2023届高考数学二轮复习专题十五计数原理综合练习作业（B）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题十五计数原理综合练习（B卷）

1.在的展开式中，的系数为(   )

A.30 B.50 C.70 D.90

2.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有(   )

A.6种 B.8种 C.20种 D.24种

3.已知的展开式中的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为(   )

A.5 B.10 C.20 D.1

4.某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(   )

A.12 B.24 C.48 D.720

5.若二项式的展开式中所有项的系数和为1024，则展开式中的常数项为(   )

A.25 B.-25 C.15 D.-15

6.“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排A，B，C，D，E，F，G，H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看望老人甲，学生B不安排看望老人乙，则安排方法共有(   )

A.1260种 B.2520种 C.1440种 D.1890种

7.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为(   )

A. B. C. D.

8.(多选)已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是(   )

A.展开式中的常数项为1

B.展开式中二项式系数最大的项为第三项与第四项

C.

D.展开式中x的指数均为偶数

9.(多选)为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有(   )

A.每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种

B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种

C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种

D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种

10.(多选)已知，则(   )

A.展后式中的第4项为

B.展开式中的常数项为60

C.展出式中的各项系数之和为1

D.展开式中第4项的二项式系数最大

11.在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为___________.

12.某电视台连续播放7个不同的广告，其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为______________.

13.已知二项式的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则_________，常数项为_____________.

14.“双减”政策落地，很多学校为响应国家政策实行了课后延时服务，旨在破解学校放学后、家长下班前学生无人看管的社会性难题.某学校在周一到周五依次安排篮球、美术、象棋、编程、美术延时课服务.某学生计划每周上两天不同的延时课，则该学生的选取方案有_______种.(用数字作答)

15.十二生肖（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪），又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖.现有十二生肖的吉样物各1个，从中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得1个吉祥物，则不同的分法种数为___________.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由二项式定理得展开式的通项，分别令，解得，所以的系数为.故选C.

2.答案：B

解析：由题意知，当甲第一个出场时，不同演讲的方法有(种)；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有(种)，

所以所求的不同演讲方法有(种)，故选B.

3.答案：A

解析：因为的展开式中的各项系数之和为32，所以又的展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.

4.答案：C

解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有种不同的排法.故选C.

5.答案：A

解析：由题意可知当时，，解得，

二项式的展开式的通项公式为，

令，解得，所以展开式中的常数项为.故选A.

6.答案：C

解析：8名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有种安排方法，

其中A看望老人甲的情况有种；

B看望老人乙的情况有种；

A看望老人甲，同时B看望老人乙的情况有种，

符合题意的安排方法有种，

故选：C.

7.答案：A

解析：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项令，得.所以展开式中的系数为.故选A.

8.答案：CD

解析：令代入二项式得各项的系数和为，则.

对于选项A，设展开式的通项为，令，则常数项为，故A错误；

对于选项B，由可得展式中二项式系数最大的项仅有第四项，故B错误；

对于选项C，，故C正确；

对于选项D，由展开式的通项可得展开式中x的指数均为偶数，故D正确，故选CD.

9.答案：ABD

解析：对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，

故不同的调研安排有种，故A正确；

对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，

分别有，种分组方法，

则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；

对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种，

则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.

故选：ABD.

10.答案：BCD

解析：的展开式的通项，

对于A，展开式中的第4项为，所以A不正确；

对于B，令，解得，所以展开式中的常数项为，所以B正确；

对于C，令，得展开式中各项系数之和为，所以C正确；

对于D，由可知展开式共有7项，所以展开式中第4项的二项式系数最大，所以D正确.故选BCD.

11.答案：45

解析：的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，，再令，可得所有项的系数和为，.故二项展开式的通项公式为，令，求得，可得含的项系数为，故答案为：45.

12.答案：720

解析：第一步，将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列，不同的安排方式有种，

第二步，对3个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种，

故不同的播放方式有种.

13.答案：6；15

解析：由展开式中各项的二项式系数之和为，得，所以的展开式的通项，令，得，故展开式中的常数项为.

14.答案：9

解析：①若该学生选择美术课，则可从周二、周五中随机选一天，再从剩下的三天中随机选一天，有种不同的选取方案；

②若该学生不选择美术课，则从剩下的三天中随机选两天即可，有种不同的选取方案.

综上，该学生的选取方案的种数为.

15.答案：49500

解析：本题考查排列、组合的综合应用.根据题意，分三步进行.第一步：从12个吉祥物中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物，有种选法；第二步：将5个吉祥物分成三组，若分为3，1，1的三组，有种分组方法，若分为2，2，1的三组，有种分组方法，则共有种分组方法；第三步：将分好的三组分配给甲、乙、丙3人，有种情况，则共有种分法.

16.答案：B