2023届江西省南昌市高三二模数学（理）试题含解析

2023届江西省南昌市高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合，然后由交集运算得出答案．

【详解】由可得，所以，

由，即，可得，所以，

所以.

故选：D．

2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘、除法运算得到，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】复数满足，

，

对应点为，在第四象限.

故选：D.

3．已知数列，若，则（    ）

A．9 B．11 C．13 D．15

【答案】B

【分析】由题中条件，分别令，，即可得解.

【详解】由，

令，则，则，

令，则，则.

故选：B.

4．已知函数，命题，使得，命题，当时，都有，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真假，结合命题“且”、“或”、“非”的概念，依次判断即可.

【详解】命题p：当时，，

所以，即，

则，使得，故命题p为假命题；

命题q：当时，函数单调递增，

又函数在R上单调递增，所以函数在上单调递增，

所以时，，故命题q为真命题.

则命题为真，故A正确；

命题为假，故B错误；

命题为假，故C错误；

命题为假，故D错误.

故选：A.

5．已知抛物线的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M过点且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得弦长是（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【分析】设，则，，进而，解得，利用垂径定理计算即可求解.

【详解】由题意得，，则准线为，

设，因为圆M与直线l相切，所以圆的半径为，

则圆的标准方程为，

又圆M过点，所以①.

又②，

由①②，解得，则，设圆M与y轴交于点B、C，

则.

故选：D.

6．如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】如图，当点P的轨迹为(含边界)时符合题意，结合图形，即可求解.

【详解】如图，取的中点，连接，

则当点P的轨迹为(含边界)时，

三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，

此时若P与M重合，最小，且最小值为1，

若P与Q重合，最大，且最大值为，

所以的取值范围为.

故选：D.

7．已知单位向量满足，则的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由两边平方，根据向量数量积的运算即可求出夹角.

【详解】记的夹角为，则，

由，即，两边平方，得，

即，即，则，

当时，，不符合题意，

所以，又，则．

故选：C．

8．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质，结合对数换底公式判断即可．

【详解】，

，

综上，.

故选：A．

9．已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ）

A．4056 B．4096 C．8152 D．8192

【答案】C

【分析】插入组共个，可知前面插入12组数，最后面插入9个，从而可得插入的数之和为，又数列的前13项和，可得

【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．

，

∵，

∴

，

又数列的前13项和为

，

故选：C．

10．已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】正四面体中，顶点在面BCD的投射影为的中心，正四面体外接球球心为点，在直角三角形中求出，，设小正四面体的棱长，为上面小正四面体底面中心，可得，由题意，八面体的外接球半径，由此即可解得答案．

【详解】如图，正四面体中，棱长为；顶点在面BCD的投射影为的中心，

正四面体外接球球心为点（截去四个全等的小正四面体之后得到的八面体的外接球球心同样为点）．

为中点，，，，

在中，，

在中，，又，

则，即，解得，

则，

设小正四面体的棱长，为上面小正四面体底面中心，

则．

由题意，八面体能放进半径为的球形容器，则八面体的外接球半径．

在中，，

则，即，解得．

所以截去的小正四面体的棱长最小值为．

故选：B．

11．已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用x表示a，再数形结合探求出的关系，然后逐项判断作答.

【详解】依题意，由得：，即，

令，，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

函数有三个零点，即直线与函数与函数的图象共有三个公共点，

在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，它们有公共点，如图，

因此直线必过点，令直线与函数的图象另一交点为，与函数

的图象另一交点为，显然，且有，

由得：，即，而，于是，

由得：，即，而，于是，

由得：，即，D正确；

对于A，，A错误；

对于B，令，，函数在上递增，

即有，因此，则，

而，从而，B错误；

对于C，因为，若成立，则必有，

令，，当时，递减，

当时，递增，而，

因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内，

令，，当时，递减，

当时，递增，而，

因此函数的两个零点，即方程的两个根分别在区间内，

显然直线与函数和的图象的交点有4个，不符合题意，

所以，即不正确，C错误.

故选：D

【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

12．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．先求仅相邻的种数，把看作一个元素，分三种情况讨论：排在首尾；排在五个位置中第二、第四位；排在第三个位置，同理得仅相邻，仅相邻的情况，进而得出概率.

【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．

先求仅相邻的种数，把看作一个元素，

当排在首尾时，不同的排法有种；

当排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有种；

当排在第三个位置时，不同的排法有种，

故仅相邻共有种排法，

同理得仅相邻，仅相邻的情况，也都有种排法，

所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为．

故选：A.

二、填空题

13．已知随机变量X的分布列为

则随机变量的数学期望________．

【答案】

【分析】根据为的数学期望求解.

【详解】解：因为随机变量X的分布列为

所以随机变量的数学期望，

故答案为：

14．已知变量x，y满足，则的最大值为________．

【答案】2

【分析】作出不等式组所对应的线性规划区域，数形结合即可求解.

【详解】如图，作出不等式组所对应的线性规划区域：

，当直线过时，取得最大值，最大值为，

故答案为：2.

15．已知函数的图象关于点中心对称（e为自然对数的底数），则________．

【答案】/-0.5

【分析】根据抽象函数的对称性可得，由可得

，

列出方程组，解出a、b即可求解.

【详解】若函数满足，

则函数的图象关于点对称.

因为函数的图象关于点对称，不妨令，

则，

由，得，

由，得，

所以，

即

整理，得

，

其中为常数，有，解得，

所以.

故答案为：.

16．足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，，这两平行线间的距离为，，点B在直线l上，且，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与的夹角为，已知站位B，C两点队员跑动速度都是，现要求接球点满足下面两个条件：

①站位B点队员能至少比站位C点队员早跑到接球点；

②接球点在直线l的左侧（包括l）；则的取值范围是________．

【答案】

【分析】如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系，设接球点为，根据，可得点在以为焦点的双曲线的右支上，根据，求得点的坐标，直线与双曲线的右支交于（在的上方），求出两点的坐标，再求出的斜率，结合图象即可的解.

【详解】如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系，

则，

设接球点为，若，

得点在以为焦点的双曲线的右支上，

设，则，

因为，

所以，解得，

即，

设直线与双曲线的右支交于（在的上方），

令，则，所以，

则接球点为位于双曲线右支与直线围成的区域内或边界，则，

，

因为直线的倾斜角与互补，

由图可知，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，根据再结合双曲线的定义求得点的轨迹，是解决本题的关键.

三、解答题

17．如图是函数的部分图象，已知．

(1)求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，则，再根据求得周期，即解；

（2）根据结合三角恒等变换化简计算即可的解.

【详解】（1）设，函数的最小正周期为T，则，

则，

故，解得(负值舍去)，

所以，所以；

（2）由（1）得，

，得，

即，

所以，

又因，则，

所以，所以.

18．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点E在线段上，，平面平面．

(1)求；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间共线向量的坐标表示求得，结合空间垂直向量的坐标表示计算即可求解；

（2）利用空间向量法求出平面的一个法向量，结合数量积的定义计算即可求解.

【详解】（1）取AB的中点O，连接BD、DO，过P作DO的平行线PG，

在菱形ABCD中，，则为等边三角形，得，且，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，由，则平面，

又平面，所以，由，

建立如图空间直角坐标系，由，得，

取PA的中点F，连接OF，则，

所以，，

有，设，则，

由，得，即，.

设，则，有，

由，得，解得，

即；

（2）设平面的一个法向量为，

由，，

得，令，则，

所以，又，

所以，

故直线DE与平面CDP所成角的正弦值为.

【点睛】19．一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为，其中，并得到了各采样点金属锂的含量，得到一组数据，经计算得到如下统计量的值：

，，，，，其中．

(1)利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型；

(2)建立y关于x的回归方程．

参考公式：回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为，，；

参考数据：．

【答案】(1)用作为y关于x的回归模型方程更适宜，理由见解析；

(2)

【分析】（1）用作回归模型求出相关系数，用作为回归模型求出

相关系数，比较大小可得答案；

（2）由已知条件求出，可得答案.

【详解】（1）若用作回归模型，

，，

所以相关系数，

若用作为回归模型，

相关系数，

比较与，

，

，

因为，所以用作为y关于x的回归模型方程；

（2）由（1），，

，，

，

则y关于x的回归方程为.

20．已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，上顶点为B，过点的直线斜率分别为，直线与直线的交点分别为B，P．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与椭圆C的另一个交点为Q，直线与x轴的交点为R，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列出关于的方程，求解即可；

（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得点坐标，直线的方程与直线的方程联立解得点坐标，由结合的范围求得答案．

【详解】（1）因为直线的斜率为，所以，

焦距，因此，

解得，所以椭圆的方程是；

（2）

因为，所以直线的方程为，

联立，整理得．

则，故，

则．

所以．

又直线的方程为．

联立，解得．

，

因为，所以，所以．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解范围问题的常见求法：

（1）将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．

（3）利用几何条件构造不等关系．

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围．

（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

21．已知函数为的导函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)已知，若存在，使得成立，求证：．

【答案】(1)极大值为，无极小值．

(2)证明见解析

【分析】（1），求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；

（2）不妨设，因为，所以，结合，得，设， 构造函数，结合函数的单调性，可证得结论.

【详解】（1）当时，此时，

则，

当时，，则在单调递增；

当时，，则在单调递减；

所以的极大值为，无极小值．

（2）不妨设，因为，

则，

即，所以，

由，则，

，

即，

所以

即，

设， 构造函数，

则，

所以在上为增函数，

所以，

因为，

所以．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．

22．“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；

(2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．

【答案】(1)，：

(2)

【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；

（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.

【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，

则，，

∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.

∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，

∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，

∴的直角坐标方程为（），即（），

将，，代入上式，得，，

化简，得分界线的极坐标方程为，.

（2）

∵在上，∴设点的极坐标为，则，，

∴的面积

∵，∴，

∴当，即时，的面积的最大值为.

∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，

∴面积，

∴面积的最大值为.

23．已知．

(1)在给出的直角坐标系中画出函数的图象；

(2)若在上恒成立，求的最小值．

【答案】(1)图象见解析

(2)3

【分析】（1）化简为分段函数形式，作图即可；

（2）结合函数和的图象，分，，与四种情况讨论，结合图象及基本不等式求解．

【详解】（1）

其图象如下图所示：

（2）由（1）知函数与轴的交点为和，

结合函数和的图象可以知道，

当时，当或或时，由图可知在上不可能恒成立；

当时，，而的值有负数，可知在上不可能恒成立；

当时，只需，则在上恒成立，此时，

当时，过点且斜率为的直线方程为，

令，则，要在上恒成立，则，

此时，当且仅当时等号成立．

综上：的最小值为3．