2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学高二下学期第二次月考数学试题含解析

2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设，则数列是（    ）

A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列

【答案】A

【解析】通过列举数列前项，可排除BCD，再通过等比数列的定义可得A.

【详解】解：由已知数列的前项为，

明显数列不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD，

又当时，为常数，

故数列是等比数列.

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列，等比数列的概念，考查数列的单调性，是基础题.

2．已知等差数列的前项和为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差等差中项的性质，结合等差数列求和公式进行计算.

【详解】因为，

所以

故选：B.

3．函数在上的最大值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值.

【详解】，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故.

故选：B

4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

5．已知数列首项为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.

【详解】由已知得，，

则当时，有，

，

当时，，成立，

，

，

故选：D.

6．已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】记.判断出的奇偶性和单调性，即可解不等式.

【详解】记.

因为是定义在R上的偶函数，所以

因为，所以为奇函数，所以.

因为，所以.

当时，，所以在上单减.

因为为奇函数，图像关于原点对称，所以在上单减.

不等式即为.

当时， 在上单减，且，所以的解集为；

当时， 在上单减，且，所以的解集为.

综上所述：的解集为.

故选：D

7．已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.

【详解】由，得．

因为在，上单调递增，在上单调递减，

所以方程的两个根分别位于区间和上，

所以，即

解得.

故选：A．

8．直线分别与函数和交于A，B两点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，，于是，构造函数且，利用导数求函数的最值即得解.

【详解】由，得，，于是所求，构造函数且，

令可得，，

列表如下：

得极小值为，极大值为

于是.

故选：D.

二、多选题

9．下列求导运算错误的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】ACD

【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.

【详解】对于A，，故选项A错误；

对于B，，故选项B正确；

对于C，，故选项C错误；

对于D，，故选项D错误，

所以导数运算错误的是：，

故选：.

10．已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，，则（　　）

A． B．，

C． D．当n＝7时，有最大值

【答案】BCD

【分析】根据可判断选项A；根据和判断选项B；利用等差数列的性质判断选项C和D.

【详解】∵，∴，故选项A错误；

∵，，∴，故选项B正确；

∵，且，∴，故选项C正确；

由，知，当n＝7时，有最大值，故选项D正确；

故选：BCD．

三、单选题

11．函数，下列对函数的性质描述正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．若，则函数f（x）有极值点

C．若，函数在区间单调递减

D．若函数有且只有3个零点，则a的取值范围是

【答案】AD

【分析】利用函数的对称性即可判断选项A是否正确；对函数求导，分别就和进行讨论，即可判断选项B、C是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a的取值范围，由此即可判断选项D是否正确．

【详解】对于选项A，因为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；

对于选项B，由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故选项B错误；

对于选项C，当时，由，解得． 又∵时，，所以函数在区间单调递增，故选项C错误；

对于选项D，由，

当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；

当时，由，解得．

又∵时，，时，，时，，

∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，

∴函数的极小值和极大值．

∵函数有三个不同的零点，

∴，即 ， 解得，故选项D正确．

故选：AD.

【点睛】方法点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

四、多选题

12．下列不等式中恒成立的有（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A. 构造函数，用导数法判断；B. 构造函数，用导数法判断；C. 根据，构造函数判断；D.构造函数，用导数法判断.

【详解】A. 令，则 ，当 时， ；

当 时， ，当时， 取得极小值，即最小值0，

所以 ，即，故正确；

B. 令，则，当时，，

当时，，当时，取得极小值，即最小值0，

所以 ，即，故错误；

C. 由A知：，令，则，

当时，，当时，，

当时，取得极小值，即最小值0，所以 ，

即，则，故正确；

D. 令，则，当时，，

当时，，当时，取得极大值，即最大值0，所以，

即，故错误；

故选：AC

五、填空题

13．若数列满足，则___________．（用具体数值作答）

【答案】

【分析】分奇偶项，分别按照等差数列和等比数列前和公式求和，计算求解即可.

【详解】因为，所以

，

故答案为: .

14．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为__________．

【答案】3

【分析】由题得，再分析得到，最后利用等比数列的性质求解.

【详解】因为，是方程的两根，

所以

所以，

又为等比数列，则，

又，所以或 (舍去)，

所以.

故答案为：3

15．若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】令，则问题可转化成函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得结果.

【详解】令，则问题可转化成函数与的图象有两个交点，＝，令，即，可解得；令，即，可解得，所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，，在同一坐标系中作出函数和的简图如图所示，据图可得，故答案为.

【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .

六、双空题

16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为__________，用此结论计算__________.

【答案】         

【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程；，非常接近切点，代入函数即可.

【详解】因为，，

所以，，切线为，

则，

根据“以直代曲”，非常接近切点，

则可以将代入切线近似代替，，

故答案为：；.

七、解答题

17．已知等差数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解方程组即得解；

（2）由题知，进而根据裂项相消求和法求解即可.

【详解】（1）∵,

∴，解得.

∴

（2）由（1）得，

所以，可得：

.

18．已知函数，.

(1)若为的极小值点，求的值；

(2)若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值；

（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及最值情况.

【详解】（1），

则，

为的极小值点，

，解得或，

当时，，

令，解得，

此时是的极小值点；

当时，，

令，解得或，

此时是的极大值点，不成立；

所以；

（2）在上，

，

在上，

，

又，

，

解得，，

，，

令，解得或，

，，，，

所以函数在区间上的最大值为．

19．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，分情况讨论函数单调性；

（2）分离参数，构造函数，根据导数求最值，进而确定参数范围.

【详解】（1），，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，令，解得，

令，得；令，得；

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，恒成立，即在上恒成立，

令，，

在上恒成立，

即函数在上单调递减，

所以，

所以.

20．数列的前项和满足：．

(1)求的通项公式；

(2)设，，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案；

（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.

【详解】（1）由已知，

当时，，解得，

当时，，

②得，∴

∴是首项为，公比为的等比数列，∴.

（2）由（1）可得，所以，

所以…③，

…④，

③④得

，

.

21．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m²），其中拥有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m²）的旧住房.

(1)分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积表达式，并写出第n年年末与第n+1年年末实际住房面积的关系式.

(2)如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30％，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取）

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）利用给定的运算关系直接列式作答.

（2）利用（1）的结论结合构造法求出数列通项公式，再取求解作答.

【详解】（1）第1年年末的住房面积：；

第2年年末的住房面积：；

若记第n年年末的实际住房面积为，则第n年年末与第n+1年年末的住房面积：.

（2）由（1）中的递推关系式，将等式两边同时减10b，得，

首项为，当时，数列是等比数列，公比，

则有，当时，数列是常数列，满足上式，

于是，

可得，由，解得，

所以每年应拆除的旧住房面积为.

22．已知函数，.

(1)已知在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

(2)若，且关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，可转化为二次不等式恒成立问题，通过分类讨论完成．

（2）当时，，符合题意；当时，，即，该方程有一正一负两个实根，即存在，使得在上单调递减，在单调递增．结合，求得范围，即可求得的范围．

【详解】（1）依题可知函数的定义域为，且，

函数在内单调递增，

在内恒成立，

设，即转化为在内恒成立，

当时，，符合题意，

当时，的对称轴为，

若，即时，只需满足，显然成立，

若，即时，只需满足，解得，与初始范围矛盾，故舍去，

综上，实数的取值范围为.

（2）当时，符合题意，

当时，，

令，即，

因为，所以，

则该方程有两不同实根，且一正一负，

即存在，使得，

可知时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，

所以，即，即，

因为在上单调递增，且时，，

所以，

由，得，

设，则，

故在上单调递减，所以，即为的范围，

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．