2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测（七十一） 二项分布、超几何分布与正态分布

课时跟踪检测（七十一） 二项分布、超几何分布与正态分布

一、全员必做题

1．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为(　 )

A.         B.          C.  D.

解析：选C　由题知随机变量服从二项分布，且它们的概率相同，P(ξ＝0)＝C(1－p)2＝1－，解得p＝，则P(η≥2)＝Cp3＋Cp2·(1－p)＝＋＝.

2．(2023·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是(　 )

A．0.607 6  B．0.751 6

C．0.392 4  D．0.248 4

解析：选A　两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32＋C×0.6×0.4×C×0.7×0.3＋0.62×0.72＝0.392 4，故两人投中次数不相等的概率为1－0.392 4＝0.607 6.故选A.

3．已知随机变量X，Y分别满足，X～B(8, p)，Y～N(μ， σ2)，且期望E(X)＝E(Y)，又P(Y≥3)＝，则p＝(　 )

A.        B.          C.  D.

解析：选C　Y～N(μ， σ2)且P(Y≥3)＝，知μ＝3，所以E(X)＝E(Y)＝3，又X～B(8, p)，E(X)＝8p，所以p＝.故选C.

4．(2023·佛山模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是(　 )

A．D(X)＝6

B．μ1>μ2

C．P(X≤38)<P(Y≤38)

D．P(X≤34)<P(Y≤34)

解析：选C　对于A，随机变量X服从正态分布，且X～N(μ1, 62), 可得随机变量X的方差为σ2＝62，即D(X)＝36，所以A错误；对于B，根据给定的正态曲线图象，可得μ1＝30, μ2＝34，所以μ1<μ2，所以B错误；对于C，根据给定的正态曲线图象，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；对于D，根据给定的正态曲线图象，可得P(X≤34)>，P(Y≤34)＝，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误．故选C.

5．(2023·荆州模拟)(多选)下列结论正确的是(　 )

A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝

B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8

C．若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝

D．若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(2<η<8)＝0.8

解析：选CD　对于A，若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝×＝，故A错误；对于B，若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，故B错误；对于C，若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝C3·1＝，故C正确；对于D，若随机变量η服从正态分布N(5, σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(η>8)＝0.1，故P(2<η<8)＝1－P(η<2)－P(η>8)＝0.8，故D正确．故选C、D.

6．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是(　 )

A．至少有1个5A级景区

B．有1个或2个5A级景区

C．有2个或3个5A级景区

D．恰有2个5A级景区

解析：选B　用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个5A级景区的概率为.

7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.

解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.

答案：0.14

8．已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则a＝________.

解析：设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝，解得a＝4或a＝6.

答案：4或6

9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.

解析：由题意知，X～B，则P(X＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(X＝4)＝C4×1＝.

答案：

10．在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，σ2)．若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是________．

解析：因为学生成绩服从正态分布(100，σ2)，且P(85<X<115)＝0.5，所以P(85<X<100)＝0.25，P(X<85)＝0.25，P(X≥85)＝0.75＝，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是C2×＝.

答案：

11．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：

87　87　88　92　95　97　98　99　103　104

设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.

(1)求μ与σ；

(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．

①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107 cm的个数为X，求D(2X＋1)；(结果保留5位有效数字)

②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76,85,93,99,108(单位：cm)，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4，取0.997 44＝0.99.

解：(1)μ＝×(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95，

σ2＝×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，

则σ＝6.

(2)①∵Z服从正态分布N(95,36)，∴P(Z>107)＝P(Z>μ＋2σ)＝0.5－＝0.022 8，则X～B(10,0.022 8)，

∴D(X)＝10×0.022 8×(1－0.022 8)＝0.222 801 6，∴D(2X＋1)＝4D(X)≈0.891 21.

②∵Z服从正态分布N(95,36)，∴P(77≤Z≤113)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)＝0.997 4，

∴5个零件的内径中恰有一个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为

C×0.997 44×(1－0.997 4)＝0.012 87.

∵76∉[77,113]，

∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，出现的频率是0.012 87的15倍多，

∴根据3σ原则，需要进一步调试．

12．(2023·全国高三专题练习)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．

(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；

(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．

解：(1)记Ai(i＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．

由题设知P(A1)＝1－＝，

P(A2)＝1－＝，

P(A3)＝，

所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)

＝1－××＝.

(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，

且P(X＝1 600)＝C4×0＝，

P(X＝1 000)＝C3×1＝，

P(X＝400)＝C2×2＝，

P(X＝－200)＝C1×3＝，

P(X＝－800)＝C0×4＝.

故X的分布列为

二、重点选做题

1．(2023·湖南师大附中模拟)考察下列两个问题：①已知随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，记P(X＝1)＝a；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P(A|B)＝b，则(　 )

A．a＝b3  B．a＝b4

C．a＝b5  D．a＝b6

解析：选C　由解得p＝，n＝8，则a＝P(X＝1)＝C17＝＝，又b＝P(A|B)＝＝＝，所以a＝b5.故选C.

2．(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　 )

A．P(X＝1)＝  B．X＋Y＝4

C．E(X)>E(Y)  D．E(Z)＝

解析：选BD　由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以X＋Y＝4，故B正确；X的取值为0,1,2,3,4，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，可知A错误；Y的取值为0,1,2,3,4，且P(Y＝0)＝P(X＝4)，P(Y＝1)＝P(X＝3)，P(Y＝2)＝P(X＝2)，P(Y＝3)＝P(X＝1)，P(Y＝4)＝P(X＝0)，则E(X)＝＝，E(Y)＝＝，所以E(X)<E(Y)，故C错误；Z的取值为4,5,6,7,8，且P(Z＝4)＝P(X＝0)，P(Z＝5)＝P(X＝1)，P(Z＝6)＝P(X＝2)，P(Z＝7)＝P(X＝3)，P(Z＝8)＝P(X＝4)，所以E(Z)＝＝＝，故D正确．故选B、D.

3．(2023·孝感模拟)(多选)某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位：h)均近似服从正态分布，用工艺1加工一个零件所用时间X～N(μ1, σ)；用工艺2加工一个零件所用时间Y～N(μ2, σ)，X，Y的分布密度曲线如图，则(　 )

A．μ1<μ2，σ>σ

B．若加工时间只有a h，应选择工艺2

C．若加工时间只有c h，应选择工艺2

D．∀t0∈(b, c)，P(X≤t0)>P(Y≤t0)

解析：选AC　由题意，随机变量X～N(μ1, σ)，Y～N(μ2, σ)，对于A，根据正态密度曲线的图象，可得μ1＝a，μ2＝b，其中μ1<μ2，随机变量X对应的数据更离散，Y对应的数据更集中，所以σ>σ，所以A正确；对于B，加工a小时时，可得P(X≤a)＝，P(Y≤a)<，所以P(X≤a)>P(Y≤a)，所以选工艺1，所以B错误；对于C，加工c小时时，P(X≤c)＝1－ P(X>c)，P(Y≤c)＝1－ P(Y>c)，根据给定的正态密度曲线的图象，当X>c时，X的密度曲线与x轴所围成的面积大于Y的密度曲线与x轴所围成的面积，即P(X>c)>P(Y>c)，所以P(X≤c)<P(Y≤c)，所以选择工艺2，所以C正确；对于D，对于∀t0∈(b, c)，可得P(X≤t0)∈，P(Y≤t0)∈，无法比较大小，所以D错误．故选A、C.

4．我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X(单位：nm)．

(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；

(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；

(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N(9,0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.

解：(1)由题意，可知ξ可取0,1,2,3，则有

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

从而ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)η可取的值为0,1,2,3,4,5,6，则有

P(η＝4)＝C42＝；P(η＝5)＝C5＝；P(η＝6)＝6＝.

所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝，

因为η～B，所以η的方差D(η)＝6××＝.

(3)由X～N(9,0.04)，则可知σ＝0.2，

由于P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，则P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 5，

所以P(9≤X≤9.4)＝P(8.6≤X≤9.4)≈0.477 25，

所以P(X>9.4)＝－P(9≤X≤9.4)≈0.022 75，

则P(X≤9.4)＝1－P(X>9.4)≈0.977 25，

记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A，

则P(A)＝1－P()≈1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.

故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.205 6.