2023年山东省济南市历城区三校中考数学第二次联考试卷(含答案解析)

2023年山东省济南市历城区三校中考数学第二次联考试卷

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B. 5 C. 0 D.

2.  两个完全相同的长方体，按如图方式摆放，其主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  如图，直线，点B在直线b上，且，，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段的最小值为(    )

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

10.  定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域包括边界恰有5个整点，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  分解因式：______.

12.  一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______.

13.  若的值在两个整数a与之间，则______.

14.  如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则的度数为：______.

15.  已知是方程的一个根，则方程的另一个根为______.

16.  如图，在中，，点P在AC边上．将沿直线BP翻折，点A落在点处，连接，交AC于点若，，则的值为______.

17.  计算：

18.  求不等式组的正整数解.

19.  如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，，求证：

20.  某市为了调查居民的用电情况．有关部门对某小区的20户居民的七月用电量进行了调查，数据如下：单位：度
670，870，730，1140，700，690，1170，970，1000，970
730，840，1060，870，720，870，1060，930，840，870
整理数据按如下分段整理样本数据并补至表格：表

分析数据，补全下列表格中的统计量：表

得出结论：
表中的______，______，______，______.
若用表1中的数据制作一个扇形统计图，则所表示的扇形圆心角的度数为______度．
如果该小区有住户400户，请根据样本估计用水量在的居民户数？

21.  如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD切于点D，过点B作，垂足为C，交AD的延长线于点
求证：；
连接OC，如果，，求OC的长．

22.  2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为，
求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
求此运动员的身高．参考数据：，，
 

23.  为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天.
求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
已知甲公司安装费每天800元，乙公司安装费每天400元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过15000元，则最多安排甲公司工作多少天？

24.  如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在x轴的上方，且满足
若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
连接PO、PA，求的最小值；
若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点P的坐标.
 

25.  【问题发现】
如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线.猜想线段BD、CE之间的数量关系为______ ；______ ；
【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，DE为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长.
 

26.  已知，抛物线经过、、三点，点P是抛物线上一点．
求抛物线的解析式；
当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若，求直线PC的解析式；
如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用实数的性质得出答案．
【解答】
解：实数的绝对值是：
故选：  

2.【答案】B 

【解析】解：，根据所学知识可得：其主视图是B，
故选：
根据主视图的定义即可得到结果．
此题考查了三视图主视图、正确记忆三视图的概念是解题关键．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

4.【答案】B 

【解析】解：

，
，
，
，

故选：
由垂线的性质和平角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：A、，原计算正确，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式分别进行计算，即可得出答案．
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】
解：


，
故选：  

8.【答案】D 

【解析】解：函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：
根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置．
本题考查了一次函数与系数的关系：由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
，的图象在一、二、三象限；
，的图象经过一、三、四象限；
，的图象经过一、二、四象限；
，的图象经过二、三、四象限．
 

9.【答案】B 

【解析】解：连接PA、AD，如图，
由作法得EF垂直平分AC，
，
，
当且仅当P、A、D共线时取等号，
的最小值为AD，
，点D为BC的中点，
，
在中，，，
，
的最小值为
故选：
连接PA、AD，如图，利用基本作图可判断EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到，由于当且仅当P、A、D共线时取等号，所以的最小值为AD，接着利用等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出AD即可．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：抛物线化为顶点式为，故函数的对称轴：，M和N两点关于对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域包括边界恰有5个整点，这些整点是，，
如图所示：

当时，

当时，
即：，
解得
故选：
画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域包括边界恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得m的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：
找到公因式，提取公因式即可．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是
故答案为：
若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
 

13.【答案】2 

【解析】解：，
的值在两个整数2与3之间，
可得
故答案为：
利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出a的值．
此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
 

14.【答案】 

【解析】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，，，
，
故答案为：
分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
设，则，
由折叠性质可得，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在等腰中，，
，
，
故答案为：
由可得，从而可得，可得，由折叠性质可得，从而可得，设，则，由折叠性质可得，从而可得，可得，则，从而可得，在等腰中，可得，即可求解．
本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是利用折叠性质得到为等腰直角三角形，从而求出CD与DP的关系．
 

17.【答案】解：


 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
其正整数解是1， 

【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再把各个不等式的解集的公共部分表示出来，就是不等式组的解集．再写出解集中的正整数即可．
本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

19.【答案】证明：解法一：
四边形ABCD是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，

解法二：
连接AC，
四边形ABCD是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接AC，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

20.【答案】6 4 870 870 72 

【解析】解：具体统计用水量在范围的有6户，用水量在范围的有4户，因此，，
将这20户的用水量按从小到大排列，处在中间位置的两个数都是870，因此中位数是870，
出现次数最多的是870，共出现4次，因此众数是870，
故答案为：6，4，870，870；
，
故答案为：72；
户，
答：该小区400户住户中水量在的有240户．
具体统计各组的频数可得a、b的值，根据中位数、众数的意义可求出c、d的值；
用水量在范围的占调查户数的，因此相应的圆心角占的五分之一；
样本估计总体，样本中用水量在的居民户数占调查户数的，估计总体400户的五分之三是用水量在的居民户数．
本题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：连接OD，
切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接OC，
，
，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
 

【解析】连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质与判定定理证明即可；
连接OC，根据平行线的性质得到，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出OD，再根据正弦的定义求出PC，进而求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
解得，
此滑雪运动员的小腿ED的长度为
由得，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
运动员的身高为 

【解析】在中，，，，即可得出
由得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，
根据题意得：，
解得：，
答：最多安排甲公司工作15天． 

【解析】设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，由题意：甲公司安装费每天800元，乙公司安装费每天400元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：四边形OABC是矩形，，，
点B的坐标为，
点B在反比例函数的第一象限内的图象上
，
，
设点P的纵坐标为，

，
，
当点P在这个反比例函数图象上时，则，
，
点P的坐标为

过点，作直线轴．

由知，点P的纵坐标为2，
点P在直线l上，
作点O关于直线l的对称点，则，
连接交直线l于点P，此时的值最小，
则的最小值



①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，，
作轴，，
，
，
，同理可得．
，，
，
②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，同①利用勾股定理可得继而求出
，，
，
综上所述，点Q的坐标为，，， 

【解析】首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为，根据，构建方程即可解决问题；
过点，作直线轴．由知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小；
分四种情形分别求解即可解决问题；①以AB为菱形边向两侧斜向上作两个菱形，确定两个Q点位置．②以AB为菱形边向两侧斜向下作两个菱形，确定两个Q点位置．
本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】 

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点B，D，E在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段BD与CE之间的数量关系是，
故答案为：，60；

结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

分两种情况：
①如图4，

，，，
，
，
为的中位线，
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
∽，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
②如图5，同①得：∽，
则，，

设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
综上所述，CE的长为或
证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论；
分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出BE的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：将、、代入，
，
，
；
过点B作交于点M，过点M作轴交于点N，
、，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线CM的解析式为，
，
，
直线PC的解析式为；
的值是为定值，理由如下：
设，
设直线AP的解析式为，
，
，
，
，
，
设直线BP的解析式为，
，
，
，
，
，
，
的值是为定值 

【解析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
将、、代入，即可求解；
过点B作交于点M，过点M作轴交于点N，由题意可得，求出，再由，求出点，求直线CM的解析式即为所求；
设，分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．