2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷

1.  9的算术平方根是(    )

A. 3 B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是(    )

A. 球体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱

4.  若，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若一组数据2，3，4，5，x 的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是(    )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

6.  如图，是由经过轴对称得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称.其中所有正确结论的序号是(    )

A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④

7.  计算：______ ；______ .

8.  若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ .

9.  某粒子的直径约为米，用科学记数法表示是______ .

10.  计算的结果是______ .

11.  分解因式：______.

12.  设、是方程的两个根，且，则______ .

13.  若函数为常数，且过点，当时，y的取值范围是______ .

14.  如图，在正六边形ABCDEF中，，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点、、、、、，则六边形的周长是______ .

15.  如图，在平面直角坐标系中，过、的直线AB绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则点C的坐标为______ .

16.  如图，四边形ABCD，，，，E是AD的中点，过点E作交BC于F，则EF的长为______ .

17.  计算

18.  解不等式组，并写出它的正整数解．

19.  “科技兴国”，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要.调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：
2018年年利润率

年度该企业总成本是______ 亿元；
求该企业五年以来的年平均研发成本；
根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论.

20.  某校举行体育节活动，甲、乙两人报名参加50m比赛，预赛分A，B，C三组进行，运动员通过抽签决定分组.
甲分到A组的概率为______ ；
求甲、乙恰好分到同一组的概率.

21.  如图，在▱ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、
求证：四边形AECF为菱形；
若，，则______时，四边形AECF为正方形．
 

22.  如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，作图.
在图①中，作的角平分线；
在图②中，在AC边上找一点D，使得
 

23.  如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸MN的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得求河流的宽度结果精确到1米，参考数据：，，，，，

24.  某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元.甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个.乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个.假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变和为36袋，且售价均为整数.
当甲的售价提高x元，乙的售价为______ 元；用含x的代数式表示
当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？

25.  二次函数、b为常数，且的图象经过点
求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
已知点、，若该函数图象与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

26.  如图，在中，，E为AB上一点，作，与AC交于点F，经过点A、E、F的与BC相切于点D，连接AD、ED、
求证∽；
若，，求CD的长.

27.  概念引入
定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”.例如：图①中的是“复兴点”
概念理解
在点，，中，是“复兴点”的点为______ ；
初步探究
如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合.

深入探究
若反比例函数的图象上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是______ .
若一次函数的图象上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：9的算术平方根是3，
故选：
根据算术平方根的定义求解即可．
本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：


即计算的结果是
故选：
根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①是正整数；②是正整数；求出的结果是多少即可．
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①是正整数；②是正整数
 

3.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】
解：球体的主视图、左视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意；
B.圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；
C.三棱锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图也是三角形，但它的内部有一点与三个顶点连接，故本选项不符合题意；
D.三棱柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个三角形，故本选项不符合题意．
故选：  

4.【答案】B 

【解析】解：，
，
，，

故选：
先估算出和的取值范围，再根据估算出a的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，能够正确估算出和的取值范围是解答此题的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：数据5，6，7，8，9中，相邻两个数相差为1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，
若或时，两组数据方差相等，
而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，
则x的值可能是8；
故选：
观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

6.【答案】C 

【解析】解：把沿着水平线平移，使点C和点重合，再再作过点的垂线，然后作关于垂线的轴对称图形可得，所以可以看作是经过1次平移和1次轴对称得到；
作线段的垂直平分线，然后作关于这条垂直平分线的轴对称图形3次，可得；所以还可以看作是经过3次轴对称得到．
所以中所有正确结论的序号是②④．
故选：
利用平移，旋转，轴对称的性质等知识一一判断即可．
本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：；

故答案为：3；
根据去绝对值方法和负整数指数幂的计算法则解答．
本题主要考查了绝对值和负整数指数幂，计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现的错误．
 

8.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，

故答案为：
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
 

10.【答案】2 

【解析】解：原式


故答案为：
直接化简二次根式，进而利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，

先提取公因式4，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

12.【答案】4 

【解析】解：、是方程的两个根，
，
，
，
解得
故答案为：
由根与系数的关系可得，，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

13.【答案】 

【解析】解：函数为常数，且过点，
，
这个函数的解析式为：，
当时，，
又，
当时，y随x的增大而增大，
当时，
故答案为：
把点代入已知函数解析式，即可求得k的值，然后根据反比例函数图象的增减性解答问题．
本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接AE，过点F作于点J

在正六边形ABCDEF中，，，
，
，，
，
，
，，
，
同法可得六边形的其它边长也是，
六边形的周长是
故答案为：
如图，连接AE，过点F作于点求出AE，再利用三角形中位线定理求出，可得结论．
本题考查正多边形与圆，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设直线AB的解析式为，
、，
，
，
直线AB的解析式为，
当时，，
，
直线AB与x轴的交点D的坐标为，
，，
，
如图，过C作于E，
，
，
绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
点C的坐标为
故答案为：
首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后利用三角函数的定义求出，最后建立方程模型解决问题．
此题主要考查了坐标与图形变化-旋转，同时也利用了勾股定理、三角函数的定义及待定系数法确定函数的解析式，有一定的综合性．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长DA、CB，交于点G，

设，，则，，
，即，
，
，
在中，，
，
解得：舍去，，
，，，
是AD的中点，
，
，
，
，
，

故答案为：
延长DA、CB，交于点G，设，，则，，由，可得出，由勾股定理可得：，即，求得，再利用，即可求得答案．
本题考查了勾股定理，中点的定义，解直角三角形的应用，延长DA、CB交于G，应用解直角三角形是解题关键．
 

17.【答案】解：



 

【解析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是：，
即不等式组的正整数解是1， 

【解析】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
 

19.【答案】17 

【解析】解：年度该企业总成本是亿元，
故答案为：

亿元
该企业五年以来的年平均研发成本为亿元．

①该企业2022年的总成本为17亿元，2022年的利润率是，所以2022年的利润是亿元
②该企业近五年的研发成本分别是亿元、亿元、2亿元、亿元、亿元，年利润率分别是、、、、，可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．
用2022年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得；
根据算术平均数的定义求解可得；
本题答案不唯一，合理即可．
本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是掌握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的定义．
 

20.【答案】 

【解析】解：有A，B，C三组，
甲分到A组的概率为
故答案为：
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙恰好分到同一组的结果有3种，
甲、乙恰好分到同一组的概率为
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙恰好分到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
垂直平分AC，
，，
，，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
又，
四边形AECF是菱形；
或， 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得，，可证，可得，由菱形的判定可证四边形AECF为菱形；
由正方形的性质可得，，，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
【解答】
见答案；
若四边形AECF为正方形，
，，，
，
，
或4，
或，
故答案为：或  

22.【答案】解：如下图：

即为所求；
点D即为所求． 

【解析】根据等腰三角形的三线合一作图；
作，根据作角等于已知角的基本作法作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三线合一和相似三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点A作于点F，过点B作于点E，
四边形ABEF是矩形，
米，，
设米，
在中，
，
，
在中，
，
，
解得：米，
答：河流的宽度为160米． 

【解析】过点A作于点F，过点B作于点E，设，然后根据锐角三角函数的定义列出方程即可求出x的值．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

24.【答案】 

【解析】解：甲商品的售价提高x元，则甲商品每天少卖出2x个．
因为甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变，
所以乙商品每天多卖2x个．
又因为售价每降低1元，每天多卖出4个，
所以乙的售价为：元．
故答案为：；
设甲商品的售价提高x元时，销售这两种商品当天的总利润是268元，由题意得，
，
，
解得，，
售价均为整数，

答：甲商品的售价提高4元时，销售这两种商品当天的总利润是268元．
根据题意直接计算可得出答案；
设甲商品的售价提高x元时，销售这两种商品当天的总利润是268元，可列出一元二次方程，解方程则可得出答案．
本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：将代入得，
解得，
，
，，
抛物线经过定点，
，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当抛物线顶点在线段BC上时，，
解得，满足题意，
当时，抛物线顶点向下移动，不符合题意，
当时，抛物线顶点向上移动，当抛物线经过点B时，，
解得，

满足题意．
当时，抛物线开口向上，
当抛物线经过点C时，，
解得，

时，抛物线开口变小，顶点向下移动，满足题意．
总是所述，或或 

【解析】将点A坐标代入解析式可得b与a的数量关系，再将二次函数解析式转化为交点式可得抛物线与x轴的交点坐标．
将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线的顶点坐标，从而可得抛物线的运动规律，分类讨论抛物线开口方向，结合图象求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

26.【答案】证明：连接OD，如图，
为的切线，
，
，
，
，

，

，
，
，
∽；
解：∽，
，
，
，

设，则
由知：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
 

【解析】连接OD，利用切线的性质定理，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
利用相似三角形的性质定理求得BD，设，则，利用角平分线的性质定理列出比例式，解比例式即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，角平分线的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

27.【答案】A，或 

【解析】解：根据“复兴点”的定义，
，，，
点A，B是“复兴点”．
故答案为：A，B；
所有“复兴点”的集合是图中正方形．
H
如图③中，

当反比例函数与正方形的边相切时，或，
观察图象可知，满足条件的k的值为或
故答案为：或
如图④中，直线过定点

当直线经过时，，
当直线经过时，，
观察图象可知，满足条件的K的值为或或
根据“复兴点”的定义判断即可；
满足条件的点组成的图形是正方形；
求出反比例函数与正方形的边相切时，k的值即可判断；
如图④中，直线过定点当直线经过时，，当直线经过时，，利用图象法判断即可．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题．