2022-2023学年江苏省宿迁市高一下学期期中数学试题

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
3. 在中，已知，，，则等于（ ）
A. B. C. D. 或
4. 等于（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（ ）．

A. B. C. D.
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
7 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的共轭复数是
B. 的虚部是
C.
D. 若复数满足，则的最大值是
10. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B 若，则
C.
D. 若且，则
11. 设…是半径为1的圆O内接正n边形，则由圆的旋转不变性知：．据此可推断下列结论正确的有（ ）．
A.
B
C.
D.
12. （多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A. B.
C. 的周长为D. 的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13 __________．
14. 李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李-杨单位圆定理：设n为自然数且，给定，，，．则多项式的零点（多项式值为零的复数z的值）全部分布在单位圆上．其中，而，并约定．其特例：当时，设，．若取，则的一个零点为__________．
15. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是_________．
16. 兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 若复数，复数．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求．
18. 已知向量与夹角，且，．
（1）求；
（2）与的夹角的余弦值．
19. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
20. 如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
（1）若，求的长；
（2）求四边形面积的最大值.
21. 在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
22. 在中，
（1）|，于D，，，求，.
（2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角