2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测（七十二） 随机抽样与样本估计总体

课时跟踪检测（七十二） 随机抽样与样本估计总体

一、全员必做题

1．(2023·南通高三期末)某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为(　 )

A．31,29  B．32,28

C．33,27  D．34,26

解析：选C　设样本中的男生和女生的人数分别为m，n，由分层随机抽样可得＝＝，解得故选C.

2．(2023·深圳模拟)某市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长(单位：小时)，对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有(　 )

A．3.3万人  B．3.4万人

C．3.8万人  D．3.9万人

解析：选A　依题意样本中服务时长超过32小时的个体频率为1－4×(0.005＋0.04＋0.09)＝0.46；由样本估计总体，可得总体中服务时长超过32小时的个体数为7.2×0.46＝3.312≈3.3(万人)．故选A.

3．(多选)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是(　 )

A．样本中女生人数多于男生人数

B．样本中B层人数最多

C．样本中E层男生人数为6

D．样本中D层男生人数多于女生人数

解析：选ABC　样本中女生人数为9＋24＋15＋9＋3＝60，男生人数为100－60＝40，A正确；样本中A层人数为9＋40×10%＝13；样本中B层人数为24＋40×30%＝36；样本中C层人数为15＋40×25%＝25；样本中D层人数为9＋40×20%＝17；样本中E层人数为3＋40×15%＝9，B正确；样本中E层男生人数为40×15%＝6，C正确；样本中D层男生人数为40×20%＝8，女生人数为9，女生人数多于男生人数，D错误．

4．(多选)某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如下统计图，则(　 )

A．1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定

B．3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定

C．5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大

D．7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大

解析：选AD　对于A，由统计图可知，1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动员，∴1号竞技水平较高，2号成绩较稳定，A正确；对于B，由统计图可知，3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，∴两名运动员的竞技水平相同，B错误；对于C，由统计图可知，5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，∴5号运动员的成绩波动较大，C错误；对于D，由统计图可知，7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动员成绩的标准差高于7号运动员成绩的标准差，∴7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，8号成绩波动较大，D正确．故选A、D.

5．(多选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2，平均数分别为s1，s2，则下面正确的是(　 )

A．m1＞m2  B．m1＜m2

C．s1＜s2  D．s1＞s2

解析：选BC　由题中频率分布直方图得，甲地区[40,60)的频率为(0.015＋0.020)×10＝0.35，[60,70)的频率为0.025×10＝0.25，所以甲地区用户满意度评分的中位数m1＝60＋×10＝66，甲地区的平均数s1＝45×0.015×10＋55×0.020×10＋65×0.025×10＋75×0.020×10＋85×0.010×10＋95×0.010×10＝67.乙地区[50,70)的频率为(0.005＋0.020)×10＝0.25，[70,80)的频率为0.035×10＝0.35，所以乙地区用户满意度评分的中位数m2＝70＋×10≈77.1，乙地区的平均数s2＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.015×10＝77.5，所以m1＜m2，s1＜s2.故选B、C.

6．(2023·镇江高三开学考试)数据：1,2,2,3,4,5,6,6,7,8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝________.

解析：中位数m＝＝4.5，因为10×60%＝6，所以第60百分位数a＝＝5.5，所以m＋a＝10.

答案：10

7．(2023·湘潭高三开学考试)某灯泡厂对编号为 1,2，…，15 的十五个灯泡进行使用寿命试验， 得到奇数号灯泡的平均使用寿命(单位：小时)为1 580，方差为15 000, 偶数号灯泡的平均使用寿命为1 580, 方差为12 000，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为________．

解析：由题意，十五个灯泡的平均使用寿命为＝1 580，所以方差s2＝(xi－x)2＝×(8×15 000＋7×12 000)＝13 600.

答案：13 600

8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如表：

用s，s分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差，则s＝________，并由此可判断成绩更稳定的班级是________班．

解析：甲班学生学分的平均数1＝×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，所以甲班学生学分的方差s＝×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22.乙班学生学分的平均数2＝×(6＋7＋10＋23＋24)＝14，所以乙班学生学分的方差s＝×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62.由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．

答案：62　甲

9．(2023·南京模拟)为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型Ⅰ轴承和类型Ⅱ轴承)的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命(单位：百万圈)如下表：

根据上述表中的数据回答下列问题：

(1)对于类型Ⅰ轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心？请说明理由；

(2)若需要使用寿命尽可能大的轴承，从中位数或平均数的角度判断：应选哪种轴承？请说明理由；

(3)若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承？请说明理由．

解：(1)从表中可以看出大多数的数据集中在[11.2，13.8]区间内，在这个区间的数据有20个，中位数为12,6.2,6.4有严重的偏离，所以使用中位数度量寿命分布的中心．

(2)由题表可知，类型Ⅰ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位的是11.8,12.2，故中位数为12；类型Ⅱ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位的是10.4,10.6，故中位数为10.5；因为12>10.5，所以应选类型Ⅰ轴承．

(3)从类型Ⅰ的表格中，极差＝14.5－6.2＝8.3，多数的数据集中在[11.2,13.8] 区间内，6.2,6.4，8.3，8.6严重偏离分布中心，即波动较大，标准差必定较大，从类型Ⅱ的表格中，极差＝13.4－8.4＝5，较小，数据的分布集中均匀，标准差必定较小，故应选类型Ⅱ轴承．

10．在实施“乡村振兴”的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，种植优良品种柑橘．现在实验基地中种植了相同数量的A，B两种柑橘．为了比较A，B两个柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取A，B两种柑橘各100株，并根据株产量X(单位：kg)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95])：

(1)求a，b的值；

(2)将频率当做概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于80 kg的概率；

(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表)，并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？请说明理由．

解：(1)由频率分布直方图可得(0.01×2＋0.03＋0.05＋0.06＋a)×5＝1，解得a＝0.04，(0.01×2＋0.03＋b＋0.05＋0.06)×5＝1，解得b＝0.04.(2)A品种柑橘株产量不低于80 kg的频率为(0.04＋0.05＋0.06)×5＝0.75，

B品种柑橘株产量不低于80 kg的频率为(0.03＋0.01＋0.01)×5＝0.25，

故200株柑橘中产量不低于80 kg的频率为＝0.5，

所以在所有柑橘中随机抽取一株，其株产量不低于80 kg的概率为0.5.

(3)设A品种柑橘株产量平均数的估计值为MA，

MA＝(0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.05×92.5＋0.06×87.5)×5＝84.5，

设B品种柑橘株产量平均数的估计值为MB，

MB＝(0.01×92.5＋0.01×87.5＋0.03×82.5＋0.04×77.5＋0.05×67.5＋0.06×72.5)×5＝75.5，

A品种的柑橘更好．理由如下：

①A的平均产量大于B的平均产量．

②由频率分布直方图可知，A品种柑橘株产量在80 kg及以上的占比为75%，B品种柑橘株产量在80 kg及以上的占比为25% ，故A品种的柑橘更好．

二、重点选做题

1．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为；样本y1，y2，…，ym的平均数为(≠)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数＝a＋(1－a)，其中0＜a＜，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为(　 )

A．n＝m  B．n≥m

C．n<m  D．n>m

解析：选C　由样本x1，x2，…，xn的平均数为，样本y1，y2，…，ym的平均数为，样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数＝a＋(1－a)，其中0＜a＜，得＝＋＝a＋(1－a)，∴a＝.又0＜a＜，故1－a＞a，∴＞，∴m＞n.

2．(2023·沧州模拟)(多选)全市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图．已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]．按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是(　 )

A．第七组的频率为0.008

B．该班级数学成绩的中位数的估计值为101分

C．该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分

D．该班级数学成绩的标准差的估计值大于6

解析：选BCD　对于A，利用频率之和为1，可得第七组的频率为1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.030＋0.020＋0.006＋0.004)×10＝0.08，选项A错误；对于B，成绩在第一组到第八组的人数分别为2,6,8,15,10,3,4,2，所以中位数在第四组[95,105)内．设中位数为x，因为(0.004＋0.012＋0.016)×10＝0.32<0.5，所以0.32＋0.030×(x－95)＝0.5，解得x＝101，所以该班级数学成绩的中位数的估计值为101分，选项B正确；对于C，该班级数学成绩的平均分的估计值为70×0.04＋80×0.12＋90×0.16＋100×0.3＋110×0.2＋120×0.06＋130×0.08＋140×0.04＝102(分)，选项C正确；对于D，×[2×(70－102)2＋6×(80－102)2＋…]>×2×(70－102)2＝40.96>36，所以标准差的估计值大于6，选项D正确．故选B、C、D.

3．(多选)为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的不精确问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的m个点Pi(xi，yi，zi)的深度zi的均值μ＝i，标准偏差为σ＝，深度zi∉[μ－3σ，μ＋3σ]的点视为孤立点，下表给出了某区域内的8个点的数据，则(　 )

A.σ＝  B．μ＝15

C．P1不是孤立点  D．P2和P7是孤立点

解析：选BC　由题可得μ＝×(20＋12＋13＋15＋16＋14＋12＋18)＝15，B正确；

σ＝＝＝，A错误；μ－3σ＝15－，μ＋3σ＝15＋，则[μ－3σ，μ＋3σ]＝，20∈[μ－3σ，μ＋3σ]，12∈[μ－3σ，μ＋3σ]，所以P1，P2，P7都不是孤立点，C正确，D错误．故选B、C.

4．(2023·重庆南开中学模拟)某食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如表所示.

已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．

(1)确定x，y的值；

(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列及数学期望．(注：将频率视为概率)

解：(1)因为第65百分位数为17.5＝，所以所以x＝40，y＝25.

(2)由已知得打饭时间为10秒的概率为＝0.4，

打饭时间为15秒的概率为＝0.25，

打饭时间为20秒的概率为＝0.25，

打饭时间为25秒的概率为＝0.1，

由题可知X的可能取值为0,1,2，

∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.25＋0.25＋[0.4×(1－0.4)]＝0.74，P(X＝2)＝0.4×0.4＝0.16，

∴X的分布列为

∴E(X)＝0.1×0＋0.74×1＋0.16×2＝1.06.