2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（理）试题含解析

2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知R为实数集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据对数型函数的定义域求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得；

【详解】解：由，即，解得，即，

又，所以，所以；

故选：D

2．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解判断即可.

【详解】，

所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A

3．下列结论错误的是（       ）

A．若“”为真命题，则p、q均为真命题

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题“若，则”的否命题是“若，则”

D．命题“，都有”的否定是“，使得”

【答案】D

【分析】根据且命题的真值表判断选项A；按充分不必要条件的定义判断选项B；根据否命题定义判断选项C；利用全称命题的否定可判断D.

【详解】选项A: 若“”为真命题，则p，q均为真命题，故A正确；

选项B: 由“”可推出“”，当时，此时由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

选项C: 命题“若，则”的否命题是“若，则”．故C正确；

选项D: 命题“，都有”的否命题是“，使得”，故D错误.

故选：D.

4．函数的大致图像为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．

【详解】当，，函数为奇函数，排除C；

，排除AD；

故选：B.

5．为得到函数的图象，只需把函数的图像（       ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，向左平移个单位得：，A错误；

对于B，向左平移个单位得：，B错误；

对于C，向右平移个单位得：，C错误；

对于D，向右平移个单位得：，D正确.

故选：D.

6．在区间上随机取两个数x、y，则满足的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何概型计算公式即得.

【详解】由题可知试验的全部结果所构成的区域为，

满足的结果构成的区域为，

结合几何概型计算公式可得满足的概率为.

故选：A.

7．已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性和周期性，即可得解.

【详解】由已知可得.

故选：B.

8．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（       ）

A．4320种 B．2160种 C．1080种 D．540种

【答案】C

【分析】由题意可得分到四家医院的人数为2，2，1，1，先进行分组，再分配到四家医院，可得答案.

【详解】由题意可知：6名调研员安排到4家医院，

符合条件的安排是四家医院分到的人数为：2，2，1，1，

共有 ,

故选：C

9．如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得点与重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.

【详解】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

设，，，，

平面，，解得：，

与重合，

三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

外接球，外接球表面积.

故选：B.

10．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆．假设内层椭圆的标准方程为，外层精圆的标准方程为，若由外层椭圆上的一点向内层椭圆引切线、，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于（       ）

A． B． C． D．不确定

【答案】A

【分析】假设，切线方程为，联立得即可求解.

【详解】假设，切线方程为，由，

得，

根据题意得，即，

所以.

故选：A.

11．已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先用、表示，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

所以

所以，当且仅当时，取等号；

所以，当且仅当时，取等号；

故选：C

12．设，其中e是自然对数的底数，则（       ）

注：

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，则，利用导数研究函数的单调性可得

；根据作差法和对数的运算性质可得，构造新函数

，利用导数研究函数的性质可得，

进而，即可得出结果.

【详解】令，

则，令，

则在单调递减，

所以，

∵；

，

∴，

令，

则，∴在单调递增，

∴，

∴；

综上，.

故选：C

二、填空题

13．已知向量，，且，则实数的值为___________．

【答案】

【分析】求出和的坐标，求解计算即可.

【详解】根据题意得，

，因为，

所以，解得.

故答案为：.

14．已知的三个内角、、的对边分别为、、，若，，且，则边长的值为__________．

【答案】

【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角的值，求出的值，再利用正弦定理可求得边长的值.

【详解】由及正弦定理可得，

可得，由余弦定理可得，

，则，

因为，则为锐角，可得，

由正弦定理可得.

故答案为：.

15．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．

【答案】4或1010或4

【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.

【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，

∴，∴，k∈Z，

∵ω＞0，∴.

当时，，

y＝sinx图像如图：

要使在区间上有最小值无最大值，则：

或，

此时ω＝4或10满足条件；

区间的长度为：，

当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.

综上，ω＝4或10.

故答案为：4或10.

16．已知双曲线的左焦点为，过的直线l与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若双曲线的离心率为，则_______．

【答案】

【分析】设双曲线的右焦点为，过作于，得到和，

设，求出和，根据求解即可.

【详解】设双曲线的右焦点为，过作于，

由中位线定理知：，，因为，

设，由双曲线定义知：，

又因为，

由勾股定理知：；

故答案为：3

三、解答题

17．计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司年至月份的经济收入（单位：千万）的折线图．

(1)由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；

(2)若该创新公司定下了年内经济月收入突破千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？

附注：参考数据：，

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，

【答案】(1)

(2)能达到目标

【分析】（1）利用最小二乘法直接求解即可；

（2）将代入回归直线可求得，由此可得结论.

【详解】(1)由题意得：，，

，

，

关于的回归方程为：.

(2)当时，，该公司能达到目标.

18．已知数列，且为等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算可得，再利用与的关系即得；

（2）利用裂项相消法可得，进而即得.

【详解】(1)由题可知，

∴等差数列的公差，

∴，

∴，

当时，，

又∵，

∴；

(2)由（1）可知，

∴．

由题可知，

∴m的取值范围是.

19．如图，四棱锥中，平面平面．

(1)若为等边三角形，求证：∥平面；

(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的定义证明即可

（2）根据定义，得出即为二面角的平面角，再列出，进而可利用三角函数的性质求解即可

【详解】(1)在底面四边形中，，∵是等边三角形，∴，

∴，又∴平面，∴平面，∴平面

(2)∵，，∴，

又∵平面平面平面，

平面平面，

∴平面，          

取中点H，∵，∴，

∵平面平面，∴，

∴平面，∴，

∴即为二面角的平面角，          

∵，其中为所成的角，∵，∴时，四棱锥的体积最大，此时，∴，∴是等边三角形，∴，在中，∴，∴，

∴二面角的正切值为

20．已知抛物线上的点到准线的距离为a．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在；.

【分析】（1）由题意可列出的方程组，计算求解即可；

（2）设直线l的方程为，、，联立方程组得出、，根据题意可求出的值，可求出的直线l方程.

【详解】(1)由题可知：，

∴抛物线C的方程为；

(2)假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为，、，

则，、，

由，得，

由题可知：，

∴，

∴，

故存在满足题意的直线l，直线l的方程为.

21．已知函数，其中．

(1)求的极值；

(2)设函数有三个不同的极值点．

（i）求实数a的取值范围；

（ii）证明：．

【答案】(1)，无极大值；

(2)（i） ；（ii）证明见解析.

【分析】（1）由题可得在单调递增，进而可得在单调递减，在单调递增，即得；

（2）（i）由题可知有三个不同的正实根，令进而构造，可得有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得；（ii）令、,则、为的正实根，再利用导数解决双变量问题，可得，进而即证.

【详解】(1)由题可得，

∴在单调递增，

∵，

∴时，时，

∴在单调递减，在单调递增，

∴，无极大值；

(2)（ⅰ），

由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，

∴有两个不同的正实根，

∴

∴，

设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，

又∵，∵，且，

∴有三个不同的正实根，满足题意，

∴a的取值范围是；

（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，

令，则，，

令在单调递增、，

∴在单调递减，在单调递增，

令，则

，

∵，∴，

令，，

∴在单调递增，

∴，∴在单调递减，

∵，∴，

∵，∴，

∵在单调递增，

∴，

∴.

【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

22．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

(1)求曲线和曲线的直角坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线与曲线、分别交于A、B两点，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；根据消参法即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）求得曲线的极坐标方程，将代入求得极半径，结合曲线的极半径，求得答案.

【详解】(1)根据 ，可得 ，

故曲线的直角坐标方程为；

曲线的参数方程为（为参数），则消去参数得；

(2)将代入，

得曲线的极坐标方程为，

令，

∵，

射线与曲线交于A，对应的极半径为 ，

∴．

23．已知．

(1)解关于x的不等式；

(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对绝对值进行分类讨论，即可求解

（2）根据基本不等式，可得，进而问题转化为，进而求出所求的范围

【详解】(1)可得，

当时，不等式等价于，解得，，

当时，不等式等价于，此时不等式恒成立，，

当时，不等式等价于，解得，，

综上所述，不等式的解集是

(2)，，

，当且仅当时成立，

所以，对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，

等价于，设，由（1）得，，明显可见，，，所以，，当时，有最小值，，

所以，此时实数的取值范围为，

综上所述，实数的取值范围．