2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二上学期期中数学（文）试题含答案

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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1. 直线的倾斜角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合直线斜率与倾斜角的关系，运算即可得解.
【详解】设直线的倾斜角为，
由题意直线的斜率，
所以，.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
2. 直线的斜率是，在轴上的截距是4，则直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程的斜截式方程即可得出答案.
【详解】由题意直线的斜率为-2，在轴上的截距为4，则直线的斜截式方程为：.
故选：C.
【点睛】本题考查了直线斜截式方程的直接应用，属于基础题.
3. 已知点，点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出线段的中点与，从而得到，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为点，点，
所以线段的中点为，且，
所以，则线段的垂直平分线的方程为，
即.
故选：A
4. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】因为圆的圆心到直线的距离为1，
所以，
解得，
故选：A
5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
详解】试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
6. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为：.
故选：D.
【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
7. 若满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 18B. 10C. 6D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.
故选：C.
8. 已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A. 直线过定点B. 若，则
C. 直线过定点D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线过定点判断A、C，根据两直线垂直求出参数，即可判断B，根据两直线平行求出，即可判断D.
【详解】对于A：直线，当时，无论取何值，恒成立，
所以直线恒过定点，故A正确．
对于B：若，则，，故B正确；
对于C：直线，当时，无论取何值，恒成立，
所以此时直线恒过定点，故C正确；
对于D：若，则，，
或，经检验此时两直线平行，故D错误；
故选：D
9. 点关于直线的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
10. 直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
11. 已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 与是异面直线B. 平面
C. D. 平面
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的性质、空间直线与平面的位置关系，即可对选项做出判断.
【详解】
连接、，交于点，连接、，交于点.
连接、、、、.
由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；
在四边形中，且，所以四边形为平行四边形.
.
平面，平面，平面，故B正确；
由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面， ，又，
，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；
显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D错误.
故选：B.
12. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

①平面平面 ②与的夹角为定值
③三棱锥体积最大值为 ④点的轨迹的长度为
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】对于①：由，，为边的中点知且，
易知，，而，面，
故面，又面，所以面面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为，故④正确.
故选：C.
【点睛】关键点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度.
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 两条平行线与之间的距离____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用距离公式计算可得.
【详解】两条平行线与之间的距离.
故答案为：
14. 若直线经过直线和的交点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】求解出直线，交点坐标，再代入直线即可求解.
【详解】由题意，直线，，交于一点，
所以，得，
所以直线过点，
得，求解得.
故答案为：
15. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先将其还原成正方体，再用平移法找出异面直线所成角（或补角）进行求解即可.
【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：
连接、，因为A、B均为棱的中点，所以
所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），
设正方体的棱长为，在中，
，,
故答案为：.
16. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；
【详解】由题意，动直线过定点，
直线可化为，
令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号．
【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余每题12分．
17. 在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.
【详解】（1），，
边所在的直线方程为，即；
（2）设到距离为，
则，
，
方程为：即：
.
.
18. 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△VAC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝VC，M，N分别为VA，VB的中点．
（1）求证：AB//平面CMN；
（2）求证：AB⊥平面VBC．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，结合等腰三角形得到垂直关系，证明出AB⊥平面VBC
【小问1详解】
∵M，N分别为VA，VB的中点，
∴MN//AB，
∵平面CMN，MN平面CMN，
∴AB//平面CMN．
【小问2详解】
∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，
AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分别为VA，VB的中点．
∴AB⊥BC，VC⊥AC，
∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，
∴VC⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，
∴AB⊥VC．
∵BC∩VC＝C，
∴AB⊥平面VBC．
19. 已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-5=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
20. 如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面且，，分别是，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存，．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到平面，再证明平面，从而得证；
（2）由，根据锥体的体积公式求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，分别是，的中点，且，
所以为平行四边形，，
而平面，平面，
平面，
连接，则且，又且，
所以且，则为平行四边形，
所以，平面，平面，
平面，
而，且，平面，
∴平面平面；
【小问2详解】
在三棱柱中，底面为正三角形，平面，
所以三棱柱为正三棱柱，平面，
∵底面为边长为的正三角形，是的中点，,
，
，解得，即，
∴在侧棱上是存在一点即，使得三棱锥的体积是．

21. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上，，F为垂足．

（1）求证：．
（2）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，进而证明，根据线面垂直的性质定理可证明结论.
（2）由为直线DE与平面ABE所成角，求得，设B到平面CDE的距离为h，则有，由等体积法可求h.
【小问1详解】
∵AB为圆的直径，，
又平面AEB，平面AEB，，
又，平面ADE，平面ADE，
而平面AEB，，
又，且，平面BDE，
平面BDE，
又平面BDE，；
【小问2详解】
由题意可知，平面ABE，
为直线DE与平面ABE所成角，
，，
设B到平面CDE的距离为h，则有，
因为，，，
由余弦定理得，
则，
故，
由点向直线作垂线，垂足为，
平面AEB，平面AEB，所以，
平面，所以平面，
且，
，解得，
∴B到平面CDE的距离为．

22. 已知直线l：，（）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1)；(2) S的最小值为16，直线l的方程为
【解析】
【分析】(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围；
(2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得，
当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以.
(2)设直线l为，因为在直线上，所以.