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    2024高考数学一轮复习讲义(步步高版)第四章 §4.4 简单的三角恒等变换
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    2024高考数学一轮复习讲义(步步高版)第四章 §4.4 简单的三角恒等变换

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    这是一份2024高考数学一轮复习讲义(步步高版)第四章 §4.4 简单的三角恒等变换,共16页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式,常用的部分三角公式,下列计算结果正确的是,化简并求值等内容,欢迎下载使用。


    知识梳理
    1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
    (1)公式S2α:sin 2α=2sin αcs α.
    (2)公式C2α:cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α.
    (3)公式T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α).
    2.常用的部分三角公式
    (1)1-cs α=2sin2eq \f(α,2),1+cs α=2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
    (2)1±sin α=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
    (3)sin2α=eq \f(1-cs 2α,2),cs2α=eq \f(1+cs 2α,2),tan2α=eq \f(1-cs 2α,1+cs 2α).(降幂公式)
    思考辨析
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( √ )
    (2)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( √ )
    (3)cs2eq \f(θ,2)=eq \f(1+cs θ,2).( √ )
    (4)tan eq \f(α,2)=eq \f(sin α,1+cs α)=eq \f(1-cs α,sin α).( √ )
    教材改编题
    1.(2021·全国乙卷)cs2eq \f(π,12)-cs2eq \f(5π,12)等于( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
    答案 D
    解析 方法一 (公式法)因为cs eq \f(5π,12)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\f(5π,12)))=sin eq \f(π,12),所以cs2eq \f(π,12)-cs2eq \f(5π,12)=cs2eq \f(π,12)-sin2eq \f(π,12)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))=cs eq \f(π,6)=eq \f(\r(3),2).
    方法二 (代值法)因为cs eq \f(π,12)=eq \f(\r(6)+\r(2),4),cs eq \f(5π,12)=eq \f(\r(6)-\r(2),4),
    所以cs2eq \f(π,12)-cs2eq \f(5π,12)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)+\r(2),4)))2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)-\r(2),4)))2=eq \f(\r(3),2).
    2.若角α满足sin α+2cs α=0,则tan 2α等于( )
    A.-eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.-eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
    答案 D
    解析 由题意知,tan α=-2,所以tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)=eq \f(4,3).
    3.若α为第二象限角,sin α=eq \f(5,13),则sin 2α等于( )
    A.-eq \f(120,169) B.-eq \f(60,169) C.eq \f(120,169) D.eq \f(60,169)
    答案 A
    解析 因为α为第二象限角,sin α=eq \f(5,13),
    所以cs α=-eq \r(1-sin 2α)=-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))2)=-eq \f(12,13),
    所以sin 2α=2sin αcs α=2×eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(12,13)))=-eq \f(120,169).
    题型一 三角函数式的化简
    例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),tan 2α=eq \f(cs α,2-sin α),则tan α等于( )
    A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
    答案 A
    解析 方法一 因为tan 2α=eq \f(sin 2α,cs 2α)=eq \f(2sin αcs α,1-2sin2α),
    且tan 2α=eq \f(cs α,2-sin α),
    所以eq \f(2sin αcs α,1-2sin2α)=eq \f(cs α,2-sin α),解得sin α=eq \f(1,4).
    因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
    所以cs α=eq \f(\r(15),4),tan α=eq \f(sin α,cs α)=eq \f(\r(15),15).
    方法二 因为tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)=eq \f(\f(2sin α,cs α),1-\f(sin2α,cs2α))=eq \f(2sin αcs α,cs2α-sin2α)=eq \f(2sin αcs α,1-2sin2α),且tan 2α=eq \f(cs α,2-sin α),所以eq \f(2sin αcs α,1-2sin2α)=eq \f(cs α,2-sin α),解得sin α=eq \f(1,4).
    因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
    所以cs α=eq \f(\r(15),4),tan α=eq \f(sin α,cs α)=eq \f(\r(15),15).
    (2)已知sin α+cs α=eq \f(2\r(3),3),则sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=________.
    答案 eq \f(1,3)
    解析 因为sin α+cs α=eq \f(2\r(3),3),
    两边同时平方得sin2α+2sin αcs α+cs2α=eq \f(4,3),
    即sin 2α=eq \f(1,3),
    由降幂公式可知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=eq \f(1-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(π,2))),2)=eq \f(1-sin 2α,2)=eq \f(1,2)-eq \f(1,2)sin 2α=eq \f(1,3).
    思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
    一看角,二看名,三看式子结构与特征.
    (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
    跟踪训练1 (1)若f(α)=2tan α-eq \f(2sin2\f(α,2)-1,2sin \f(α,2)·cs \f(α,2)),则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值是________.
    答案 6-eq \r(3)
    解析 依题意,f(α)=2tan α-eq \f(-cs α,sin α)
    =2tan α+eq \f(1,tan α),
    而tan eq \f(π,12)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-\f(π,4)))=eq \f(tan \f(π,3)-tan \f(π,4),1+tan \f(π,3)·tan \f(π,4))=eq \f(\r(3)-1,1+\r(3))=2-eq \r(3),
    于是得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))=2(2-eq \r(3))+eq \f(1,2-\r(3))=6-eq \r(3),
    所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值是6-eq \r(3).
    (2)化简:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+tan α·tan \f(α,2)))=________.
    答案 eq \f(2,sin α)
    解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+tan α·tan \f(α,2)))
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))-\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))
    =eq \f(cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2))·eq \f(cs αcs \f(α,2)+sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))
    =eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))=eq \f(2,sin α).
    题型二 三角函数式的求值
    命题点1 给角求值
    例2 计算:(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°;
    (2)eq \f(1,2sin 10°)-eq \f(\r(3),2cs 10°);
    (3)eq \f(cs 10°1+\r(3)tan 10°-2sin 50°,\r(1-cs 10°)).
    解 (1)原式=eq \f(1,2)cs 20°·cs 40°·cs 80°
    =eq \f(sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)=eq \f(sin 160°,16·sin 20°)=eq \f(1,16).
    (2)原式=eq \f(cs 10°-\r(3)sin 10°,2sin 10°·cs 10°)=eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°-\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 20°)=eq \f(2sin30°-10°,sin 20°)=2.
    (3)原式=eq \f(cs 10°+\r(3)sin 10°-2sin 50°,\r(2)sin 5°)=eq \f(2sin 40°-2sin 50°,\r(2)sin 5°)=eq \f(2sin 40°-2cs 40°,\r(2)sin 5°)=eq \f(2\r(2)sin40°-45°,\r(2)sin 5°)=eq \f(-2\r(2)sin 5°,\r(2)sin 5°)=-2.
    命题点2 给值求值
    例3 (2023·长春质检)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))+eq \r(3)cs α=eq \f(1,3),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,6)))等于( )
    A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,9) C.-eq \f(1,9) D.-eq \f(7,9)
    答案 D
    解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,3)))+eq \r(3)cs α=eq \f(1,3),
    ∴sin αcs eq \f(π,3)-cs αsin eq \f(π,3)+eq \r(3)cs α=eq \f(1,3),
    ∴eq \f(1,2)sin α-eq \f(\r(3),2)cs α+eq \r(3)cs α=eq \f(1,3),
    ∴eq \f(1,2)sin α+eq \f(\r(3),2)cs α=eq \f(1,3),
    ∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))=eq \f(1,3),
    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,6)))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))+\f(π,2)))
    =cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))
    =2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))-1
    =2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2-1
    =-eq \f(7,9).
    命题点3 给值求角
    例4 已知 sin α=eq \f(\r(2),10),cs β=eq \f(3\r(10),10),且α,β为锐角,则α+2β= .
    答案 eq \f(π,4)
    解析 因为sin α=eq \f(\r(2),10),且α为锐角,所以cs α=eq \r(1-sin2α)=eq \r(1-\f(2,100))=eq \f(7\r(2),10),
    因为cs β=eq \f(3\r(10),10),且β为锐角,所以sin β=eq \r(1-cs2β)=eq \r(1-\f(90,100))=eq \f(\r(10),10),
    那么sin 2β=2sin βcs β=2×eq \f(\r(10),10)×eq \f(3\r(10),10)=eq \f(3,5),
    cs 2β=1-2sin2β=1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)))2=eq \f(4,5),
    所以cs(α+2β)=cs αcs 2β-sin αsin 2β=eq \f(7\r(2),10)×eq \f(4,5)-eq \f(\r(2),10)×eq \f(3,5)=eq \f(\r(2),2),
    因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以2β∈(0,π).
    所以α+2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3π,2))),故α+2β=eq \f(π,4).
    思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.
    (2)给值(角)求值问题的一般步骤
    ①化简条件式子或待求式子;
    ②观察条件与所求式子之间的联系,从函数名称及角入手;
    ③将已知条件代入所求式子,化简求值.
    跟踪训练2 (1)已知α∈(0,π),sin 2α+cs 2α=cs α-1,则sin 2α等于( )
    A.eq \f(3,4) B.-eq \f(3,8)
    C.-eq \f(3,4) 或0 D.eq \f(3,8)
    答案 C
    解析 ∵sin 2α=2sin αcs α,cs 2α=2cs2α-1,
    ∴2sin αcs α+2cs2α=cs α,
    当cs α=0 时,等式成立,此时sin 2α=0;
    当cs α≠0 时,sin α+cs α=eq \f(1,2),
    两边平方得sin 2α=-eq \f(3,4).
    综上可得,sin 2α=-eq \f(3,4)或0.
    (2)(2023·南京模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=tan 210°,则sin(60°+α)的值为( )
    A.eq \f(1,3) B.-eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.-eq \f(2,3)
    答案 A
    解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=tan 210°,
    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=tan 210°=tan(180°+30°)=tan 30°=eq \f(\r(3),3),
    则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=1-sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=eq \f(2,3),
    cs(30°-α)=cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))-sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°-\f(α,2)))=eq \f(1,3),
    ∴sin(60°+α)=sin[90°-(30°-α)]
    =cs(30°-α)=eq \f(1,3).
    题型三 三角恒等变换的综合应用
    例5 已知f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3π,4))).
    (1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值;
    (2)若锐角α满足f(α)=eq \f(\r(3),3),求sin 2α的值.
    解 (1)由题意得
    f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3π,4)))
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3π,4)))))
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,2)))
    =sin 2xcs eq \f(π,3)-cs 2xsin eq \f(π,3)+eq \r(3)cs 2x
    =eq \f(1,2)sin 2x+eq \f(\r(3),2)cs 2x
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3))),
    故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)+\f(π,3)))=0.
    (2)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2α+eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(4π,3))),又∵f(α)=eq \f(\r(3),3),
    ∴f(α)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))=eq \f(\r(3),3),
    又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))=eq \f(\r(3),3)∴2α+eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3),\f(4π,3))),
    ∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))=-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)=-eq \f(\r(6),3),
    ∴sin 2α=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))-\f(π,3)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))cs eq \f(π,3)-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,3)))sin eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)+eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3)+3\r(2),6).
    思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
    (2)形如y=asin x+bcs x化为y=eq \r(a2+b2)sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
    跟踪训练3 已知3sin α=2sin2eq \f(α,2)-1.
    (1)求sin 2α+cs 2α的值;
    (2)已知α∈(0,π),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),2tan2β-tan β-1=0,求α+β的值.
    解 (1)因为3sin α=2sin2eq \f(α,2)-1,
    所以3sin α=-cs α,所以tan α=-eq \f(1,3),
    又因为sin 2α+cs 2α=eq \f(2sin αcs α+cs2α-sin2α,sin2α+cs2α)=eq \f(2tan α+1-tan2α,1+tan2α),
    所以sin 2α+cs 2α=eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))+1-\f(1,9),1+\f(1,9))=eq \f(1,5).
    (2)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),所以tan β<0,
    因为2tan2β-tan β-1=(2tan β+1)(tan β-1)=0,
    所以tan β=-eq \f(1,2),
    又因为α∈(0,π),tan α=-eq \f(1,3),所以eq \f(π,2)<α<π.
    所以tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=eq \f(-\f(1,3)-\f(1,2),1-\f(1,6))=-1,
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<β<π,,\f(π,2)<α<π,))得π<α+β<2π,所以α+β=eq \f(7π,4).
    课时精练
    1.已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),cs(π-x)=-eq \f(4,5),则tan 2x等于( )
    A.eq \f(7,24) B.-eq \f(7,24) C.eq \f(24,7) D.-eq \f(24,7)
    答案 D
    解析 因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),cs(π-x)=-eq \f(4,5),
    所以cs x=eq \f(4,5),sin x=-eq \r(1-cs2x)=-eq \f(3,5),
    由同角三角函数的关系,
    得tan x=eq \f(sin x,cs x)=-eq \f(3,4).
    因此tan 2x=eq \f(2tan x,1-tan2x)
    =eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4))),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4)))2)=-eq \f(24,7).
    2.(2023·保定模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,4)))=eq \f(2\r(2),3),则sin 2θ的值为( )
    A.eq \f(7,9) B.-eq \f(7,9) C.eq \f(2,9) D.-eq \f(2,9)
    答案 B
    解析 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,4)))=eq \f(2\r(2),3),
    得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,4)))=sin θcs eq \f(π,4)-cs θsin eq \f(π,4)=eq \f(\r(2),2)(sin θ-cs θ)=eq \f(2\r(2),3),
    即sin θ-cs θ=eq \f(4,3),
    等式两边同时平方,得1-sin 2θ=eq \f(16,9),
    所以sin 2θ=-eq \f(7,9).
    3.(2023·枣庄模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-α))=eq \f(\r(2),3),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(4π,3)))等于( )
    A.-eq \f(5,9) B.eq \f(5,9) C.-eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
    答案 A
    解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(4π,3)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-π+2α-\f(π,3)))
    =-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(π,3)))=-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-2α))
    =-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-α))))
    =-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-2×\f(2,9)))=-eq \f(5,9).
    4.公元前六世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若4m2+n=16,则eq \f(m\r(n),2cs227°-1)的值为( )
    A.1 B.2 C.4 D.8
    答案 C
    解析 因为m=2sin 18°,
    所以由4m2+n=16,可得n=16-4(2sin 18°)2=16cs218°,
    因此eq \f(m\r(n),2cs227°-1)=eq \f(2sin 18°·4cs 18°,cs 54°)=eq \f(4sin 36°,cs 54°)=eq \f(4cs 54°,cs 54°)=4.
    5.(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
    A.cs(-15°)=eq \f(\r(6)-\r(2),4)
    B.sin 15°sin 30°sin 75°=eq \f(1,8)
    C.cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-eq \f(1,2)
    D.2sin 18°cs 36°=eq \f(1,2)
    答案 BD
    解析 对于A,cs(-15°)=cs 15°=cs(45°-30°)
    =cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=eq \f(\r(6)+\r(2),4),所以A错误;
    对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cs 15°=eq \f(1,2)sin 15°cs 15°=eq \f(1,4)sin 30°=eq \f(1,8),所以B正确;
    对于C, cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cs[(α-35°)-(25°+α)]=cs(-60°)=cs 60°=eq \f(1,2),所以C错误;
    对于D,2sin 18°cs 36°=2cs 72°cs 36°=2×eq \f(sin 144°,2sin 72°)×eq \f(sin 72°,2sin 36°)=eq \f(sin 36°,2sin 36°)=eq \f(1,2),所以D正确.
    6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,被认为是最美的三角形,它是两底角为72°的等腰三角形.达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金△ABC中,eq \f(BC,AC)=eq \f(\r(5)-1,2),根据这些信息,可得sin 54°等于( )
    A.eq \f(2\r(5)-1,4) B.eq \f(\r(5)+1,4) C.eq \f(\r(5)+4,8) D.eq \f(\r(5)+3,8)
    答案 B
    解析 由题设,可得cs 72°=1-2sin236°=eq \f(\r(5)-1,4),又因为cs236°+sin236°=1,
    所以cs236°=eq \f(\r(5)+3,8),又cs 36°∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))),
    所以cs 36°=cs(90°-54°)=sin 54°=eq \f(\r(5)+1,4).
    7.(2023·淄博模拟)eq \f(sin 12°2cs212°-1,\r(3)-tan 12°)= .
    答案 eq \f(1,8)
    解析 因为eq \f(sin 12°2cs212°-1,\r(3)-tan 12°)=eq \f(sin 12°cs 12°cs 24°,\r(3)cs 12°-sin 12°)=eq \f(\f(1,4)sin 48°,2sin 48°)=eq \f(1,8).
    8.(2023·青岛模拟)已知tan 2θ=-2eq \r(2),eq \f(π,4)<θ答案 -3+2eq \r(2)
    解析 由tan 2θ=-2eq \r(2),即eq \f(2tan θ,1-tan2θ)=-2eq \r(2),解得tan θ=eq \r(2)或tan θ=-eq \f(\r(2),2).
    因为eq \f(π,4)<θ则eq \f(2cs2\f(θ,2)-sin θ-1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4))))=eq \f(cs θ-sin θ,cs θ+sin θ)=eq \f(1-tan θ,1+tan θ)=eq \f(1-\r(2),1+\r(2))=-3+2eq \r(2).
    9.化简并求值.
    (1)eq \f(\r(3)-4sin 20°+8sin320°,2sin 20°sin 480°);
    (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,cs280°)-\f(3,cs210°)))·eq \f(1,cs 20°).
    解 (1)原式=eq \f(\r(3)-4sin 20°1-2sin220°,2sin 20°sin 480°)=eq \f(\r(3)-4sin 20°cs 40°,2sin 20°sin 480°)
    =eq \f(2sin20°+40°-4sin 20°cs 40°,2sin 20°sin 480°)=eq \f(2sin40°-20°,2sin 20°sin 480°)=eq \f(1,sin 480°)=eq \f(1,sin 120°)=eq \f(2\r(3),3).
    (2)原式=eq \f(cs 10°-\r(3)cs 80°cs 10°+\r(3)cs 80°,cs280°cs210°cs 20°)
    =eq \f(cs 10°-\r(3)sin 10°cs 10°+\r(3)sin 10°,cs280°cs210°cs 20°)
    =eq \f(4cs 70°cs 50°,cs280°cs210°cs 20°)=eq \f(4sin 20°sin 40°,sin210°cs210°cs 20°)
    =eq \f(32sin220°cs 20°,sin220°cs 20°)=32.
    10.(2023·长春质检)(1)已知tan(α+β)=eq \f(3,5),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \f(1,3),求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)));
    (2)已知cs 2θ=-eq \f(4,5),eq \f(π,4)<θ(3)已知sin(α-2β)=eq \f(4\r(3),7),cs(2α-β)=-eq \f(11,14),且0<β解 (1)因为tan(α+β)=eq \f(3,5),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \f(1,3),
    所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α+β-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))))=eq \f(tanα+β-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3))),1+tanα+βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3))))=eq \f(\f(3,5)-\f(1,3),1+\f(3,5)×\f(1,3))=eq \f(2,9).
    (2)由eq \f(π,4)<θsin 4θ=2sin 2θcs 2θ=2×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))=-eq \f(24,25),
    cs 4θ=2cs22θ-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))2-1=eq \f(32,25)-1=eq \f(7,25).
    (3)由0<β因为sin(α-2β)=eq \f(4\r(3),7)>0,所以cs(α-2β)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),7)))2)=eq \r(1-\f(48,49))=eq \f(1,7).
    由0<β则eq \f(π,4)<2α-β<π,
    因为cs(2α-β)=-eq \f(11,14),所以sin(2α-β)=eq \f(5\r(3),14).
    因为eq \f(π,4)<α+β又cs(α+β)=cs[(2α-β)-(α-2β)]
    =cs(2α-β)cs(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
    =-eq \f(11,14)×eq \f(1,7)+eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)=eq \f(1,2),所以α+β=eq \f(π,3).
    11.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),tan α=eq \f(cs 2β,1-sin 2β),则( )
    A.α+β=eq \f(π,2) B.α-β=eq \f(π,4)
    C.α+β=eq \f(π,4) D.α+2β=eq \f(π,2)
    答案 B
    解析 tan α=eq \f(cs 2β,1-sin 2β)=eq \f(cs2β-sin2β,cs β-sin β2)
    =eq \f(cs β+sin β,cs β-sin β)=eq \f(1+tan β,1-tan β)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+β)).
    ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
    ∴α=eq \f(π,4)+β,即α-β=eq \f(π,4).
    12. 魏晋南北朝时期,祖冲之利用割圆术以正24 576边形,求出圆周率π约等于eq \f(355,113),和真正的值相比,其误差小于八亿分之一,这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°,则eq \f(1-2cs27°,π\r(16-π2))的值为( )
    A.-eq \f(1,8) B.-8 C.8 D.eq \f(1,8)
    答案 A
    解析 将π=4sin 52°代入eq \f(1-2cs27°,π\r(16-π2)),
    可得eq \f(1-2cs27°,π\r(16-π2))=eq \f(-cs 14°,4sin 52°\r(16-16sin252°))=eq \f(-cs 14°,16sin 52°cs 52°)=-eq \f(cs 14°,8sin 104°)
    =-eq \f(cs 14°,8sin90°+14°)=-eq \f(cs 14°,8cs 14°)=-eq \f(1,8).
    13.(多选)(2023·长沙模拟)若sin eq \f(α,2)=eq \f(\r(3),3),α∈(0,π),则( )
    A.cs α=eq \f(1,3)
    B.sin α=eq \f(2,3)
    C.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)+\f(π,4)))=eq \f(\r(6)+2\r(3),6)
    D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)-\f(π,4)))=eq \f(2\r(3)-\r(6),6)
    答案 AC
    解析 ∵sin eq \f(α,2)=eq \f(\r(3),3),α∈(0,π),
    ∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),cs eq \f(α,2)=eq \r(1-sin2\f(α,2))=eq \f(\r(6),3).
    ∴cs α=1-2sin2eq \f(α,2)=1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2=eq \f(1,3),故A正确;
    sin α=2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)=2×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)=eq \f(2\r(2),3),故B错误;
    sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)+\f(π,4)))=sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)+cs eq \f(α,2)sin eq \f(π,4)
    =eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)+eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(\r(6)+2\r(3),6),故C正确;
    sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)-\f(π,4)))=sin eq \f(α,2)cs eq \f(π,4)-cs eq \f(α,2)sin eq \f(π,4)
    =eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)-eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(\r(6)-2\r(3),6),故D错误.
    14.(2022·邢台模拟)已知α,β均为锐角,sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)+α))=-eq \f(3,5),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \f(5,13),则sin(α+β)= ,cs(2α-β)= .
    答案 eq \f(33,65) eq \f(204,325)
    解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)+α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=-eq \f(3,5),
    sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \f(5,13),
    所以α+eq \f(π,3)为第二象限角,β-eq \f(π,3)为第一象限角,
    所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=eq \r(1-cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3))))=eq \f(4,5),
    cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \r(1-sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3))))=eq \f(12,13),
    所以sin(α+β)=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))))
    =sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=eq \f(33,65).
    cs(2α-β)=-cs(2α-β+π)
    =-cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))))
    =-eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))+sin 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))))
    =-eq \f(12,13)cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))-eq \f(5,13)sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))
    =-eq \f(12,13)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))-1))-eq \f(10,13)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=eq \f(204,325).
    15.(2023·武汉模拟)f(x)满足:∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有eq \f(x2fx1-x1fx2,x1-x2)<0.a=sin 7°sin 83°,b=eq \f(tan 8°,1+tan28°),c=cs2eq \f(5π,24)-eq \f(1,2),则eq \f(fa,a),eq \f(fb,b),eq \f(fc,c)的大小顺序为( )
    A.eq \f(fa,a)C.eq \f(fb,b)答案 C
    解析 a=sin 7°sin 83°=sin 7°cs 7°=eq \f(1,2)sin 14°,b=eq \f(tan 8°,1+tan28°)=eq \f(sin 8°cs 8°,cs28°+sin 28°)=eq \f(1,2)sin 16°,c=eq \f(1,2)cs eq \f(5π,12)=eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)=eq \f(1,2)sin 15°,∴a由题意得,∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有eq \f(x2fx1-x1fx2,x1-x2)<0,即eq \f(\f(fx1,x1)-\f(fx2,x2),x1-x2)<0,
    ∴y=eq \f(fx,x)在(0,1)上单调递减,∴eq \f(fb,b)16.(2023·盐城模拟)已知由sin 2x=2sin xcs x,cs 2x=2cs2x-1,cs 3x=cs(2x+x)可推得三倍角余弦公式cs 3x=4cs3x-3cs x,已知cs 54°=sin 36°,结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°=________;如图,已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的,则eq \(HE,\s\up6(→))·eq \(HG,\s\up6(→))=________.
    答案 eq \f(\r(5)-1,4) 5+eq \r(5)
    解析 因为cs 54°=cs(90°-36°)=sin 36°,所以4cs318°-3cs 18°=2sin 18°cs 18°,
    即4cs218°-3=2sin 18°,即4(1-sin218°)-3=2sin 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,
    因为0在五角星ABCDE中,EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG≌△EHI,
    从而可得∠HEG=eq \f(1,2)∠CEB=18°,∠EHG=eq \f(1,2)∠IHG=54°,
    过点H作HM⊥BE,垂足为点M,如图,则∠GHM=18°,于是cs∠GHM=eq \f(HM,GH),
    从而有HM=GHcs∠GHM=2cs 18°,于是EH=eq \f(HM,sin∠HEG)=eq \f(2cs 18°,sin 18°),
    所以eq \(HE,\s\up6(→))·eq \(HG,\s\up6(→))=|eq \(HE,\s\up6(→))|·|eq \(HG,\s\up6(→))|cs 54°=2×eq \f(2cs 18°,sin 18°)×sin 36°=8cs218°=8-8sin218°=8-8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)-1,4)))2=8-(3-eq \r(5))=5+eq \r(5).
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