2023届高考数学二轮复习专题十二空间向量与立体几何综合练习作业（A）含答案

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2023届新高考数学高频考点专项练习：专题十二空间向量与立体几何综合练习（A卷）1.空间直角坐标系中，已知，，则线段AB的中点坐标为(   )A. B. C. D.2.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是(   )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D3.已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于(   )A. B. C. D.4.已知正方体，若，则正方体的棱长等于(   )A.2 B. C. D.45.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是(   )

A. B. C. D.6.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )A. B. C. D.7.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为(   )A.2 B. C. D.8. (多选)已知向量，，则下列结论中正确的是(   )A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则9.(多选)已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A.平面B.平面平面C.点F到平面的距离为定值D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值10.如图，O为所在平面外一点，M为BC的中点，若与同时成立，则实数的值为______________.
 11.已知空间的一个基底，，，若m，n共线，则___________，__________.12.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.13.已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_____.14.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.15.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.
答案以及解析1.答案：D解析：设中点坐标为，根据中点坐标公式得，，.故选D.2.答案：A解析：，A，B，D三点共线，故选A.3.答案：D解析：.4.答案：C解析：设正方体的棱长为a，则有，则有，故.5.答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，可设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，则，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.6.答案：B解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则即令，则.点到平面的距离.7.答案：D解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，所以，，.设平面BCD的法向量为，则即令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.8.答案：AC解析：由得，解得，故A选项正确；由得，解得，故B选项错误；若存在实数，使得，则，，，显然无解，即不存在实数使得，故C选项正确；若，则，解得，于是，故D选项错误.9.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

.
设，，，则.
对于A，，，，
，，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.10.答案：解析：，所以.11.答案：1；-1解析：，n共线，，使，，得解得12.答案：解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.13.答案：解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可求得，，，，.由于，，，两两垂直，所以，故.14.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为ABCD是直角梯形，，
所以，即，
因为CDEF是直角梯形，，
所以，即.如图，在AB边上作，连接DH，易得，

在中，因为，所以，.在DC边上作，连接EG，易得，
在中，因为，所以，.
易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，
又N为BC的中点，所以.因为，，，所以平面BCF.
又平面BCF，所以.
因为，，故平面ABCD，
又平面ABCD，故.（Ⅱ）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，

以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面ADE的法向量为，
则，即，
取，则，，即是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为，
因为，
所以.15.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.