2022-2023学年云南省富民县第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年云南省富民县第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出复数，即可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】因为，所以，.

所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.

故选：B.

【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

2．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据椭圆方程，先得出其焦点坐标以及左右顶点坐标，由题中条件，求出，，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】因为椭圆的焦点为为顶点，左顶点为，右顶点为，

又双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，所以，，则，

即双曲线的方程为，由得，

即双曲线的渐近线方程为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，考查椭圆的焦点坐标与顶点坐标，属于基础题型.

3．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.

【详解】取中点为，连接，所以，

又面面且交线为，面，

所以面，面，则.

设正方形的对角线长度为2，

如图所示，建立空间直角坐标系，，

所以，.

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选:A

4．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算出当，此时圆心到该直线的距离，建立不等式，计算m的范围，即可．

【详解】当，此时圆心到MN的距离

要使得，则要求，故，解得，故选A．

【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等．

5．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ）

A．24个 B．30个 C．36个 D．42个

【答案】B

【分析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答.

【详解】计算偶数个数有两类办法：

个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果，

个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，

再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果，

由分类加法计数原理得，偶数共有种结果.

故选：B

6．已知，则的面积为

A．2 B． C．1 D．

【答案】D

【详解】由题设可得，所以，则，又因为，所以，则，则即的面积为，应选答案D．

点睛：本题以向量的坐标形式为背景，综合考查的是向量的数量积公式的综合运用．求解时先运用向量的坐标形式的数量积公式进行运算，再运用向量的代数形式的数量积公式计算，进而建立方程求出，然后运用面积公式求出三角形的面积．

7．若随机变量 的分布列如下表，且＝

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】首先由概率的性质其求得p的值，然后由期望求得a的值，计算可得的值，最后利用方差的性质求解的值即可.

【详解】由概率的性质知，

则，

∴，

则.

故选C.

【点睛】本题主要考查分布列的性质，分布列中均值的计算、方差的计算，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为，其中且，将满月分成部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列中，前项构成等比数列，第项到第项构成等差数列，则第天可见部分占满月的(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由{a}中等差数列部分求出相应公差，求得a5，再由前5项构成的等比数列求出a3，而得解.

【详解】设第项到第项构成的等差数列的公差为，则，解得，所以．设前项构成的等比数列的公比为，则，又，所以，所以，即第天可见部分占满月的，

故选：B．

二、多选题

9．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（    ）

A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆

B．曲线可表示为焦距是4的双曲线

C．曲线可表示为离心率是的椭圆

D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线

【答案】ACD

【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可

【详解】由为3与5的等差中项，得，即，

由为4与16的等比中项，得，即，

则曲线的方程为或．

其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；

其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．

故选:ACD．

10．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（    ）

A．该几何体是四棱台

B．该几何体是棱柱，平面是底面

C．

D．平面与平面的夹角为

【答案】ABC

【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】因为四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，

所以这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B错误；

由题意可知，，两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

则，所以，不垂直，故C错误；

根据题意可知平面，所以为平面的一个法向量，

，

设为平面的法向量，

则有则可取，

则，

所以平面与平面的夹角为，故D正确．

故选：ABC

11．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）

A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项

C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项

【答案】CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，

所以令可得：.

A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；

B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，

因此本选项说法不正确；

C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；

D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，

故本选项说法正确，

故选：CD

12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.

【详解】，故，根据正弦定理：，即，

，故，，.

，化简得到，解得或，

若，故，故，不满足，故.

.

故选：.

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、填空题

13．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________.

【答案】-1

【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值.

【详解】因为直线⊥平面，则与平行，

故，即，解得：，

故实数的值为-1.

故答案为：-1

14．双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】

【分析】化简即得双曲线的离心率.

【详解】双曲线的离心率，

则，．

故答案为：3

15．已知函数，则函数在点处的切线的斜率为______.

【答案】

【分析】对函数求导，把代入导函数中，即可得到答案.

【详解】，  

故答案为：.

16．已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ___________．

【答案】

【分析】计算线段AB的距离，得到点P的轨迹，将点A，B分别代入2x﹣ay﹣a＝0，得到，根据题意得到直线所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC的斜率，根结合直线l与线段AB始终有交点计算出的取值范围.

【详解】因为，且，

由图可知，点P的轨迹为线段AB，

将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a＝2，a＝，

由直线l的方程可化为：2x﹣a（y+1）＝0，所以直线l过定点C（0，﹣1），

画出图形，如图所示：

因为直线AC的斜率为kAC＝1，直线BC的斜率为kBC＝＝﹣3，

当时，符合题意；

当时，所以直线l的斜率为k＝，令，解得≤a≤2且；

所以a的取值范围是[，2]．

故答案为：[，2]．

四、解答题

17．已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；

（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．

【详解】（1）由题意可知，，即，

所以，，

将的图象向右平移个单位得，

因为的图象关于轴对称，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以；

（2），

所以，

，

，

所以．

18．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的内切圆方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）椭圆过点，且焦点为，可以列出方程，求解即可求出的值，进而求出椭圆的方程.

（2）到两焦点的距离之差为2，又到两焦点的距离之和为2，联立可求出，又 则可得出三角形为直角三角形，则可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.

【详解】（1）椭圆过点，且焦点为，则，解得：，所以椭圆方程为：.

（2）由，

故内切圆半径，

所以内切圆方程为：

【点睛】本题考查根据椭圆过定点求椭圆的方程，考查直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于基础题.

19．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；

(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)2900元

(3)分布列见解析，

【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，根据古典概型即可求出结果；

（2）由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；

（3）由题意可知随机变量服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.

【详解】（1）解：由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；

（2）解：由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，则处理费用为（元）

所以估计处理这吨垃圾需要元；

（3）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3

，

，

所以的分布列为

所以

所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.

20．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）如图建系，分别写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，，证明

，即可求证；

（2）根据已知条件求出，即可求出直角三角形的面积，点到底面的距离为为三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求解.

【详解】

（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，

则令，则，，

所以，

设平面的一个法向量为，

则令，则，，

所以，

因为，所以，

所以平面平面；

（2）因为，

所以，可得，

所以，

因为底面，，，

所以点到底面的距离为，

所以三棱锥的体积为.

21．已知数列的前项和为，向量，，满足条件，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设函数，数列满足条件，，

①求数列的通项公式；

②设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）①；②．

【分析】（1）利用可得，利用与关系可求得；

（2）①利用已知等式可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可得；

②由①可得，利用错位相减法可求得.

【详解】（1）由得：，；

当时，；

当时，；

经检验：满足；

综上所述：；

（2）①，，，

，数列是以为首项，为公差的等差数列，

；

②由①得：，

，

，

两式作差得：，

.

22．已知函数为实常数）．

(1)若，求证：在上是增函数；

(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；

【答案】(1)证明见解析

(2)当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为．

【分析】（1）利用导数大于零即可证明；（2）利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值.

【详解】（1）由题可知函数的定义域，

因为，所以，

所以，

，

所以在上是增函数．

（2）因为，所以，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有最小值为，

因为，

所以当时，函数有最大值为．