四川省遂宁中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期中考试试卷（Word版附解析）

遂宁中学2022～2023学年度下期半期考试

高二理科数学

考试时间：120分钟          满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.

2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.

3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一．单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 设命题，,则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

答案：D

解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以：，.

故选：D.

2. 已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）

A. 2 B. 1 C. －1 D. －2

答案：D

解析：由题意，，所以.

故选：D.

3. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ）

A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121

答案：A

解析：，

所以函数在区间上的平均变化率为.

故选：A

4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：D

解析：由方程，可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：D

5. 函数的单调减区间是（         ）

A.  B.  C.  D.

答案：C

解析：，则，取，解得.

故选：C.

6. 已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

答案：B

解析：如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

7. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）

A. 3 B. 5 C.  D. 13

答案：B

解析：因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

答案：B

解析：因为，所以，

由双曲线的定义可得，

所以，解得，

故的面积为．

故选：B.

9. 抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )（参考数据：）      

A.  B.  C.  D.

答案：A

解析：∵，又，所以点P在以AF为直径的圆上，

设点P的横坐标为m，联立与得.

∵，∴，∴

故所求弦长为.

故选:A

10. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：B

解析：因为命题“，”是真命题，

所以，恒成立，

所以，

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，

故选：B

11. 双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：B

解析：根据题意，作图如下：

设点在第一象限，因为原点在以为直径的圆周上，

所以又因为、分别是、的中点，所以，

则在直角三角形中，，即，
因为直线斜率为，即，

解得：，，即点的坐标为，

代入双曲线方程得，又，

解得，则离心率为.

故选：.

12. 若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：C

解析：因为导函数的图象为直线，且，

所以函数为过原点的二次函数，

设，

所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，

则，

又由，得，

则，

，

所以，，

所以，

故选：C

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 抛物线的焦点坐标是______.

答案：

解析：因为抛物线方程，焦点坐标为，且，

所以焦点坐标为，

故答案为：.

14. 在函数的图象上，点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________.

答案：4

解析：解：∵，

∴，

∴函数在点处的切线为，化简为，

令，，，，

故点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.

故答案为：4.

15. 有限集S中的元素个数记作，设A、B是有限集合，给出下列命题：

（1）的充分不必要条件是；

（2）的必要不充分条件是；

（3）的充要条件是

其中假命题是（写题号）________________.

答案：(1)(3)

解析：(1)当时,即为集合的元素个数之和,即为.

又当时,中的元素个数和等于中的元素个数,故.

故是的充要条件.故(1)错误.

(2)当时,中的元素个数小于等于中的元素个数,故,

但当时也可能有不属于的元素.

故是的充分不必要条件,即的必要不充分条件是.

故(2)正确.

(3)当意为中的元素个数相等,并不一定有.故(3)错误.

故答案为：(1)(3)

16. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.

答案：

解析：由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.

在中，由正弦定理得.

因为，所以，所以.

因为点在双曲线右支上，所以，

所以，得.

由双曲线的性质可得，

所以，化简得，

所以，解得.

因为，

所以.

即双曲线离心率的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

答案：（1）；（2）3.

解析：（1）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，

所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是

（2）由题意知.因为，所以.

由，得，

所以的单调递减区间为，

又已知的单调递减区间为，

所以，

所以，即.

18. 设：，：.

（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；

（2）若是充分不必要条件，求的取值范围.

答案：（1）   

（2）

1.因为，由可得：，

因为“，”为真命题，

所以，

即，解得：.

即的取值范围是.

2.因，由可得：，

，

因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，

所以（等号不同时取），解得：，

即的取值范围是.

19. 已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.

答案：（1）；（2）.

解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：

（2）由得

设，则，，所以

则中点坐标为，代入圆

得，所以.

20. 设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线的倾斜角为锐角；

（1）若为真命题，求取值范围；

（2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.

答案：（1）；（2）不存在，理由见解析.

解析：（1）命题：实数使曲线表示一个圆，即表示圆，

则需，解得或，设集合，

命题：直线的倾斜角为锐角，则，解得或，设集合；

因为为真命题，所以，所以的取值范围为；

（2）要使为假命题，则需都为假命题，即为真命题，为假命题，由（1）得，而，

所以不存在使得为假命题.

21. 已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

答案：（1）；（2）.

解析：解：（1）当时，，

∴，，

∴切线方程为，

即

（2）∵，

∴原条件等价于：在上，恒成立.

化为

令，

则

令，则

在上，，

∴在上，

故在上，；在上，

∴的最小值为，∴

22. 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

答案：（1）   

（2）在轴上存在定点或，使得

1根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，

对于，令得，解得，所以，

则，

∴椭圆的方程为.

2.解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，

联立，

则由韦达定理有：，，

由的标准方程得，

设直线，当时，，

同理，设直线，当时，，

∴，，

∴

，解得，

故在轴上存在定点或，使得.