量为[280，300）抽取家.

(2)由题意知：，

，，，，

的分布列如下：

．

19．如图1所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC＝2，AD＝3，CD＝，边AD上一点E满足DE＝1，现将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使平面PBE⊥平面BCDE，如图2所示．

(1)求证：；

(2)求平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，通过证明平面来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值.

【详解】(1)取BE中点O，连接AO，CO，CE，

因为BC＝2，AD＝3，DE＝1，所以，

又因为AD//BC，所以AE//BC，

所以四边形ABCE是平行四边形，

因为

所以，

所以ABCE为边长为2的菱形，且，

所以和都是正三角形，

所以PO⊥BE，CO⊥BE，

又因为，所以BE⊥平面POC，

又因为平面POC，所以PC⊥BE．

(2)由于平面PBE⊥平面BCDE，且交线为，，

所以平面，所以，

由（1）知OB、OC、OP两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，，

∴，

设平面PCE的法向量为，

则，

令得，

由（1）知平面PBE的法向量为，

所以平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】20．已知点在椭圆上，且点Q到曲线C的两焦点的距离之和为．

(1)求C的方程；

(2)设圆上任意一点P处的切线l交C于点M、N，求cos∠MON的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由求解；

（2）当直线l的斜率存在时，设方程为：．根据直线l与圆相切，得到m，k的关系，联立，结合韦达定理，由 求解；直线l的斜率不存在时，根据对称性得到M，N的坐标求解.

【详解】(1)解：∵点在椭圆上，且点Q到C的两焦点的距离之和为．

∴，     

 ∴

所以椭圆C的方程为：．

(2)当直线l的斜率存在时，设方程为：．因为直线l与圆相切，

所以，即，

联立，整理可得：，

设，

∴

又因为，

，

，

所以；

所以；

当直线l的斜率不存在时，根据对称性得M，N的坐标分别为，

此时有，所以，

综上知．

21．已知函数．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：当时，；

(3)证明：对任意的正整数不等式成立．

【答案】(1)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数求得的单调区间.

（2）先证得，然后证得，从而证得.

（3）根据（1）得到，然后结合对数运算证得不等式成立.

【详解】(1)函数的定义域为，

令，

∵，∴，令，

得，

g(x)的图象为开口向上的抛物线，，

当时，，∴，所以函数f(x)单调递减；

当时，，∴，所以函数f(x)单调递增，

所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)由（1）知，当时，f(x)在（0，1）上单调递减，在上单调递增，

因此对任意恒有，即

所以①，

要证，只要证，

令，所以，

所以，

∵，   ∴

所以在上单调递增，

所以，所以在上单调递增，

所以，所以当时，②，

由不等式的性质及①②得.

(3)由（1）知，当时，f(x)在（0，1）上单调递减，在上单调递增，

因此对任意恒有，即

令恒有，即

所以，

所以

所以原不等式得证．

【点睛】利用导数研究函数单调性的过程中，导函数含有参数时，不一定需要分类讨论，如本题中，结合二次函数的知识分析导函数的分子，可求得其定义域内的唯一零点，并求得单调区间.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l：与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)参数方程消去参数化为普通方程，再利用极坐标和直角坐标互化公式转化即可；

(2)可求l的极坐标方程，联立直线l和曲线C的极坐标方程，消去θ，得到关于ρ的二次方程，根据极径的意义求出AB长度，再利用三角形面积公式即可计算△PAB面积.

【详解】(1)由(为参数)，

消去参数得，

由得，曲线C的极坐标方程为．

(2)由题意可得直线l的极坐标方程为．

设，

联立   整理得，

则，

从而．

故△PAB的面积．

23．已知函数．

(1)若，求不等式f(x)≥7的解集；

(2)若，求m的取值范围．

【答案】(1)或.

(2).

【分析】（1）当时，，分，，讨论，分别求解即可；

（2）原不等式等价于，即有，求解即可.

【详解】(1)解：根据题意，当时，．

当时，，解行；

当时，，不成立；

当时，，解得．

综上可知，所求解集为或．

(2)解：根据题意，，

∴，

∵，∴     ∴，

综上，，使得时，m的取值范围为．